322立体几何中的向量方法
【高考数学】立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法【重点梳理】1.平面的法向量定义：已知平面，直线 l，取l的方向向量a ，有a，则称为a为平面的法向量。
重点解说：一个平面的法向量不是独一的，在应用时，可适合取平面的一个法向量。
已知一平面内两条订交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
2.平面的法向量确立往常有两种方法：（1）几何体中有详细的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有详细的直线，一般要成立空间直角坐标系，而后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为 n=（ x， y， z）；（ ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（ a1， b1， c1）， b=（a2，b2， c2）；（ iii）依据法向量的定义成立对于n a0 x、 y、z 的方程；n b0（iv ）解方程组，取此中的一个解，即得法向量．因为一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．运用：（1）线面平行线面平行的判断方法一般有三种：①设直线 l 的方向向量是 a ，平面的向量是u，则要证明l //，只需证明 a u ，即 a u0 。
（2）面面平行①由面面平行的判断定理，要证明面面平行，只需转变为相应的线面平行、线线平行即可。
②若能求出平面，的法向量u，v，则要证明//，只需证明u // v 。
（ 3）线面垂直①设直线 l 的方向向量是 a ，平面的向量是u，则要证明l，只需证明 a // u 。
②依据线面垂直的判断定理转变为直线与平面内的两条订交直线垂直。
（4）面面垂直①依据面面垂直的判断定理转变为证相应的线面垂直、线线垂直。
②证明两个平面的法向量相互垂直。
设直线 l的方向向量为 a ，平面的法向量为 u ，直线与平面所成的角为， a 与 u 的角为，则有 sin| cos || a u | 。
| a | | u |（ 6）求二面角如图，若 PA于A，PB于B，平面PAB交l于E，则∠ AEB为二面角l的平面角，∠ AEB+∠APB=180°。
立体几何中的,向量方法(向量法)
教案编写：
审核人： 高二数学组ຫໍສະໝຸດ 使用时间：编号：1
3.2.立体几何中的向量方法（向量法）
【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的向量方法； 【学习重点】向量法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量问题的转化； 【知识链接】
空间向量基本定理：如果三个向量 a, b, c
A α C D l
面，把立体几何问题转化为向量问题
例题讲解
D' 例题 1：如图四棱柱 ABCD-A＇B＇C＇D＇中以 A 为顶点的三条棱长都相等 ,且它们彼此的夹角都
是 60°求对角线 AC＇长和棱长的关系
A' C' B' D A C B
课堂练习
若 a b c 0 ，且| a | 3,| b | 2,| c | 1 ，求 a b b c c a 的值．
例题 2： 如图二面角中α ---L---β 中 AC、 BD 都与 L 垂直 AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α ---L--β 的余弦值
F' β
B
【学习过程】 用向量解决立体几何的三步曲：
（1） 、 （2） 、 和距离问题 （3） 、 ,把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 例题 3 ．已知空间四边形 ABCD 中， AB CD ， AC BD ，求证： AD BC ． , 建立图形空间向量的联系，用空间向量表示问题涉及的点、直线、平 ,通过向量运算研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的夹角
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高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
立体几何中的向量方法
点评 面面平行可用其中一个平面内的两条相交直线平行于另 一个平面内的两条相交直线或其中一个平面内的两条相交直线平行 于另一个平面来证明.
变式迁移 3
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别是 BB1、 DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE； (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
6．求有关的距离
立体几何中涉及的距离问题较多，如两点距离，点与线的距离，
点、线与平面的距离，两异面直线的距离等．若用向量来处理这类
问题，则思路简单，解法固定．
(1)利用|AB|＝|A→B|＝
→→ AB·AB
可以求解有关距离问题．
(2)设 e 是直线 l 上的一个单位方向向量，线段 AB 在 l 上的投
2．平面的法向量 (1)法向量的定义 已知平面 α(如图所示)，直线 l⊥α，取 l 的方向向量 a，则 a⊥α， 则称 a 叫平面 α 的法向量．
已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个 法向量．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平 面的一个法向量．
如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么 称向量 n 垂直于平面 α，记作 n⊥α，此时，我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量．
变式迁移 2 如图所示，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平 面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF ＝45°. (1)求证：EF⊥平面 BCE； (2)设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M，求证：PM∥平面 BCE.
