双曲线综合训练

双曲线综合训练
双曲线综合训练

双曲线综合训练

1.双曲线

22

1102

x y -=的焦距为 ( )

A .

B .

C .

D .2.“双曲线的方程为22

1916

x y -=”是“双曲线的渐近线方程为x y 34±=”的 ( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

3.已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1

5

,则m =( ) A .1

B .2

C .3

D .4

4.双曲线22221x y a b

-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12F F ,,过1F 作倾斜角为30

的直线交

双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为 ( )

A

B

C

D .

3

5.与曲线

1492422=+y x 共焦点,而与曲线164362

2=-y x 共渐近线的双曲线方程为 ( ) A .

191622=-x y B .191622=-y x C .116922=-x y D .116

92

2=-y x 6.一动圆与两圆:x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切,则动圆心的轨迹为 ( )

A .抛物线

B .圆

C .双曲线的一支

D .椭圆

7.若双曲线

22

142

x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是 ( ) A .

3

6

4 B .

3

6

2 C .62 D .32

8.θ是第三象限角,方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是 ( )

A .焦点在x 轴上的椭圆

B .焦点在y 轴上的椭圆

C .焦点在x 轴上的双曲线

D .焦点在y 轴上的双曲线

9.已知双曲线22

:

1916

x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF F F =,则12PF F ?的面积等于 ( ) A.24 B.36 C.48 D.96

10.连接双曲线122

22=-b y a x 与12222=-a

x b y 的四个顶点构成的四边形的面积为S 1,连接它们的的四个焦点

构成的四边形的面积为S 2,则S 1:S 2的最大值是 ( )

A .2

B . 1

C .

2

1

D .

4

1 11.设椭圆C 1的离心率为

13

5

,焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 ( )

A .1342222=-y x

B .15132222=-y x

C .14

32222=-y x D .1121322

22=-y x

12.P 为双曲线22

1916

x y -=的右支上一点,M ,N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上

的点,则PM PN -的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

13.过双曲线

22

1916

x y -=的右顶点为A ,右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为_______。

14.方程

22

142

x y t t +=--所表示的曲线为C ,有下列命题: ①若曲线C 为椭圆,则24t <<; ②若曲线C 为双曲线,则4t >或2t <;

③曲线C 不可能为圆; ④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线,则4t >。

以上命题正确的是 。(填上所有正确命题的序号) 15.已知双曲线经过点M (6,6),且以直线x = 1为右准线.

(1)如果F (3,0)为此双曲线的右焦点,求双曲线方程; (2)如果离心率e=2,求双曲线方程.

16.直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2

=1相交于不同二点A 、B .

(1)求k 的取值范围; (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点,求该圆的半径

17.双曲线222x y -=的右焦点为F ,过F 的动直线与双曲线交于A B ,两点,点C 的坐标是(10),.

(I )证明CA CB ?

为常数;

(II )若动点M 满足CM CA CB CO =++

(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程.

双曲线综合训练答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.D 解:由双曲线方程得22210,212==∴=a b c

,于是==c c 2.A

3.D 解:222

11

91(0),,3y m x m a b m

-=>?==

取顶点1(0,)3, 一条渐近线为30,mx y -=

21

|3|1925 4.5m m -?=?+=∴= 故选D。 4.B 解:如图在12Rt MF F 中,121230,2MF F F F c ∠==

12cos30c MF =

= ∴

,2

2tan 30MF c =?=

122a MF MF =-==

∴c e a

?=B 。 5.A 解:由双曲线与曲线

1492422=+y x 共焦点知焦点在y 轴上,可排除B 、D ,与曲线164

362

2=-y x 共渐近线可排除C ,故选A 。 6.C

7.A 解:由点P

到双曲线右焦点的距离是2知P 在双曲线右支上.又由双曲线的

第二定义知点P

,双曲线的右准线方程是x = 故点P 到y

.选A . 8.D

9.C 解法一:∵双曲线22

:

1916

x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F = ∴12261016PF a PF =+=+= 作1PF 边上的高2AF ,则18AF =

∴26AF ==

∴12PF F ?的面积为

1211

1664822

PF PF ?=??= 故选C 。 解法二:∵双曲线22:

1916

x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F -

设()()000,0P x y x >,, 则由212

PF F F =得()2

22

00510x y -+= 又∵P 为C 的右支上一点 ∴22001916x y -= ∴22

001619x y ??=- ???

