数列的通项公式与求和的常见方法
(完整word版)数列的通项公式与求和的常见方法
常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）1()n n a a p p +-=为常数1()n na q q a +=为非零常数 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n na a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
3. 已知数列{}n a 满足11a =，212=a ，11112n n na a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足211=a ，n a a n n 21+=+，*()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n -=+-，(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 满足1231nn n a a +=+⨯+， *()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式+求数列前 N项和的常用方法
的前n项和Sn 解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显 的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差 数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后 把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使 得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n项和。
例题3：求数列
(n∈N*)的和 解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的 规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项 相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于
等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在 和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和 解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an nan+1③ 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
求数列 前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式， 再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为 基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律， 找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和
数列求和与求通项公式方法总结
数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n nna a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3评注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
数列的通项公式与求和的常用方法
解法三
由已知得,(n∈N*) ①， 所以有 ②， 由②式得， 整理得Sn+1－2·+2－Sn=0， 解得， 由于数列{an}为正项数列，而， 因而， 即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列
所以= +(n－1) =n,Sn=2n2， 故an=即an=4n－2(n∈N*)
对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1
(1)求证 {an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足 b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*) 试问当m为何值时，成立？
6 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的 前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k －2
代入上式，解得2k=，得Sk=2k2， 由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1， 将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)， 整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k， 所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2， 即当n=k+1时，上述结论成立
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m， 使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说 明理由
数列的通项公式与求和的常用方法
数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 一、重难点1．数列通项的求法： ⑴定义法（利用AP,GP 的定义）；⑵累加法（n n n c a a =-+1型）；⑶⑷累乘法（n nn c a a =+1型）；⑸构造法:若一阶线性递归数列a n =ka n －1+b （k ≠形式:)1(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；⑹间接法（例如：4114111=-⇒=----n n n n n n a a a a a a ）；⑺（理科）数学归纳法。
2．前n 项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法；(4)倒序相加法。
3．等差数列前n 项和最值的求法：⑴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。
数列单调递增1<n n a a +⇔。
二、例题例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有n n c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim ∞→n nn S S212+命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口错解分析 本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣解 (1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)； 又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1(2)令nn b c=d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *),∴d n =a n +1－a n =2, ∴n n b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］ ∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n n n n n n n S S S S 例2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明 数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim ∞→n 4)(n na T 命题意图 本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托 利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析 待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解 (1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n=3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3， ∴32n +1∈{b n } 而数32n =(4－1)2n=42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++n n n n n D r r r r ， 89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T 例3 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)(3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a(n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n )解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3， 将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10 故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一 由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2 下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *） ①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1， 将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ， 所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二 由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2, 由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0， 由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2解法三 由已知得n n S a 222=+,(n ∈N *) ①， 所以有11222++=+n n S a ②， 由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0，解得n n S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ， 因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列所以n S = 2+(n －1) 2=2n ,S n =2n 2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *)(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n n n a a a a1212111[(1)(1)],221212121n n n n n n +-=-+-=--+-+ 1212n n b b b n c c c +++-=+++111111(1)()()1,335212121n n n =-+-++-=--++121()(1) 1.lim lim 21n n n b b b n n →∞→∞∴+++-=-=+ 三、练习1 作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________2 数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n－1+1(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由3 数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n 对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1 (1)求证 {a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足 b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n ∈N *) 试问当m 为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？