2019年高考真题——理科数学(全国卷II)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷）理科数学一、选择题1. 设集合{}065|2>+-=x x x A ，{}01|<-=x x B ，则=⋂B A ( )A. )1,(-∞B. )1,2(-C. )1,3(--D. ),3(+∞ 答案： A 解答：{2|<=x x A 或}3>x ，{}1|<=x x B ，∴）（1,∞-=⋂B A .2. 设i z 23+-=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案： C解析：i 23z --=，对应的点坐标为），（2-3-,故选C.3．已知(2,3)AB =，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB BC ⋅=（ ） A.3- B.2- C.2 D.3 答案： C解答：∵(1,3)BC AC AB t =-=-，∴2||11BC ==，解得3t =，(1,0)BC =，∴2AB BC ⋅=.4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。

实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。

为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。

设地球的质量为，月球质量为，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程121223()()M M M R r R r r R +=++。

设=rR α。

由于α的值很小，因此在近似计算中345323+331ααααα+≈+（），则r 的近似值为（ ） ABCD答案： D 解答：1211212232222()(1)()(1)M M M M M M R r R r r R R r R αα+=+⇒+=+++所以有2321122222133[(1)](1)(1)M M M r R R αααααα++=+-=⨯++ 化简可得223331221221333(1)3M r M M M R M αααααα++=⨯=⨯⇒=+，可得r =。

5. 演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。

7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ． 中位数B ． 平均数C ． 方差D ．极差 答案： A解答：由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为a ，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是a ，所以不变的是数字特征是中位数。

其它的数字特征都会改变。

6. 若a b >，则（ ） A.ln()0a b -> B.33a b< C.330a b -> D.||||a b > 答案： C解答：由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->. 7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案： B解析：根据面面平行的判定定理易得答案.选B.8. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8答案： D解答：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p . 9. 下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A. |2cos |)(x x f = B. |2sin |)(x x f = C. ||cos )(x x f =D. ||sin )(x x f = 答案：A解答：对于A,函数|2cos |)(x x f =的周期2T π=,在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,符合题意； 对于B,函数|2sin |)(x x f =的周期2T π=,在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,不符合题意； 对于C ，函数x x x f cos ||cos )(==，周期2T π=,不符合题意； 对于D,函数||sin )(x x f =的周期T π=,不符合题意.10. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15B.5答案： B 解析：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==所以sin α==11. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ）C.2答案:A解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得ca=e =12. 已知函数的定义域为x R ∈，(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A ．9(,]4-∞ B ．7(,]3-∞C ．5(,]2-∞D ．2(,]3-∞答案： B解答：由当x R ∈，(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-可知当(1,2]x ∈时，231()2()22f x x =--，当(2,3]x ∈时，25()4()12f x x =--，……当(,1],x n n n Z ∈+∈时，221()2()22n n f x x n -=---，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-有23854()1()292m m --≥-<解得的取值范围是73m ≤。

二、填空题13. 我国高铁发展迅速，技术先进。

经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 答案： 0.98解答：经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为100.97200.98100.990.9840P ⨯+⨯+⨯==。

14. 已知()f x 是奇函数，且当0x <时,()axf x e =- .若(ln 2)8f =，则a =_______. 答案：3-解答：∵ln 2ln 2(ln 2)(ln 2)()()28a a a f f e e ---=--=--===，∴3a =-.15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,3,2,6π===B c a b 则ABC ∆的面积为_______. 答案：36解析：21436423cos cos 222222=-+=-+==cc c ac b c a B π,3623323421sin 21,34,32=⨯⨯⨯==∴==∴B ac S a c16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)答案： 26解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题17. 如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1EC BE ⊥ （1）证明：⊥BE 平面11C EB ;（2）若E A AE 1=，求二面角1C EC B --的正弦值.答案：（1）见解析 （2）23 解析：（1）证明：∵⊥11C B 平面1ABB ，⊂BE 平面1ABB ， ∴BE C B ⊥11，又1EC BE ⊥，1111C C B EC = ， ∴⊥BE 平面11C EB .（2）设底面边长为1，高为x 2，∴122+=x BE ，1221+=x E B ，∵⊥BE 平面11C EB ，∴︒=∠901BEB 即21212BB E B BE =+，∴22422x x =+解得1=x .∵⊥BC 平面11ABB A ，∴E B BC 1⊥，又BE E B ⊥1，∴⊥E B 1平面BCE ，故B 1为平面BCE 的一个法向量.∵平面CE C 1与平面11ACC A 为同一平面，故11D B 为平面CE C 1的一个法向量， 在E D B 11∆中，∵21111===E B E D D B 故B 1与11D B 成︒60角，∴二面角1C EC B --的正弦值为2360sin =︒. 18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求(2)P X =；（2）求事件“4X =且甲获胜”的概率. 答案： （1）0.5；（2）0.06解析：（1）2X =时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时10.50.40.2P =⨯=； ②乙连赢两局结束比赛，此时20.50.60.3P =⨯=， ∴12(2)0.5P X P P ==+=；（2）4X =且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜， 此时0.50.60.50.40.06P =⨯⨯⨯=.19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案：（1）见解析 （2）21)21(-+=n a n n ，21)21(+-=n b n n . 解析：(1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411， 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列.将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ，整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列可得1)21(-=+n n n b a ①； 由{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②； ①②相加化简得21)21(-+=n a n n ，①②相减化简得21)21(+-=n b n n 。