∴()22

0051611009x x ??

-+-= ???

即20025908190x x +-=

解得0215x =

或039

05

x =-

<(舍去)

∴0485

y ==

∴12

PF F ?的面积为12011481048225

F F y ?=??= 故选C 。 10.C 221211222,(2)222S a b ab S c c =

=== ,∴122222122

S ab ab S c a b ==≤+,故选C 。 11.A 解:对于椭圆1C ,13,5a c ==,曲线2C 为双曲线,5,c =4a =,标准方程为:22

22143

x y -=。

故选A 。

12.D 解:设双曲线的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF 1|-2)-(|PF 2|-1)=10-1=9,故选D 。

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13.

32

15

解:双曲线的右顶点坐标(3,0)A ,右焦点坐标 (5,0)F ,设一条渐近线方程为4

3

y x =,

建立方程组22

4(5)3

1

916

y x x y ?=-????-=??,得交点纵坐标3215y =-,从而132********AFB S =??= 。 14.②④ 解:若曲线C 为椭圆,则40

2432042t t t t t t ->??

?<<≠->??-≠-?

且,∴①错误;

若曲线C 为双曲线,则(4)(2)024t t t t --或,∴②正确;

当3t =时曲线C 方程为22

1x y +=,表示圆,∴③错误;

若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线,则40

420

t t t -?

->?,∴④正确。

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.解:(1)设P (x ,y )为所求曲线上任意一点,由双曲线定义得

1

6)06()36(161)0()3(12

222--+-=

-=--+-=-=MF x y x x PF

e = 3

化简整理得16

32

2=-y x (2)a b b a c a c a

c

e 3,,22222=∴+==?==

又 因此,不妨设双曲线方程为132

2

22=-a

y a x , 因为点M (6,6)在双曲线上,所以

13662

2=-a a ,得42=a ,122

=b 故所求双曲线方程为

112

42

2=-y x

16解:(1)当k=0时,y=1与3x 2

-y 2

=1有二公共点;若k≠0,则x=k

1(y-1)代入3x 2

-y 2

=1有(3-k 2

)y 2

-6y+3-k 2

=0,显然k 2

=3

时,直线与双曲线渐近线平行,无二公共点,所以k 2≠3.由y∈R,所以Δ=36-4(3-k 2)2≥0,所以0

≠3.综合知k≠(-6,6)且k≠±3时,直线与双曲线交于二点,反之亦然.

(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),消去y ,得(3-k 2)x 2

-2kx-2=0的二根为x 1、x 2,所以x 1+x 2=2

k 3k 2-,x 1x 2=2

k 32--,由(1)

知y 1y 2=1,因为圆过原点,以AB 为直径,所以x 1x 2+y 1y 2=0,所以k 2

=1,即k=±1为所求的值

17.解:由条件知(20)F ,

,设11()A x y ,,22()B x y ,. (I )当AB 与x 轴垂直时,可设点A B ,

的坐标分别为(2

,(2,

此时(11CA CB ==- .

当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入222x y -=,有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=.

则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,212242

1

k x x k +=-,

于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--

2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++

2222222

(1)(42)4(21)4111

k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-. 综上所述,CA CB

为常数1-. (II )解法一:设()M x y ,,则(1)CM x y =-

,,11(1)CA x y =- ,,

22(1)CB x y =- ,,(10)CO =-

,由CM CA CB CO =++ 得: 121213x x x y y y -=+-??

=+?,即1212

2x x x y y y +=+??+=?,

于是AB 的中点坐标为222x y +??

???

,. 当AB 不与x 轴垂直时,1212222

22

y

y y y x x x x -==

+---,即1212()2y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22

222x y -=,两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(2)()x x x y y y -+=-.

将1212()2

y

y y x x x -=

--代入上式,化简得224x y -=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(20)M ,

,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是224x y -=.

