2016年秋季新版北师大九年级上册数学导学案: 3.1第2课时 用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率

2016年秋季新版北师大九年级上册数学导学案: 3.1第2课时 用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率
2016年秋季新版北师大九年级上册数学导学案: 3.1第2课时 用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率

第2课时 用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率

【学习目标】

1.会运用树状图和列表法计算事件发生的概率.

2.经历试验、探讨过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.

3.通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣,感受数学的简捷美,及数学应用的广泛性. 【学习重点】 运用树状图和列表法计算事件发生的概率.

【学习难点】

树状图和表格法的运用方法.

情景导入 生成问题

1.利用树状图或表格,我们可以不重复,不遗漏地列出所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率.

2.如图,一只昆虫在树上爬行,假定昆虫在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则这只昆虫停留在A 叶

面的概率是16. 3.将1、2、3三个数字随机生成的点的坐标,列成下表.如果每个点出现的可能性相等,那么从中任意取一点,则这个点在函数y =x 图象上的概率是( C )

(1,1),(1,2),(1,3)

(2,1),(2,2),(2,3)

(3,1),(3,2),(3,3)

A .0.3

B .0.5

C .13

D .23

自学互研 生成能力

知识模块 探索用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率

1.先阅读教材P 62-63的内容,自学自研例1的解答过程,弄懂这个游戏对三人公平的道理.

2.你能用列表的方法来解答例1吗?

目的:通过儿时的游戏,激发学生学习新知识的兴趣,使学生意识到比较事件发生的概率,是评判规则公平与否的依据,而求概率的方法即为前面学习过的——树状图和列表法.

典例讲解:

小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,12中任意选择一个数,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负,如果你是游戏者,你会选择哪个数?

分析:掷得的点数之和是哪个数的概率最大,选择这个数后获胜的概率就最大,利用列表法解答这个问题.

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”) 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。

最新北师大版九年级数学上册知识点总结

最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理. (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. (3)如何用尺规作图法作出角平分线

北师大版数学九年级上册知识点总结

九年级上册数学知识点总结 第一章 证明(二) 一、全等三角形的判定:SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形:等边对等角,等角对等边。 三、等边三角形 (1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式: 由三角形面积公式可得:两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (如图1所示,AO=BO=CO ) 3、角的平分线的判定定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示,OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F

九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

九年级数学上册知识点归纳(北师大版) 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

北师大版九年级数学上册知识点总结

九(上)数学知识点答案 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。(2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作出角平分线

2020年北师大版九年级数学上册全册教案

课题 1、你能证明它们吗(一) 课型新授课教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习 1、什么是等腰三角形? 2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质?二、新课讲解 在《证明(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) w 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) w 三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) w 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)证明过程 已知∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证△ABC≌△DEF 证明∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)∵∠A+∠B+∠C=18°,∠D+∠E+∠F=18°(三角形内角和等于18°)∠C=18°-(∠A+∠B) ∠F=18°-(∠D+∠E) ∠C=∠F(等量代换) BC=EF(已知)△ABC≌△DEF(ASA)这个推论虽然简单,但也应让学生进行证明,以熟悉的基本要求和步骤,为下面的推理证明做准备。 三、议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?等腰三角形(包括等边三角形)的性质学生已经探索过,这里先让学生尽可能回忆出来,然后再考虑哪些能够立即证明。 定理等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为等边对等角。 已知如图,在ABC中,AB=AC。

新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版) (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