5 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+n b 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论6 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…) (1)求证 数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 参考答案1 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2， 面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2答案 周长之和233πa ，面积之和9πa 22 解 (1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，(2)T n =2n +n －1(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）3 解 (1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n )1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为74 解 (1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1 ①， S n =(m +1)－ma n ②, 由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立∵m 为常数，且m ＜－1 ∴11+=+m m a a n n ，即{1+n n a a }为等比数列(2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 11 由(1)知q =f (m )=1+m m，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n n b b ，即1111=--n n b b ， ∴{n b 1}为等差数列 ∴nb 1=3+(n －1)=n +2，21+=∴n b n (n ∈N *) 11(),(lg )[lg ]lg ,lim lim 1211n n n n n n m n m m a b a m n m m -→∞→∞-=∴⋅==++++122311111113()3()1lim lim 344512n n n n b b b b b b n n -→∞→∞+++=-+-++-=++ 而10lg 1,10,119m m m m m =∴=∴=++由题意知5 解 (1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3,∴b n =3n －2(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+231-n )］，31log a b n +1=log a因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅…由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可判定当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1， ②当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1， ③下面用数学归纳法证明①式(ⅰ)当n =1时，已验证①式成立 (ⅱ)假设当n =k 时(k ≥1），①式成立，即313)2311()411)(11(+>-+++k k那么当n =k +1时，1111(11)(1)(1)(1))2).4323(1)23131k k k k k++++>+=+-+-++ 22232(32)(34)(31)[(32)]31(31)k k k k k k +-+++-=++2940,2)(31)31k k k k +=>+>=++111(11)(1)(1)(1)43231k k ++++>-+ 因而这就是说①式当n =k +1时也成立由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n 都成立由此证得 当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1；当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1 6 解 (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+ 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t ②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0∴tt a a n n 3321+=-,n =2,3,4…, 所以{a n }是一个首项为1公比为t t 332+的等比数列； (2)由f (t )= t t 332+=t132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列于是b n =1+32(n －1)=312+n ;(3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n ,∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) =－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n )四、易错题 1、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ==，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a ++(n ÎN *)的直线的斜率是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：A2、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为s n ，若s n+1，s n ，s n +2成等差数列，则公比q 为 （ ） A ．2-=q B ．1=q C ．12=-=q q 或 D ．12-==q q 或 答案：A3、(广东实验中学2008届高三第三次段考)等差数列}{n a 的前n 项和为30,,1182=++a a a S n 若，那么下列S 13值的是 （ ） A ．130 B ．65 C ．70 D ．以上都不对 答案：A4、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列nb {a }前10项的和等于A.55B.70C.85D.100答案：C ．解析：本题考查了等差数列的通项及前n 项和计算．11111111,11(1)12523n n n b n a a n b b n a a b a b n a b n n n =+-=+-=+-=++--=++-=+-=+ 因此，数列{}nba 也是等差数列，并且前10项和等于：10(413)852+= 5、(河北省正定中学高2008届一模)在正项等差数列{a n }中，前n 项和为n S ，在正项等比数列{b n }中，前n 项和为T n ，若a 15＝b 5，a 30＝b 20，则S 30－S 15T 20－T 5∈( )A ．(0，1)B ．(12，1)C ．[1，＋∞]D ．[12，2]答案：C6、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)在等差数列{n a }中，a 1>0, 95175a a =, 则数列{n a }前n 项和n S 取最大值时，n 的值等（ ）A 12B 11C 10D 9 答案：C7、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3184=S S ，则168S S等于（ ）A ．103 B ．13 C ．91 D ．81答案：A8、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10：S 5=1：2，则S 15：S 5=（ ） A ．3：4 B ．2：3 C ．1：2 D ．1：3 答案：A 9、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知数列}{n a 的前三项依次是—2，2，6，前n 项的和S n 是n 的二次函数，则a 100等于（ ） A ．3900 B ．392C ．394D ．396答案：C 10、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)设数列}{n a 的前n 项和为)(*N n S n ∈，关于数列}{n a 有下列三个命题：①若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则1+=n n a a ； ②若),(2R b a bn an S n ∈+=，则数列}{n a 是等差数列； ③若n n S )1(1--=，则数列}{n a 是等比数列. 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D ①不妨设数列}{n a 的前三项为d a a d a +-,,，则其又成等比数列，故222d a a -=，∴0=d ，即1+=n n a a ；②由n S 的公式，可求出b a n a n +-=)12(，故}{n a 是等差数列；③由n S 可求由1)1(2--=n n a ，故数列}{n a 是等比数列. 故选D .【总结点评】本题主要考查等差、等比数列的概念，n S 与n a 的关系，思维的灵活性. 11、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n = A ．11 B ．17 C ．19 D ．21答案：C12、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在正项等差数列{a n }中，前n 项和为Sn ，在正项等比数列{b n }中，前n 项和为Tn ，若a 15＝b 5，a 30＝b 20，则S 30－S 15T 20－T 5∈( )A ．(0，1)B ．(12，1)C ．[1，＋∞]D ．[12，2]答案：C13、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为n S ，若32,14n n S S ==，则4n S 等于（ ） A ．16 B ．26 C ．30 D ．80答案：C14、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)数列{}n a 中，0n a ≠，且满足113(2)32n n n a a n a --=≥+，则数列1{}na 是：A 递增等差数列B 递增等比数列C 递减数列D 以上都不是 答案：A15、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++==-+∈，则122008111m a a a =+++ 的整数部分是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：B16、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)数列{a n }满足=+-==+200811a ,11,2则n n a a aA ．