解法二:同解法一得1212

2x x x y y y +=+??+=?,

……………………………………①

当AB 不与x 轴垂直时,由(I ) 有2

12241

k x x k +=-.…………………②

212122

44(4)411k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??

.………………………③ 由①、②、③得2

2421k x k +=-. …………………………………………④

241

k

y k =

-.……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时,0y ≠,由④、⑤得,

2

x k y

+=,将其代入⑤有 222

2

2

44(2)(2)(2)1x y x y y x x y

y +?

+==++--.整理得22

4x y -=. 当0k =时,点M 的坐标为(20)-,

,满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(20)M ,

,也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是2

2

4x y -=.

双曲线专题练习(含解析)

双曲线专题练习 5.(2020·陕西省西安市育才中学模拟)已知双曲线C:x2 a2-y2 16=1(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y =0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=7,则|PF2|=()

A .1 B .13 C .17 D .1或13 6.(2020·辽宁省东北中山中学模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,点A 在双曲线 的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( ) A.x 24-y 2 12=1 B.x 212-y 2 4=1 C.x 23 -y 2 =1 D .x 2- y 2 3 =1 7.(2020·河北省秦皇岛市第三中学模拟)如图,双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别 为F 1,F 2,直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直,与两条渐近线分别交于M ,N 两点,若|NF 1|=2|MF 1|,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A .y =± 33x B .y =±3x C .y =±22 x D .y =±2x 8.(2020·辽宁省海城市高级中学模拟)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =5 4,且其右焦点为F 2(5, 0),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 2 3=1 B.x 29-y 2 16=1 C.x 216-y 2 9 =1 D.x 23-y 2 4 =1

9.(2020·吉林省四平市实验中学模拟)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0),右焦点F 到渐近线的 距离为2,点F 到原点的距离为3,则双曲线C 的离心率e 为( ) A. 53 B.355 C.63 D.62 10.(2020·黑龙江省双鸭山市第一中学模拟)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos △F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.4 5 11.(2020·江西省赣州市第一中学模拟)双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =3 5x ,则a = . 12.(2020·福建省福州高级中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的 右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c ,则其离心率的值为 . 13.(2020·安徽省马鞍山市第二中学模拟)双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的 边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a = . 14.(2020·江苏省太湖高级中学模拟)已知椭圆D :x 250+y 2 25=1与圆M :x 2+(y -5)2=9.双曲线G 与 椭圆D 有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M 相切,求双曲线G 的方程. 15.(2020·浙江省义乌第二中学 模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,-10). (1)求双曲线的方程; (2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→ =0. 16.(2020·黑龙江省绥化市第一中学模拟)中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点

打印双曲线基础训练题(含答案)

: 双曲线基础训练题(一) 1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( D ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 2.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 (D ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1-

8.双曲线方程为 152||2 2=-+-k y k x ,那么k 的取值范围是 ( D ) A .k >5 B .2<k <5 C .-2<k <2 D .-2<k <2或k >5 9.双曲线的渐近线方程是y=±2x ,那么双曲线方程是 ( D ) A .x 2 -4y 2 =1 B .x 2 -4y 2 =1 C .4x 2 -y 2 =-1 D .4x 2 -y 2 =1 10.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若3||1=PF ,则=||2PF (C ) A .1或5 B . 6 C . 7 D . 9 11.已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线 的右支上,且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 ( B ) A . 4 3 B . 5 3 C .2 D . 73 — 12.设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率,则双曲线122 22=-b y a x (a>0, b>0)的一 个顶点到它的一条渐近线的距离是 ( D ) A . c a B . c b C . e a D . e b 13.双曲线)1(122 >=-n y n x 的两焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 ( B )

双曲线专题经典练习及答案详解

双曲线专题 一、学习目标: 1.理解双曲线的定义; 2.熟悉双曲线的简单几何性质; 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长(小于 2 1F F )的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e (>1)的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤,R y ∈ R x ∈,a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -,()0,2a A ()b B -,01,()b B ,02 ()a A -,01,()a A ,02()0,1b B -,()0,2b B 焦点 ()0,1c F -,()0,2c F ()c F -,01,()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ,其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习

