四川省雅安市2017年中考数学一诊试卷(含解析)

2017年四川省雅安中学中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．1．如果a与3互为相反数，则是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a5B．（a2）3=a5C．D．a5+a5=a103．下图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图在A，B，C，D中的选项是（）A．B．C．D．4．如图，AB∥CD，∠A=100°，∠D=25°，则∠AED=（）A．80° B．105°C．100°D．75°5．已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组（﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4）中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方时的概率为（）A．B．C．D．6．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形 D．矩形7．如图是坐标系的一部分，若M位于点（2，﹣2）上，N位于点（4，﹣2）上，则G位于点（）上．A．（1，3）B．（1，1）C．（0，1）D．（﹣1，1）8．已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠B=60°，则梯形ABCD的周长（）A．8 B．8 C．10 D．8+29．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（）A．600m2B．625m2C．650m2D．675m210．已知不等式（a+1）x＞2的解集是x＜﹣1，则（）A．a＞2 B．a≤﹣3 C．a=3 D．a=﹣311．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）A．B．C．D．12．函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请将答案直接写在相应题的横线上．13．234 610 000用科学记数法表示为．（保留三个有效数字）14．已知：x2﹣2x+1+=0，则|x﹣y|= ．15．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．16．若a0+a1x+a2x2+a3x3=（1+x）3，则a1+a2+a3= ．17．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为．三、解答题（本大题共8个小题，共69分）要求写出必要的解答过程或演算步骤．18．计算：先化简，再求值：（1）计算：﹣22+cos45°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2017）0（2）先化简：÷（﹣），然后再从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的x 的整数值代入求值．19．解方程：20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠BAE=∠DCF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC⊥EF，试判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．21．袋中有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．（1）求从袋中任意取出1球是红球的概率；（2）先从袋中任意取出1球，然后放回，再从袋中任意取出1球，请用画树状图或列表格法求两次都取到红球的概率．22．某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加学校组织的知识竞赛．班上对三名候选人进行了笔试和口试两次测试，测试成绩如下表：测试项目测试成绩甲乙丙笔试70 80 85口试90 70 65班上50名学生又对这三名候选人进行了民主投票，三人的得票率（没有弃权票，每位学生只能投三人中的一票）如下图，每得一票记1分．（1）请分别算出三人的得票分；（2）如果根据三项得分的平均成绩高者被当选，那么谁将被当选？（精确到0.01）（3）如果根据笔试、口试、投票三项成绩按5：3：2的比例确定成绩，根据成绩的加权平均数高者当选，那么谁又将被当选？23．如图，反比例函数（k≠0）图象经过点（1，2），并与直线y=2x+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足（x1+x2）（1﹣x1x2）=3．（1）求k的值；（2）求b的值及点A，B的坐标．24．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长．25．如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．2017年四川省雅安中学中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．1．如果a与3互为相反数，则是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】倒数；相反数．【分析】根据倒数和相反数的定义直接解答即可．【解答】解：∵a与3互为相反数，∴a=﹣3，则=﹣，故选D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a5B．（a2）3=a5C．D．a5+a5=a10【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；B、应为（a2）3=a6，故本选项错误；C、应为=a4，故本选项错误；D、应为a5+a5=2a5，故本选项错误．故选A．3．下图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图在A，B，C，D中的选项是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到第二层有3个左右相邻的正方形，第一层右下角有一个正方形，故选C．4．如图，AB∥CD，∠A=100°，∠D=25°，则∠AED=（）A．80° B．105°C．100°D．75°【考点】平行线的性质．【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠C的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠AED的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=100°，∴∠C=180°﹣∠A=80°，∵∠D=25°，∴∠AED=∠C+∠D=80°+25°=105°．故选C．5．已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组（﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4）中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方时的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式；二次函数的性质．