证明 ∵△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB， 又∵平面 ABEF⊥平面 ABCD 且平面 ABEF∩平面 ABCD＝ AB，所以 AE⊥平面 ABCD，∴AE⊥AD.即 AD、AB、AE 两两垂直．故 建立如图所示的空间直角坐标系，
【高考数学】立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法【要点梳理】1.平面的法向量定义：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。
已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
2.平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n=（x ，y ，z ）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．运用：（1）线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线l 的方向向量是a ，平面α的向量是u ，则要证明//l α，只需证明⊥a u ，即0⋅=a u 。
（2）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。
②若能求出平面α，β的法向量u ，v ，则要证明//αβ，只需证明//u v 。
（3）线面垂直①设直线l 的方向向量是a ，平面α的向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明//a u 。
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。
（4）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。
②证明两个平面的法向量互相垂直。
（5）求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ， 则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。
立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量a 以及与a 共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：A B 与C D 的夹角和AB与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB C DAB C D AB C D ⋅<>=. 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=. 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模.公式为d =9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为n ，则P 到平面的距离d 等于a 在n 方向上正射影向量的模.公式为d =.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A CBC A A ==，D 是棱1A A 的中点，1D C BD ⊥。
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法是一种应用向量的数学工具和技巧来研究和解决与立体几何相关的问题的方法。
向量方法可以使得我们更加直观地理解和推导立体几何中的性质和结论，并且可以解决许多传统几何方法比较复杂的问题。
在本文中，我们将详细讨论立体几何中的向量方法，并且给出一些具体的例子来说明其应用。
首先，我们需要明确向量的基本概念和性质。
在立体几何中，我们通常使用三维空间中的向量来描述和表示几何体。
一个向量可以被表示成一个有方向和长度的箭头，其中方向表示向量指向的方向，长度表示向量的大小。
在数学上，向量可以用坐标表示，如表示为一个三维向量(a,b,c)，其中a，b，c分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
利用向量的表示方法，我们可以推导出一些基本的立体几何结论。
例如，我们可以根据向量的平行和垂直性质来判断线段、直线和平面的关系。
如果两个向量平行，则它们所表示的线段或直线也是平行的。
如果两个向量垂直，则它们所表示的线段或直线也是垂直的。
另外，向量的加法和减法也是我们在立体几何中常常使用的运算。
如果我们想要求两个向量之和，则可以将它们的对应分量相加得到新的向量。
同样地，如果我们想要求两个向量的差，则可以将它们的对应分量相减得到新的向量。
这些运算对于求解几何体的位置、长度和角度等问题非常有用。
进一步地，向量的数量积和向量积是在立体几何中经常应用的运算。
数量积（也称为点积）可以用来求解两个向量之间的夹角。
具体地，如果两个向量A和B的数量积为0，则它们是垂直的；如果数量积为正，则它们是锐角；如果数量积为负，则它们是钝角。
向量积（也称为叉积）可以用来求解一个平面的法向量，以及计算平面的面积和体积。
具体地，向量积的大小等于该平面的面积的二倍，而向量积的方向与该平面垂直，并且遵循右手定则。
除了上述的基本运算和性质，向量方法还可以应用于解决许多具体的立体几何问题。
例如，通过向量法可以证明平行四边形的对角线互相平分，并且可以推导出梅涅劳斯定理（即三角形的三条中线交于一点且互相平分）。
立体几何中的向量方法
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间夹角问题
（3）把向量的运算结果“翻译”成相对应的几何意 义。
2．向量的相关知识： （1）两向量数量积的定义：
且OS=OC=BC=1，OA=2.
z
求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.