1.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 2 2=1有相同的焦点,则a 的值是( ) A.1 2 B .1或-2 C .1或1 2 D .1 2.已知F 是双曲线x 24-y 2 12=1的左焦点,点A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 3.已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1||PF 2|=( ) A .2 B .4 C .6 D .8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(-10,0),F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF 1→·MF 2→=0,|MF 1→|·|MF 2→|=2,则该双曲线的方程是( ) A.x 29-y 2 =1 B .x 2-y 29=1 C.x 23-y 2 7=1 D.x 27-y 2 3=1 5.若F 1,F 2是双曲线8x 2-y 2=8的两焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为________. 6.已知双曲线x 26-y 2 3=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴,则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56

双曲线基础练习题特别

双曲线基础练习 、选择题: 1 .已知a 3, c 5,并且焦点在X轴一上,则双曲线的标准程是() 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) x y 1 ( B) x y 1 (C) x y 1 (D)x y 1 9 16 9 16 9 16 16 9 2 .已知b 4,c 5,并且焦点在y轴 上, 则双曲线的标准方程是() 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) X y 1 (B) X y 1 (C) x y 1 (D)x y 1 16 9 16 9 9 16 9 16 2 2 3.. 双曲线 —J 1上P点到左焦点的距离是6,则P到右焦点的距离是()16 9 (A)12 (B)14 (C)16 (D)18 2 2 4.. 双曲线—y 1的焦点坐标是() 16 9 (A)(5, 0)和(-5 , 0)(B)(0, 5)和(0,-5 ) (C) (0, 5)和(5, 0) (D) (0, -5 )和(-5 , 0) 5、方程J(x 5)2y2V(x 5)2 2 y 6化简得:() 2 2 2 2 2 2 2 2 (A)—y 1 (B)x y 1 (C)—y 1 (D) x y 1 9 16 16 9 9 16 16 9 6.已知实轴长是6,焦距疋10的双曲线的标准方程是( 是() (A) . x 2y2 1和 2 x 匸1 2 2 (B) x y1和x2匸1 9 16 9 16 9 16 16 9 2 2 2 2 2 2 2 2 (C)—y 1和x y 1 (D) x y 1 和x y 1 16 9 16 9 25 16 16 25 7.过点A (1,0)和 B B;2,1)的双曲线标准方程() (A) x22y2 1 (B) 2 2 x y 1 (C) x2y2 1 (D x2 2y2 1 2 2 8. P为双曲线—y 1上一点,A、B为双曲线的左、右焦点,且AP PB,贝V PAB的 16 9

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案,每题6分共36分) 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 ( ) A . 5 B. 3 C. 4 D 8 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为 ( ) A . 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3.双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 ( ) A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A . 1 B. 2 C. 3 D 4 5.双曲线的渐进线方程为230x y ±=,(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。 ( ) A . 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6.设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 ( ) A . 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 =ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A .y 2 =±4 B .y 2 =±8x C .y 2 =4x D .y 2 =8x 8.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A .2 B .3 9.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线

双曲线专题复习讲义及练习

双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 (1)第一定义:当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 (2)双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为:)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ,离心率为2=e .; ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1:已知12(5,0),(5,0)F F -,一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6,则双曲线的方程为 点拨:一要注意是否满足122||a F F <,二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ,P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置

问题2:双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =,则离心率为 点拨:当焦点在x 轴上时, 23=a b ,213=e ;当焦点在y 轴上时,2 3 =b a ,313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的. [解析]如图,以接报中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A (-1020,0),B (1020,0),C (0,1020) 设P (x,y )为巨响为生点,由A 、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P 在AC 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y=-x ,因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上, 依题意得a=680, c=1020, 用y=-x 代入上式,得5680±=x ,∵|PB|>|PA|, 答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|:|PF 2|=3:2,则△PF 1F 2的面积为 ( ) A .36 B .12 C .312 D .24 解析:2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形,

(完整版)高二双曲线练习题及答案(整理)总结

x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 2.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1-

双曲线专题复习(精心整理).