2B ．－31 C ．－23 D ．1答案：A17、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1( n ∈N *)，则a 2007＝ （ ）A ．0B ．－ 3C ． 3D ．32答案：C18、(黄家中学高08级十二月月考)在等比数列{}()n a n N *∈中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项的和为 A ． 8122-B. 9122-C. 10122-D. 11122-【解】：由21813314=⇒===q q q a a ，所以()1010110911()112211212a q S q -⋅-===---故选B ； 19、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是( ) A 、7 B 、8 C 、9 D 、10答案：D20、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（ ） A .67 B. 57 C. 37 D. 17答案：B21、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)已知f(x)=bx+1为关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且满足g(n)=⎩⎨⎧≥-=)1( )]1([)0(1n n g f n 设a n =g(n)－g(n －1)(n ∈N 8),则数列{a n }为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列答案：B22、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)设5021,,,a a a 是以1,0,1-这三个整数中取值的数列，若：95021=+++a a a 且107)1()1()1(2502221=++++++a a a ,则5021,,,a a a 当中取零的项共有（ ）A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个答案：A23、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)在等差数列{}n a 中，若181006100510041003=+++a a a a ，则该数列的前2008项的和是（ ）A ．18072B ．3012C ．9036D ．12048答案：C24、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)已知*,7980N n n n a n ∈--=，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A ．1a ，50aB ．9a ，50aC ．8a ，9aD ．9a ，8a 答案：D25、(山西大学附中2008届二月月考)二次函数2(1)(21)1y n n x n x =+-++，当n 依次取1，2，3，4，…，n ，…时，图象在x 轴上截得的线段的长度的总和为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：A。
求数列通项公式与数列求和的几种方法
求数列通项公式与数列求和的几种方法数列是由一定规律形成的数的序列，通常可以用数学公式表示。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，有多种方法可以求解数列的通项公式和数列的求和问题。
下面将介绍一些常见的方法。
一、通过递推关系求解通项公式与求和递推关系是指数列中相邻项之间的数学关系。
通过观察数列中的规律，可以找到数列的递推关系，从而求解通项公式和数列的求和。
1.1等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差是一个常数。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过该递推关系，可以求解等差数列的通项公式和求和。
1.2等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比是一个常数。
设数列的第一项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
通过该递推关系，可以求解等比数列的通项公式和求和。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
设数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2、通过该递推关系，可以求解斐波那契数列的通项公式和求和。
二、通过数学工具求解通项公式与求和2.1代数方法对于一些特定的数列，可以使用代数方法求解通项公式和求和。
例如，对于等差数列和等比数列，可以使用代数方法推导出通项公式和求和公式。
2.2比较系数法比较系数法是一种常用的方法，适用于具体的数列。
通过对比数列中的系数和常数，可以列方程组求解通项公式和求和。
2.3拆分合并法对于一些数列，可以通过拆分合并法求解通项公式和求和。
该方法将数列分为不同的部分进行拆分和合并，从而得到整个数列的通项公式和求和。
三、通过数学工具和技巧求解通项公式与求和3.1差分法差分法是一种常见的求解通项公式和求和的方法。
对于一些特殊的数列，可以通过数列和数列之间的差值来推导出数列的特征，进而求解通项公式和求和。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
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常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n na a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
3. 已知数列{}n a 满足11a =，212=a ，11112n n na a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足211=a ，n a a n n 21+=+，*()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n -=+-，(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+⨯+， *()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。
类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+，(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列 {}n a 满足125nn n a a +=⨯*()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。
类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn S =+，求数列{}n a 的通项公式。
类型五：待定系数法q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ；p a a n n =+++λλ1解出λ，可得数列λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=-*()n N ∈，求数列{}na 的通项公式。
2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。
类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。
例：已知数列{}n a 满足11a =，122nn n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =，1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n nac b =求数列{}n c 的通项公式。
类型七：（公式法2） （nn n p pa a ⨯+=+λ1）p>0;解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n p a 为以p λ为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式2.已知数列{}n a 满足nn n a a 3431⨯+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。
数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3log 1log 23=x ，求32x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+nx 的前n 项和. 变式练习1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S .2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=nn S ,求2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和：2321,,721,421,1112-+⋅⋅⋅+++-n n ，…变式练习1.已知数列}{n a 中，nn n a 32+=，求n S .2.已知数列}{n a 中，n n n a 21)12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求οοοο88sin 3sin 2sin 1sin 2222+⋅⋅⋅+++ο89sin 2+的值. 1.已知xx f +=11)(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法：例.数列}{n a 中，12)12(-⋅-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法例.已知数列}{n a 中，)2(1+=n n a n ，求n S .1.求数列11,,321,211++⋅⋅⋅++n n的前n 项和.2.在数列}{n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ， 又12+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和.3.求和求数列的通项与求和作业1.已知数列}{n a 的首项11=a（1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________111{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式（3）若11n n a a n +=++，则n a =__________；（4）若12nn n a a +=⋅，则n a =_______（5）若1)1(++=n n a n na ，则n a =__________； （6）若)2(231≥+=-n a a n n ，则n a =__________；（7）若11nn n a a a +=+，则n a =__________。
2. 3. 2 4.5. 等比数列 的前n 项和12-=nn S ，求6.求和：7. 求和：8. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有2(2)1n n S n a =+-．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅L ，求n T ． {}n a 2232221na a a a ++++Λ。