S
解：由(2)知平面SAB的一个法向量为n (1，1，2)，
O
又由OC 平面SAO知OC是平面SAO的法向量
A
且OC (0，1，0)
x
cos n，OC 0 1 0 6 6 1 6
所以二面角B－AS－O的余弦值为 6 6
2
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1)
2
2
S B
xA D
设平面 SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x2y 2yz
0 0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
可得PA 2EG PA // EG。因为PA与EG不共线，所以PA // EG
又PA 平面EDB，EG 平面EDBPA // 平面EDB
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
解：因为PD 平面ABCD，所以PD是平面ABCD的法向量。
由(1)知D(0，0，0)，P(0，0，1)，
z P
两直线 l, m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
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3
3
几何法呢？
B
F
N A
M
E
D
C
例4 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,
PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，
PF=FG=GC .
求证：面AEF//面BDG.
Z
P
F
EG
D
A X
C Y
B
选做题
三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点
求证:BC1∥面AB1D. uuur uuur uuur AB1 ? AB? AA1
设直线 l,m 的方向向量分r别r为 a, b ，
平面 ? , ? 的法向量r 分r别为 ur, v ，r则
(1) l //m ? a//b ? a ? ?b；
r
a
l
r b
m
平行关系(2)
rr
设直线 l,m 的方向向量分别为
rr
a,b ，
平面 ? , ? 的法向量分别为r uuu, vur，则
(2) l / /? ? ① a∥ AC ；
uuur DE
22 ? (0, 1
,
1
)
uur DB =(1,1，0)
22
r
设平面EDB的法向量为 n ? (x, y,1)
r uuur r uuur
D
则n ? DE, n ? DB
A
于是
?? 1 ?2
y
?
1 2
?
0
?
?? x ? y ? 0
r n
?
?1,
? 1, 1?X
E
C Y
B
平行关系(1)
rr
uur
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
uur AE
=
3
uur FG
2
uur uur
AE // FG
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
Z
P
E(3,3,3),
几何法呢？
EG
D
C
F
Y
B
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，
求证：PA//平面EDB.
E
u??uxur?
y
r
?
0
uuur r
? PAgn ? 0 ? PA ? n
而PA ? 平面EDB
A
所以，PA // 平面EDB X
D
C Y
B
例3如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面相交于AD，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM ? 1 BD, AN ? 1 AE，
求证：MN // 平面 CDE
,0,
?
1
)
P
E
22
所以PA ? 2EG，即PA // EG
而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB A 所以，PA // 平面EDB X
D
G
B
CY
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得 A(1,0,0),
P(0,0,1),
E (0,
r u
r a
r r rr ? ② a ? u ? a?u ? 0
r uuur uuur
α
? ③ a ? xAB? yAD
平行关系(3)
rr
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， rr
平面 ? , ? 的法向量分r 别为r ur, v ，则r
(3) ? / / ? ? ① u / /v ? u ? ? v.
1
1 , ),
B(1,1，0)
uuur PA ? (1,0, ?1),
uuur DE
?
(0,
1
,
1)
22
22
uur Z DB =(1,1，0)
r
设平面EDB的法向量为 n ? (x, y,1) P
r uuur r uuur
则n ? DE, n ? DB
于是
???
1 2
y
?
1 2
?
0
?
r n
?
?1,
? 1, 1?
uuur AD ?
1 2
uuur AC ?
uuur AA1
uuuur uuur uuur uuur
BC 1
?
?
AB?
AA1 ?
AC
uuuur uuur uuur BC ? ? AB? 2AD
1
3.2.2 立体几何中的向量方法 ——平行关系
练习 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是
正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E 是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量 .
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得 D(0,0,0), P(0,0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
r u
α
r v
r
? ②u? ?
β
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,
PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点， DF:FB =CG:GP=1:2. 求证：AE//FG.
证 ：如图所示 , 建立 空间直角坐标系 . A(6,0,0),
F(2,2,0), G(0,4,2),
uur
Z
解1 传统几何法
P
E
D
C Y
A
G
B
X
解法2:(向量法) 如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG Z
依题意得 A(1,0,0), P(0,0,1),
E(0,
uuur PA ?
1 , 1) 22
(1,0,?
G ( 1 , 1 ，0)
uu2ur