《圆锥曲线》---------双曲线 主要知识点 1、 双曲线的定义: (1) 定义:_____________________________________________________________ (2) 数学符号:________________________ (3) 应注意问题: 2 注意:如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上?进一步,如何求出焦点坐标? 3 注意:(1)如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像? (2)双曲线的离心率的取值范围是什么?离心率有什么作用? (3)当时b a ,双曲线有什么特点? 4.双曲线的方程的求法 (1)双曲线的方程与双曲线渐近线的关系

①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>(或22 221(0,0)x y a b b a -=>>), 则渐近线方程为________________________________________________________________; ②已知渐近线方程为0bx ay ±=,则双曲线的方程可表示为__________________________。 (2)待定系数法求双曲线的方程 ①与双曲线22 221x y a b -=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________; ②若双曲线的渐近线方程是b y x a =± ,则双曲线的方程可表示为_____________________; ③与双曲线22 221x y a b -=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________; ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________; ⑤与椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为 ______________________________________________________________________________。 5.双曲线离心率的有关问题 (1)c e a = ,1e >,它决定双曲线的开口大小,e 越大,开口越大。 (2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直,离心率2e = 。 (3)双曲线离心率及其范围的求法。 ①双曲线离心率的求解,一般可采用定义法、直接法等方法求解。 ②双曲线离心率范围的求解,一般可以从以下几个方面考虑:a .与已知范围联系,通过求 值域或解不等式来完成;b . 通过判别式?;c .利用点在曲线内部形成的不等式关系;d .利用解析式的结构特点。 6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算 (1)直线与双曲线的位置关系有:____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系? (2)若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB , A 、B 两点分别为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题: 考点一:双曲线的定义 例1 已知动圆M 与圆C 1:(x +4)2 +y 2 =2外切,与圆C 2:(x -4)2 +y 2 =2内切,求动圆圆心M 的 轨迹方程. 变式训练:由双曲线4 92 2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构

职高数学双曲线练习题-(拓展模块)

&下列双曲线既有相同离心率,又有相同渐近线的是( ) 《双曲线的方程》练习 一、选择题: 1、已知动点P 到F i (-5,0)的距离与它到F 2(5,0)的距离的差等于 2 x 2 y =1 A . 9 16 2 2 C . x y = 1(x _ -3) 9 16 16 2 2 D . 1r1r 1(x -3) 2、设 j ,则方程x 2cosv y 2 sinv -1表示的曲线是( ) 12丿 3、双曲线x 2 -y 2 = 1上一点,它与两焦点连线互相垂直,则该点的坐标是( (屈 伍、 A . ---- , ------ 12 2 2 4、两条直线X 二 —把双曲线焦点间的距离三等分,则双曲线的离心率是( ) C 5、方程 Ax 2 By 2 C =0( A 0,B :: 0, C ::: 0)表示() B .焦点在x 轴上的双曲线 4 5 4 5 A . B .-- C . -— D.- 5 4 5 4 7、渐近线为 --y -0的双曲线方程- .宀曰 / 定是( ) a b c .焦点在y 轴上的双曲线 D .椭圆 2 2 6、双曲线- —=1的两条渐近线夹的锐角的正切值是( ) 16 25 2 2 x 2 a 2 y_ b 2 -1 2 y_ b 2 --1 C . 2 2 x_ y (ak)2 (bk)2 = 1(k =0) 2 x D .兀 a k 6,则点P 的轨迹方程是( A ?椭圆 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 2.3 B. ■■ 3 C . 2.3 2 A .两条直线 C . D .

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,12PF F ?是底角为30的等腰三 角形,则E 的离心率为( ) () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想,是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形, ∴322c a = ,∴e =3 4 , ∴0260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c , 2.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =;则C 的实轴长为( ) ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:222x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2, ∴C 的实轴长为4,故选C. 3.已知双曲线1C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2,则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知a b 3=,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2)到直线x y 3=的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 (A ) 2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==,所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=