【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．【解答】解：这个函数的对称轴是x=，当k为2或者1这两个数的时候，所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方，所以概率为．故选B．6．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形 D．矩形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析，即可选出答案．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；故选D．7．如图是坐标系的一部分，若M位于点（2，﹣2）上，N位于点（4，﹣2）上，则G位于点（）上．A．（1，3）B．（1，1）C．（0，1）D．（﹣1，1）【考点】坐标确定位置．【分析】根据已知两点位置，建立符合条件的坐标系，从而确定其G点的位置．【解答】解：由“M位于点（2，﹣2）上，N位于点（4，﹣2）上”知，y轴为从左向数的第二条竖直直线，且向上为正方向，x轴是从下往上数第五条水平直线，向右为正方向，这两条直线交点为坐标原点．如图，那么G点的位置为（0，1）．故选C．8．已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠B=60°，则梯形ABCD的周长（）A．8 B．8 C．10 D．8+2【考点】等腰梯形的性质．【分析】分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，由梯形ABCD是等腰梯形可知，AE=CF，AD=EF，在Rt△ABE中根据BE=AB•cos60°可求出BE的长，进而得出BC的长，故可得出结论．【解答】解：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，∵梯形ABCD是等腰梯形，AE=CF，AD=EF，在Rt△ABE中，∵BE=AB•cos60°=2×=1，∴BC=2BE+EF=2+2=4，∵AD∥BC，AD=AB=2，∴AD=AB=CD=2，∴梯形ABCD的周长=3AD+BC=3×2+4=10．故选C．9．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（）A．600m2B．625m2C．650m2D．675m2【考点】二次函数的应用．【分析】先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．【解答】解：设矩形的一边长为xm，则其邻边为（50﹣x）m，若面积为S，则S=x（50﹣x）=﹣x2+50x=﹣（x﹣25）2+625．∵﹣1＜0，∴S有最大值．当x=25时，最大值为625．故选B．10．已知不等式（a+1）x＞2的解集是x＜﹣1，则（）A．a＞2 B．a≤﹣3 C．a=3 D．a=﹣3【考点】解一元一次不等式．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值．【解答】解：当a+1＞0时，由原不等式，得x＞，∵不等式（a+1）x＞2的解集是x＜﹣1，∴a+1＜0，∴由原不等式，得x＜，又∵它的解集是x＜﹣1，∴=﹣1，解得：a=﹣3．故选D．11．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．【解答】解：连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E==；又∵∠B=∠E（同弧所对的圆周角相等），∴sinB=．故选D．12．函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据反比例函数与一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，∴kb＞0，∴反比例函数的图象应在一、三象限，故本选项错误；B、∵由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数的图象应在二、四象限，此图象符合题意，故本选项正确；C、∵由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数的图象应在二、四象限，故本选项错误；D、∵由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数的图象应在二、四象限，故本选项错误．故选B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请将答案直接写在相应题的横线上．13．234 610 000用科学记数法表示为 2.35×108．（保留三个有效数字）【考点】科学记数法与有效数字．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．【解答】解：234 610 000=2.3461×108≈2.35×108．14．已知：x2﹣2x+1+=0，则|x﹣y|= 5 ．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．【分析】先把原式化为（x﹣1）2+=0的形式，再根据非负数的性质得出关于x、y的方程组，求出x、y的值代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵原式化为（x﹣1）2+=0的形式，∴，解得，∴|x﹣y|=|1+4|=5．故答案为：5．15．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤9，且k≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，即k≤9，且k≠016．若a0+a1x+a2x2+a3x3=（1+x）3，则a1+a2+a3= 7 ．【考点】函数值．【分析】令x=1求出a0+a1+a2+a3的值，令x=0，求出a0的值，然后两式相减即可得解．【解答】解：令x=1，则a0+a1+a2+a3=（1+1）3=8①，令x=0，则a0=（1+0）3=1②，①﹣②得，a1+a2+a3=8﹣1=7．故答案为：7．17．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为y=（x﹣4）2+1．．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到y=（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），然后把点（2，3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到（4，1）；再根据抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0）直接写出解析式．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），∴把点（2，3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到（4，1）；而平移的过程中，抛物线的形状没改变，∴所得的新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+1．故答案为：y=（x﹣4）2+1．