北师大版数学九年级上

一、填空题 1.一个矩形的面积是48平方厘米,它的长比宽多8厘米,则矩形的宽x (厘米),应满足方程__________. 2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面,桌面正中间铺有一块垫布,垫布的面积是桌面的面积的21,而桌面四边露出部分宽度相同,如果设四周宽度为x 厘米,则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ,宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形,剩下部分的面积刚好是矩形面积的3 2,则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米. 4.一个两位数,十位上的数字是a ,个位上的数字是b ,则这个两位数可以表示为__________. 5.两个连续整数,设其中一个数为n ,则另一个数为__________. 6.两个数之差为5,之积是84,设较小的数是x ,则所列方程为__________. 7.增长率问题经常用的基本关系式: 增长量=原量×__________ 新量=原量×(1+__________) 8.产量由a 千克增长20%,就达到_______千克. 二、选择题 1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形,则其长和宽分别是 A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.(5+3)米和(5-3)米 D.米米和21352135-+ 2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等,则 A.11--=ππR B.1 1-+=ππR §2.5.1 一元二次方程

C.112--+=ππR D.1 12-++=ππR 3.一个两位数,个位上的数比十位上的数小4,且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4,设个位数是x ,则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x -4)+x -4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4 C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x -4 D.x 2+(x -4)2=10x +(x -4)-4 4.三个连续偶数,其中两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数是 A.-2,0,2或6,8,10 B.-2,0,2或-8,-8,-6 C.6,8,10或-8,-8,-6 D.-2,0,2或-8,-8,-6或6,8,10 5.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,问二、三月份平均每月增长率是多少?设平均每月增长率为百分之x ,则 A.50(1+x )2=175 B.50+50(1+x )2=175 C.50(1+x )+50(1+x )2=175 D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175 6.一项工程,甲队做完需要m 天,乙队做完需要n 天,若甲乙两队合做,完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mn n m + D.n m mn + 三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。 四、列方程解应用题 如右图,某小区规划 在长32米,宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3 条小路,使其中两条与AD 平行,一条与AB 平行,其余部分 种草,若使草坪的面积为566米2,问小 路应为多宽?

北师大数学九年级上册知识点总结

北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b

性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)三线合一 判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、直角三角形 (一)、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 22c b a =+ 其它性质: 1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。 2、常用关系式:由三角形面积公式可得: 两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 (二)、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 (三)直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理(斜边、直角边定理):有斜

北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总

最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. .. ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角.(矩形是轴对称

图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3

※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程...... 2.2 ...用.配方法求解.....一元二次方程...... 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02=++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... . ※把02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项. ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解.

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北师大版数学九年级上册课本答案【篇一:北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】 卷满分120 分考试时间120 分钟) 一、选择题(共10 小题,每小题 3 分,计30 分) 1、下列各组图形中,是全等三角形的一组是() a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形 b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形 d.边长为12cm 的两个等边三角形 2、等腰三角形的周长为13,其中一边长为3,则该等腰三角形的 底边长为() a.7 b.3 c.7 或3 d.5 3、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这 个三角形是() a.等腰三角形 b.等边三角形 c. 直角三角形 d.等腰直角三角形 4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中() a.有两个角是直角 b.有两个角是钝角 c. 有两个角是锐角 d.一个角是钝角,一个角是直角 6、如图1-2,在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下, 倒 a.10m b.15m c.25m d.30m c b a d 图1-1 图1-2 7、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角,那么另 外 两个角是锐角③若两直线平行,则内错角相等④三边都相等的三角 形 是等边三角形。其中逆命题正确的有() a.①③ b. ②④ c.①② d.③④ 8、如图1-3(1)在△abc 中,d、e 分别是ab,ac 的中点,将△ ade 沿线段de 向下折叠,得到图形1-3(2),下列关于图(2)的 四个结论中,一定不成立的是() c. △dba 是等腰三角形 d.de ∥bc