(完整版)双曲线分类练习练习题

双曲线练习题 1、双曲线的定义 1.设12F F ,是双曲线C :22 221x y a b -=(a >0,b >0)的左右焦点,点P 是C 右支 上异于顶点的任意一点,PQ 是12F PF ∠的角平分线,过点1F 作PQ 的垂线,垂足为Q ,O 为坐标原点,则OQ 的长为( ) A .定值a B .定值b C .定值c D .不确定,随P 点位置变化而变化 2.设双曲线 22 214x y b -=的左右焦点分别为12F F ,,过2F 的直线与该双曲线右支交于点A 、B ,且6AB =,则1ABF ?的周长为( ) A .8 B .12 C .16 D .20 3.过双曲线2 2 115 y x -=的右支上一点P ,分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆222:(4)1C x y -+=作切线,切点分别为,M N ,则22 PM PN -的最小值为 A .16 B .15 C .14 D .13 4.如图,双曲线2 214 y x -=的左、右焦点分别是12F F ,,P 是双曲线右支上一点,1PF 与圆221 x y +=相切于点,T M 是1PF 的中点,则MO MT -= ( ) A .1 B .2 C . 12 D .32 5.已知双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,点P 是其 上一点,双曲线的离心率是2,若△F 1PF 2是直角三角形且面积为3,则双曲线的实轴长为( ) A .2 B .2 C .2或2 D .1或 22 6.已知双曲线C:2 2 13 y x -=的左焦点为1F ,顶点,是双曲线右支上的动点,则1PF PQ +的最小值等于__________. 7.设P是双曲线 22 1927 x y -=上一点, 12F F ,分别是左右焦点,若17PF =,则2PF =________ 8.在△ABC 中,4BC =,△ABC 的内切圆切BC 于D 点,且22BD CD -=,则顶点A 的轨迹方程为________. 9.设12F F ,分别为双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点.若在双曲线 左支上存在点P,满足1PF =12F F ,且1F 到直线2PF 7a ,则该双曲线的离心率e =__________.

(完整版)双曲线练习题

圆锥曲线与方程(双曲线练习题) 一、选择题 1.已知方程22 121 x y k k +=--的图象是双曲线,那么 的取值范围是( ) A . B . C . D . 2.双曲线22 221(00)x y a b a b ->>=,的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点,满足212|PF F F |=,直线1PF 与 圆222x y a +=相切,则双曲线的离心率为( ) A. 54 B.53 3.过双曲线22 12 y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点,若,则这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点,AB =C 的实轴长等于( ) 5.已知双曲线x y m 2219-=的一条渐近线的方程为y =,则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A .2 B . C . D . 6.若直线过点(3,0)与双曲线2 2 4936x y -=只有一个公共点,则这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 7.方程22 1()23 x y k k k -∈-+R =表示双曲线的充要条件是( ) A.2k >或3k <- B.3k <- C.2k > D.32k -<< 二、填空题 8.过原点的直线,如果它与双曲线22 134 y x -=相交,则直线的斜率的取值范围是 . 9.设为双曲线2 214 x y -=上一动点,为坐标原点,为线段的中点,则点的轨迹方程是 . 10.过双曲线 22 22 1(,0)x y a b a b -=>的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点, 以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 . 11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线与圆22 420x y x +-+=有交点,则该双曲线的离心率的取值 范围是 . 三、解答题(本题共3小题,共41分) 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

双曲线专题复习附答案

双曲线专题 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义 1.设P 为双曲线1122 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|:|PF 2|=3:2,则△PF 1F 2的面积为 ( ) A .36 B .12 C .312 D .24 解析:2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形, .12462 1||||212121=??=?=∴?PF PF S F PF 故选B 。 2. P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左支上的一点,F 1、F 2分别是左、右焦点,且焦距为2c ,则21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为( ) (A )a - (B )b - (C )c - (D )c b a -+ [解析]设21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为0x , 由圆的切线性质知,a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程 3.已知双曲线C 与双曲线162 x -4 2y =1有公共焦点,且过点(32,2).求双曲线C 的方程. [解析] 解法一:设双曲线方程为22 a x -22b y =1.由题意易求c =25. 又双曲线过点(32,2),∴22)23(a -2 4b =1. 又∵a 2+b 2=(25)2,∴a 2=12,b 2=8. 故所求双曲线的方程为122 x -8 2y =1. 解法二:设双曲线方程为k x -162-k y +42=1,