三、解答题（本大题共8个小题，共69分）要求写出必要的解答过程或演算步骤．18．计算：先化简，再求值：（1）计算：﹣22+cos45°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2017）0（2）先化简：÷（﹣），然后再从﹣2≤x＜2的范围内选取一个合适的x 的整数值代入求值．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用乘方的一样，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算机看得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=﹣4+2×+4﹣1=2﹣1=1；（2）原式=÷=•=，当x=﹣2时，原式=﹣．19．解方程：【考点】解分式方程；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】本题的最简公分母是2x（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解：方程两边都乘2x（x﹣1），得：2x2﹣2（x﹣1）（x+2）=3x（x﹣1），整理得：3x2﹣x﹣4=0∴（3x﹣4）（x+1）=0，解得x1=，x2=﹣1．检验x=或x=﹣1时，2x（x﹣1）≠0；所以原方程的解为x1=或x2=﹣1．20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠BAE=∠DCF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC⊥EF，试判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）平行四边形的对边相等，对角相等，即∠B=∠D，AB=CD，根据已知给出的∠BAE=∠DCF，可证明两个三角形全等．（2）可先证明四边形AECF中对角线的关系，根据AC⊥EF，从而判断出到底是什么特殊的四边形．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴∠B=∠D，AB=CD，又∵∠BAE=∠DCF．∴△ABE≌△CDF；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴BC﹣BE=AD﹣FD，∴EC=AF，∵AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，∠CEF=∠AFE，∴△AOF≌△COE，∴AO=CO，EO=FO，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．21．袋中有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．（1）求从袋中任意取出1球是红球的概率；（2）先从袋中任意取出1球，然后放回，再从袋中任意取出1球，请用画树状图或列表格法求两次都取到红球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：（1）全部情况的总数；（2）符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）任意取出1球的取法有3种，其中是红球的取法有2种．则任意取出1球是红球的概率为．（2）依题意，任意取出1球，然后放回，再从中任意取出1球的树状图如下：则两次都取到红球的概率为．22．某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加学校组织的知识竞赛．班上对三名候选人进行了笔试和口试两次测试，测试成绩如下表：测试项目测试成绩甲乙丙笔试70 80 85口试90 70 65班上50名学生又对这三名候选人进行了民主投票，三人的得票率（没有弃权票，每位学生只能投三人中的一票）如下图，每得一票记1分．（1）请分别算出三人的得票分；（2）如果根据三项得分的平均成绩高者被当选，那么谁将被当选？（精确到0.01）（3）如果根据笔试、口试、投票三项成绩按5：3：2的比例确定成绩，根据成绩的加权平均数高者当选，那么谁又将被当选？【考点】加权平均数；扇形统计图．【分析】（1）根据统计表格和扇形统计图分别计算，利用总人数50乘以各自所占的比例即可求得三人的得票数；（2）平均数就是三项的得分的和与3的商的值；（3）即求三项的加权平均数，根据加权平均数的公式即可求解．【解答】解：（1）三人的得票分分别为：甲：50×30%=15分乙：50×30%=15分丙：50×40%=20分（2）三项得分的平均成绩：甲：乙：丙：由题意得甲将被当选．（3）由题意三人的平均得分分别为：甲：乙：丙：所以丙将被当选．23．如图，反比例函数（k≠0）图象经过点（1，2），并与直线y=2x+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足（x1+x2）（1﹣x1x2）=3．（1）求k的值；（2）求b的值及点A，B的坐标．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）根据反比例函数性质，K为图象上点的坐标之积，易求K值．（2）欲求b的值及点A，B的坐标，先求方程组有两个不同解，根据一元二次方程根与系数关系即可求出．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）图象经过点（1，2），∴2=⇒k=2．（2）由题意⇒2x2+bx﹣2=0①⇒△=b2+16＞0（无“△”可不扣分）则由（x1+x2）（1﹣x1x2）=3⇒b=﹣3．∴①为2x2﹣3x﹣2=0⇒y1=1，y=﹣4．即A（2，1），B（﹣，﹣4）．24．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长．【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则=，从而求得R．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB．又∠COB=2∠1=∠DAB，∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB．∴=∴R==．25．如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E 的长．据此可求出A′和E的坐标；（2）将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF 成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．【解答】解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，由A′E∥x轴，得△OA′E是直角三角形，设A′的坐标为（0，b），AE=A′E=b，OE=2b， b+2b=2+，所以b=1，A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）．（2）因为A′、E在抛物线上，所以，所以，函数关系式为y=﹣x2+x+1，由﹣x2+x+1=0，得x1=﹣，x2=2，与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0）．（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能，所以不能使△A′EF成为直角三角形．。