角平分线性质定理及逆定理的证明
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理定理一、角平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
角平分线(1)性质定理与逆定理
角平分线（1） 性质定理与逆定理
角平分线
你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 A ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. D 分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的△OPD≌△OPB， O 1 2 E B P C
而△OPD≌△OPB的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
角平分线定理
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
A
D 1 2 E B P C
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
角平分线逆定理
你能写出“定理 角平分线上的点到 这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 A 点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB, 1 P O 2 C PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. E 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 B 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
′
逆定理
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一.
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角 ６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
• • • • • １．全等三角形的对应边相等． ２．角平分线的性质定理 ３．等角对等边 ４．等腰三角形的三线合一 ５.垂直平分线的性质定理
（练习）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E
用
A M
小区C P
N O B
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
做一做
1
三角形内角的角平 分线
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且 OD=2米
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
B
交换定理的条件和结论得到的命题为：
合作探究
′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上. B 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
A
基本应用
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2 E D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
思 考 分 析
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D O E P C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
角平分线的性质定理
E
F
B
D
C
小结：
1、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
逆定理：到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上 2、性质与判定定理的应用。
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
)
B
A
D
C
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
想一想，你会证明吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1PBiblioteka 2∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
O
EB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上 （ ）
G M
H
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，
且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
宁强三中 徐健
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等
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A P
B F E C
角平分线的性质与判定
教学目标：
1、 能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。
2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。
教学重点：定理的证明及应用。
教学难点：定理的证明。
教学过程： 一.复习引入：
在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。
你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？ 角平分线的性质：___________________________________________________ 角平分线的性质的逆命题是： 二、新课学习： 知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D 求证：CF ＝DF. 证明： 应用格式： 例 1.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。
求证：PE=PF
知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC ＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明：
应用格式： 例2. 已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。
知识点三. 关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 已知：如图6，AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线 求证：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 证明：
三、课堂总结：总结本节课的收获 四．课堂检测 1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是 的交点 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则= 图4D
O B F E F
D I
P R
Q
A
3．如图3，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD
平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB 。
其中正确的有
4．如图4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是PD PC
5、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F
在BC上，并且BF＝AB，则下列四个结论：①EF∥AC，②∠EFB＝∠BAD，③AE＝EF，
④△ABE≌△FBE，其中正确的结论有
5题图 6题图 7题图
6、如图所示，在中，∠C＝90°， AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC
于D，DE⊥AB于E，则EB的长是
7、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇
的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
A、1 B、2 C、3 D、4 8、已知：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．
求证：（1）∠PAB=∠PBA （2）OP垂直平分AB （3）OA=OB
五．课下作业：
A．作业精,80-81页中，5-8题，13-16题
B．1．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，
PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：
①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是( )．
(A)①③ (B)②③ (C)①② (D)①②③
2．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C
的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC
且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的是( )．
(A)②④ (B) ②④ (C)②③④ (D)①②③④
3．已知：如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
4、如图13，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，
PS⊥AC于S，若AQ=PQ，RP=PS。
则PQ与AB是否平行？请说
明理由.
5、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补
求证：AD＝CD.。