双曲线练习题及答案

双曲线相关知识 双曲线的焦半径公式: 1:定义:双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径。 2.已知双曲线标准方程x^2/a^2-y ^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex -a) 点P(x,y )在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a 运用双曲线的定义 例1.若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α所在象限是( ) A 、第一象限 B、第二象限 C 、第三象限 D、第四象限 练习1.设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15,则P 点到)0,5(-的距离是( ) A .7 B.23 C.5或23 D.7或23 例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2 +32 y 52=1的两个顶点,双曲线的两条准 线分别通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是( )。 (A)6x 2-4y 2=1 (B )4x 2-6y 2=1 (C )5x 2-3y 2=1 (D )3x 2 -5 y 2=1 练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的( )。 (A)充分条件 (B )必要条件 (C )充要条件 (D)不充分不必要条件 例3. 已知|θ|< 2 π ,直线y=-tg θ(x-1)和双曲线y 2co s2θ-x2 =1有且仅有一个公共点,则θ等于( )。 (A)±6π (B)±4π (C )±3π (D )±12 5π 课堂练习

1、已知双曲线的渐近线方程是2 x y ±=,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线 的方程为 ; 2、焦点为(0,6),且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ) ?A.124 122 2=-y x B . 124 122 2=-x y C. 112 242 2=-x y D. 112242 2=-y x 3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a y b x 22 22=-的离心率,则e 12+e 22与e 12·e 2 2 的大小关系是 。 4.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2 221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双 曲线右支上的任意一点,则OP FP ?的取值范围为 ( ) A .)+∞ B .[3)++∞ C .7[-,)4+∞ D.7 [,)4+∞ 5. 已知倾斜角为 4 π 的直线l 被双曲线x 2-4y2=60截得的弦长|AB |=82,求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。 6. 已知P 是曲线xy=1上的任意一点,F (2,2)为一定点,l :x+y -2=0为一定直线,求证:|PF |与点P到直线l 的距离d 之比等于2。 7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为 ) .

椭圆双曲线抛物线专题训练

椭圆、双曲线、抛物线 专题训练 一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分) 1.(精选考题·陕西高考)已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为( ) A.1 2 B .1 C .2 D .4 2.(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C :x 22+y 2 =1的右焦点为F ,右准线为l ,点A ∈l ,线 段AF 交C 于点B .若FA =3FB ,则|AF |= ( ) A. 2 B .2 C.3 D .3 3.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且|NF |= 3 2 |MN |,则∠NMF =( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 4.过椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠ F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为( ) A. 22 B.3 3 C.12 D.13 5.双曲线x 24-y 2 5=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,若线段PF 1的 中点在y 轴上,那么点P 到双曲线左准线的距离是( ) A.133 B.53 C.154 D.94 6.(精选考题·皖南八校模拟)已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点P 到准线的距离为d ,点A (7 2 ,4),则|PA |+d 的最小值是( ) A.7 2 B .4 C.9 2 D .5

二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分) 7.经过点M (10,83),渐近线方程为y =±1 3 x 的双曲线的方程为________. 8.抛物线C 的顶点在坐标原点,对称轴为y 轴,若过点M (0,1)任作一条直线交抛物线C 于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,且x 1·x 2=-2,则抛物线C 的方程为________. 9.已知以坐标原点为顶点的抛物线C ,焦点在x 轴上,直线x -y =0与抛物线C 交于A 、B 两点.若P (2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为________. 三、解答题(本大题共3个小题,共46分) 10.(本小题满分15分)(精选考题·济南模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =1 2, 且椭圆经过点N (2,-3). (1)求椭圆C 的方程; (2)求椭圆以M (-1,2)为中点的弦所在直线的方程. 11.(本小题满分15分)(2009·全国卷Ⅱ)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3 3,过右 焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为 22 . (1)求a ,b 的值; (2)C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP =OA +OB 成立?若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由. 12.(本小题满分16分)如图,直线l :y =3(x -2)和双曲线C :x 2 a 2- y 2 b 2 =1(a >0,b >0)交于A 、B 两点,且|AB |=3,又l 关于直线l 1:y =b a x 对称的直线l 2与x 轴平行. (1)求双曲线C 的离心率; (2)求双曲线C 的方程.