e c 图1-3 b c (2)(1)a a.1 b.2 c.3 d.4 b e aa c 图1-4 图1-5 二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,计18 分) 11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内,下列四个命题:①如果 ③如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c 其中属于 真命题的是(填写所有真命题的序号) 12、一个三角形三边之比为2:5:3 ,这个三角形的形状是 13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ,那么??”的形式为 cd=3 ,则ab 的长度为 15、如图1-7,p 是正方形abcd 内一点,将△abp 绕点b 顺时针方 向旋转能与△cbp? 重合,若pb=3 ,则pp? 的长度为 a p d b d b c c n c a b ? 图1-6 图1-7 图1-8 三、解答题(共 6 小题,计72 分,解答应写过程) a d 图1-9 18、(10 分)已知:如图1-10 ,de 为△abc 的边ab 的垂直平分 线, m d cd 为△abc 的外角平分线,与de 交于点d,dm ⊥bc 的延长 线于 点m,dn ⊥ac 于点n,求证:an=bm 。c b 图1-10 d a b 图1-11 20、(12 分)如图1-12 ,在矩形abcd 中,ab=6 ,bc=8 ,将矩形 abcd 沿ce 折叠后,使点 d 恰好落在对角线ac 上的点f 处。 【篇二:北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案】lass=txt> 第一章勾股定理课后练习题答案

新北师大九年级数学上册知识点归纳

新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 ....., .....的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分,共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 ※平行四边形的面积公式: 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形,所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。

(矩形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴是对边中点的连线所在的直线 ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线相等且平分的四边形是矩形) 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(利用对角线相等且平分) 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形,有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): 鹏翔教图3 ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半

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谢谢你的观赏 谢谢你的观赏 北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等。(对边) (2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角) (3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线) (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。 常用点: (1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 (2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定

(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边) (2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边) (3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边) (4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角) (5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线) 4.两条平行线的距离 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。注意:平行线间的距离处处相等。 5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边相等,对边平行。(边) (2)菱形的相邻的角互补,对角相等。(对角) (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)

(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。(边) (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线) (4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线) 4.菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等。(对边) (2)矩形的四个角都是直角。(内角) (3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线) (4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。

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第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定(一) 学习目标: ①通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点:菱形的概念和菱形的性质,菱形的面积公式的推导。 教学难点:菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程: 活动一: 自学课本例题以上的内容,完成下列问题: 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来? 的四边形叫做菱形,生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形? ②菱形为什么是轴对称图形? 有 对称轴。 图中相等的线段有: 图中相等的角有: ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?自己完成证明。 平行四边形 菱形 ?

性质: 证明: 活动二:对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线: 平行四边的对角线: 活动三:菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。 2.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD, 求两条小路的长和花坛的面积。

课效检测: 一、填空 (1)菱形的两条对角线长分别是12cm ,16cm ,它的周长等于 ,面积等于 。 (2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:2,菱形的四个内角是 。 (3)已知:菱形的周长是20cm ,两个相邻的角的度数比为1:2,则较短的对角线长是 。 (4)已知:菱形的周长是52 cm ,一条对角线长是24 cm ,则它的面积是 。 二、解答题 已知:如图,在菱形ABCD 中,周长为8cm ,∠BAD=1200 对角线AC ,BD 交于点O ,求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质,这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的。 A B C D O

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北师大版九年级数学上册知识点 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等。(对边) (2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角) (3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线) (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。 常用点: (1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 (2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边) (2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边) (3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边) (4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角) (5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线) 4.两条平行线的距离 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。注意:平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边相等,对边平行。(边) (2)菱形的相邻的角互补,对角相等。(对角) (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。(边) (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线) (4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线) 4.菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等。(对边) (2)矩形的四个角都是直角。(内角) (3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)

