第九章 地下水向完整井的非稳定运动

选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标 所围成的面积。其中，每一个阶梯都可视为定流量，应用 Theis公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠加原理叠加起 来，即得流量变化时水位降深的计算公式。
当0<t<t1时，水T
W
⎛ ⎜ ⎝
r 2u ∗ 4T t
⎞ ⎟ ⎠
图4-2 流量概化呈阶梯状变化图
泰斯公式讨论
2、承压含水层中任意点水头下降速度（一）
∂s ∂t
=
Q 4πT
dW (u) ∂u
du ∂t
=
Q 4πT
⎜⎜⎝⎛
−
e− u
u
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
r2 4a
⋅
−1 t2
⎟⎟⎠⎞
=
Q
− r2
1 e 4at
4πT t
①由此可以看出：对同一时间而言，近处水头下降快，远处慢。
②对于同一距离、不同时间的下降速率，需要将上式左端再对t求导：
情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井
的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大，非
灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而
变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式?
首先需要绘出生产井的Q=f（t）关系曲线，即流量过程 线。
然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标
（4-8）
为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令：
y
=
r2
, dτ
4 a (t − τ )
=
r2 4ay 2
dy
同时更换积分上下限，当τ=0 时，y
=
r2 4 at
当τ=t时，
y= ∞ 于是，
∫ ∫ s
=
Q 4π T
∞ r2 4 at
e− y r2
r2 dy = Q
4ay2
4π T
∞ u
e− y y
设导压系数 a
=
T ，则有：
μ*
∫ ∫ a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂s ∂t
⎞ ⎟⎠
r
J
0
(
β
r)dr
=
∞ 0
∂ ∂
s t
r
J
0
(
β
r )dr
方程式右端
∫ ∫ ∞ 0
∂s ∂t
rJ
0
(β
r
)dr
=
∂ ∂t
∞ 0
srJ
0
(β
r
)dr
=
ds dt
方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式
（4-3）与式(4-4)，有：
∂ 2s + 1 ∂s = u* ∂s ∂r 2 r ∂r T ∂t
t>0，0<r>∞
(4-1)
s(r，0)=0
s(∞，t)=0，
∂s ∂r
r→∞ = 0
lim r ∂s = − Q
r→0 ∂r
2π T
0<r<∞ t>0
（4-2） （4-3） （4-4）
此，式利中用，Hsa=nHke0-l变H。换，下将边方研程究式如(何4-1求)两降端深同函乘数以s (rrJ,0(t)β。r为)， 并在(0,∞)内对r积分。
⎜⎛
B
:W
⎜ ⎜
r2 T
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
4
μe
t
⎟ ⎠
T ↑ → s↑
理解为任一由r至r＋△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流 量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且 μe一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（三）
(4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公
式，也就是著名的Theis公式。
为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式：
∫ ∑ W (u) = ∞ 1 e− ydy = −0.577216 − ln u + u − ∞ (−1)n u n
uy
n=2
n⋅n
并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-1中就可查
∫ ∫ a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
(r
∂s ∂t
)
r
J
0
(
β
r
)
d
r
=
aQ 2π T
− aβ
∞ 0
sd
[rJ1
(
β
r
)]
按Bessel函数的性质，有：
∫ ∫ ∞ 0
sd
[r J 1 ( β
r
)] =
∞ 0
sβ
rJ
0
(β
r
)dr
1
因此，有：
∫a
∞ 0
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂s ∂r
⎞ ⎟⎠
r
J
0
(
β
r)dr
dr
F (r)
2 a (t − τ )
两边积分得：ln
F
(r)
=
−
r 4 a (t
2
−
τ
)
+令C1
C，1 =则ln 有C ：
ln F (r ) = − r 2 故：
C
4a(t −τ )
− r2
F (r ) = Ce 4a(t −τ )
（4-7）
利用r=0时的F（r）值，由（4-6）可以确定C值：
∫ F (0) =
•当u ≤0.01(即 t ≥ 2 5 r 2 u ∗ )井函数用级数前两项代替时，其相对 误差不超过0.25%； T
•当u≤0.05时(即 t ≥ 5 r 2 u ∗ )，相对误差不超过2%；
•当u ≤0.1时（即
t
≥
T r
2
u
∗
2.5
），相对误差不超过5%。
T
一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u≤0.01或u ≤
第9章 地下水向完整井的非稳定运动
MULTIPLE AQUIFERS
Distorted scale!!
1
9.1 承压含水层中的完整井流
（一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）
① 承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和 含水层均假定为弹性体；
② 无垂向补给、排泄，即W＝0； ③ 渗流满足达西定律； ④ 完整井，假定流量沿井壁均匀进水； ⑤ 水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的； ⑥ 抽水前水头面是水平的； ⑦ 井径无限小且定流量抽水； ⑧ 含水层侧向无限延伸。
当 ti−1 < t < ti 时，水位降深为：
s
=
Q1 4πT
⎛ W⎜
⎝
r2μ∗ 4Tt
⎞ ⎟ ⎠
+
Q2 −Q1 4πT
W
⎡ r2μ∗ ⎤ ⎢⎣4T(t −t1)⎥⎦
+⋅⋅⋅
+
Qi −Qi−1 4πT
W
⎡ r2μ∗ ⎢⎣4T(t −ti−1)
⎤ ⎥ ⎦
t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降 深为：
∑ s = 1
4π T
n i =1
(Qi
− Qi−1 )W
⎡ r2μ∗ ⎤
⎢ ⎣
4T
(t
−
ti −1
)
⎥ ⎦
ti−1 < t < ti（4-12）
式中，设t0=0，相应的Q0=0。
(4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后 的计算公式。
3 . Theis公式的近似表达式 如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即：
在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间 变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。
泰斯公式讨论
1、各因素对降深的影响（四）
⑦ t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。
s(r,t) = Q W(u)
4πT
这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保 持承压状态，即s不得大于（H0－M），否则将转化为承压－ 无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s不得大于h0。 因为在s=h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那 时，就转变为定降深变流量的条件了。
∫ s =
∞ 0
sβ
J
0
(β
r
)d
β
∫ ∫ = a Q
2π T
t⎡ 0 ⎢⎣
∞ 0
e β − a β 2 ( t −τ )
J 0 (β
r )d
β
⎤ ⎥⎦
d
τ
（4-5）
先计算方括号内的积分，为此设：
∫ F ( r ) =
∞ 0
e β − a β 2 ( t − τ )
J 0 (β
r )d
β
（4-6）
将(4-6)式对r求导数，有：
0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即：
W (u)
−0.577216
−
ln
u
=
ln
2.25Tt r2μ∗
3
于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式：
s
=
Q 4π T
ln
2 .2 5T t r2μ*
=
0.183Q T
lg
2 .2 5T t r 2u ∗
(4-13)
(4-13)式称为Jacob公式(1946)。
∞ 0
e−
aβ
2
(t
−τ
)