-双曲线基础练习题

双曲线基础练习题 1.已知a=3,c=5,并且焦点在x 轴上,则双曲线的标准程是( ) A .116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 19 16.2 2=-y x D 2.已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上,则双曲线的标准方程是( ) A .191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116 92 2=-y x 3.双曲线19 162 2=-y x 上P 点到左焦点的距离是6,则P 到右焦点的距离是( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4.双曲线19 162 2=-y x 的焦点坐标是 ( ) A. (5,0)、(-5,0)B. (0,5)、(0,-5) C. (0,5)、(5,0) D.(0,-5)、(-5,0) 5.方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得: A .116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 19 162 2=-y x 6.已知实轴长是6,焦距是10的双曲线的标准方程是( ) A . 116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和19 162 2=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和125 162 2=+-y x 7.过点A (1,0)和B ()1,2的双曲线标准方程( ) A .1222=-y x B .122=+-y x C .122=-y x D. 122 2=+-y x 8.P 为双曲线19 162 2=-y x 上一点,A 、B 为双曲线的左右焦点,且AP 垂直PB ,则三角形PAB 的面积为( ) A . 9 B . 18 C . 24 D . 36 9.双曲线19 162 2=-y x 的顶点坐标是 ( ) A .(4,0)、(-4,0) B .(0,-4)、(0,4)C .(0,3)、(0,-3) D .(3,0)、(-3,0) 10.已知双曲线21 ==e a ,且焦点在x 轴上,则双曲线的标准方程是( ) A .1222=-y x B .122=-y x C .122=+-y x D. 1222=+-y x

(完整版)双曲线分类练习练习题.doc

双曲线练习题1、双曲线的定义 1.设F1,F2 x2 y2 1 ( a> 0,b > 0)的左右焦点,点 P 是 C 右支是双曲线 C: b2 a2 上异于顶点的任意一点,PQ 是F1PF2的角平分线,过点F1作PQ的垂线,垂足为 Q, O 为坐标原点,则OQ 的长为() A.定值 a B.定值 b C.定值 c D.不确定,随P 点位置变化而变化 2.设双曲线x2 y2 1的左右焦点分别为 F1, F2 ,过 F2的直线与该双曲线右支4 b2 交于点 A、 B,且AB 6,则ABF1的周长为() A.8 B.12 C. 16 D. 20 3 .过双曲线x2 y2 1 的右支上一点P ,分别向圆C1 : ( x 4) 2 y2 4 和圆 15 C2 : ( x 4) 2 y2 1 作切线,切点分别为M , N ,则PM 2 2 PN 的最小值为 A.16 B.15 C. 14 D. 13 4 .如图,双曲线x2 y2 1 的左、右焦点分别是 4 F1, F2 ,P 是双曲线右支上一点,PF1与圆x2 y2 1 相切于点 T , M 是 PF1的中点,则MO MT () A. 1 B. 2 C. 1 3 2 D. 2 5.已知双曲线 x2 y 2 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1, F2,点 P 是其 a2 b 2 上一点,双曲线的离心率是2,若△F1PF2是直角三角形且面积为3,则双曲线的实 轴长为() A. 2 B. 2 C.2 或 2 D. 1 或 2 2 6.已知双曲线C:x2y2 1 的左焦点为 F1,顶点 3 ,是双曲线右支上的动点,则PF1 PQ 的最小值等于__________ . 7.设P是双曲线 x2 y 2 F1, F2分别是左右焦点, 若 PF1 7 , 则 9 1 上一点, 27 PF2 ________ 8.在△ ABC中,BC 4 ,△ ABC的内切圆切 BC于 D 点,且BD CD 2 2 , 则顶点 A 的轨迹方程为 ________. 9.设F1,F2分别为双曲线 x2 y 2 1(a>0,b > 0)的左、右焦点 . 若在双曲线 a2 b2 左支上存在点P,满足PF1 F1F2,且F1到直线PF2的距离为7a ,则该双曲 线的离心率 e __________. 第 1 页共 8 页◎第2页共8页

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