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北师大版九年级数学上全册教案 第一章证明(二)(课时安排) 1.你能证明它们吗?3课时 2.直角三角形2课时 3.线段的垂直平分线2课时 4.角平分线1课时 1.你能证明它们吗?(一) 教学目标: 知识与技能目标: 1.了解作为证明基础的几条公理的内容。 2.掌握证明的基本步骤和书写格式. 过程与方法 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。 2.能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。 情感态度与价值观 1.启发、引导学生体会探索结论和证明结论,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系. 2.培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯. 重点、难点、关键 1.重点:探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问题. 2.难点:探究问题的证明思路及方法. 3.关键:结合实际事例,采用综合分析的方法寻找证明的思路. 教学过程: 一、议一议: 1.还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 2.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 给出公理和定理: 1.等腰三角形两腰相等,两个底角相等。 2.等边三角形三边相等,三个角都相等,并且每个角都等于 60延伸. 二、回忆上学期学过的公理 本套教材选用如下命题作为公理: 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两 条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS) 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA) 5.三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 证明过程: 已知:∠A=∠ D,∠B=∠ E,BC=EF 求证:△ABC≌△DEF 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠D+∠E+∠F=180° (三角形内角和等于180°) ∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) 又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知) ∴∠C=∠F 又∵BC=EF(已知) ∴△ABC≌△DEF(ASA) 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 随堂练习: 做教科书第4页第1,2题。 课堂小结: 通过这节课的学习你学到了什么知识? 作业: 1、基础作业:P5页习题1.11、2。 1.你能证明它们吗(二) 教学目标: 知识与技能目标: 掌握证明的基本思路和书写格式。 过程与方法目标: 经历观察——探索——发现的过程,能运用综合法证明等腰三角形判定定理。 情感态度与价值观目标: 1.感悟证明的实际意义以及必要性,形成探究意识。 2.结合实例体会反证法的含义,培养逆向思维。 重点、难点、关键: 1.重点:掌握证明的常见方法以及书写推理过程。 2.难点:寻找证明的思路,选择证明的方法。 B C F E

数学九年级上知识点总结(北师大版)

九年级上 第一章特殊平行四边形(9课时) 目标:经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程,性质与判定的探索、猜测与证明的过程;理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系;证明菱形、矩形、正方形的性质定理及判定定理;探索并掌握直角三角形的性质定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的性质与判定(3课时),矩形的性质与判定(3课时),正方形的性质与判定(2课时),回顾与思考(1课时);共9课时。 1、菱形的性质与判定 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是轴对称图形。定理:菱形的四条边相等。定理:菱形的对角线互相垂直。定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理:四边相等的四边形是菱形。 2、矩形的性质与判定 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是轴对称图形。定理:矩形的四个角都是直角。定理:矩形的对角线相等。定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。定理:对角线相等的平行四边形是矩形。定理:有三个角是直角的四边形是矩形。 3、正方形的性质与判定 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是矩形,又是菱形,它具有矩形与菱形的所有性质。正方形是轴对称图形。定理:正方形的四个角都是直角,四条边相等。定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分。定理:对角线相等的菱形是正方形。定理:对角线垂直的矩形是正方形。定理:有一个角是直角的菱形是正方形。 第二章一元二次方程(11课时) 目标:经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程;理解一元二次方程相关的概念,理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程,并在这个过程中体会转化的数学思想;经历估计一元二次方程解的过程;会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等;了解一元二次方程的根与系数的关系;利用一元二次方程解决实际问题。 认识一元二次方程(2课时),用配方法求解一元二次方程(2课时),用公式法求解一元二次方程(2课时),用因式分解法求解一元二次方程(1课时),一元二次方程的根与系数的关系(1课时),应用一元二次方程(2课时), 回顾与思考(1课时) ,共11课时。1、认识一元二次方程 只含有一个未知数x 的整式方程,并且都可以化成2 0ax bx c ++=(,,a b c 为常数,0a ≠)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。把20ax bx c ++=(,,a b c 为常数,0a ≠)称为一元二次方程的一般形式,其中2ax ,bx ,c 分别称为二次项、一次项和常数项,a ,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2、用配方法求解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 遇到二次项系数不为1的情况,可以先将二次项系数化为1. 3、用公式法求解一元二次方程 一元二次方程的求根公式:2b x a -±=用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 对于一元二次方程,当240b ac ->时,方程有两个不相等的实数根;当2 40b ac -=时,方程有两个相等的实数根;当240b ac -<时,方程没有实数根。把24b ac -叫做一元二次方程的根的判别式,用△表示。 4、用因式分解法求解一元二次方程

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