三角函数、解三角形复习课件1
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
第5讲 三角函数、解三解形
2
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
归纳法等方法推导出诱导公式。
03
诱导公式的应用
在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛
应用。例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量 取何值，等式都成立。
拓展延伸：反三角函数简介
01
02
03
04
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切等反 三角函数的定义及性质。
反三角函数的图像
反正弦、反余弦、反正切函数 的图像及其与对应三角函数的
关系。
反三角函数的应用
在几何、物理等领域中的应用， 如角度计算、长度测量等。
反三角函数的计算
利用计算器或数学软件进行计 算，求解三角方程等问题。
高中数学课件三角函 数ppt课件完整版
REPORTING
目录
• 三角函数基本概念与性质 • 三角函数诱导公式与恒等式 • 三角函数的加减乘除运算 • 三角函数在解三角形中的应用 • 三角函数在数列和概率统计中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
PART 01
三角函数基本概念与性质
REPORTING
三角函数的定义及性质
PART 05
三角函数在数列和概率统 计中的应用
REPORTING
三角函数在数列求和中的应用
利用三角函数的周期 性，将数列求和转化 为定积分计算
结合三角函数的图像 和性质，分析数列的 收敛性和求和结果
通过三角函数的和差 化积公式，简化数列 求和过程
三角函数在概率统计中的应用
利用三角函数表示周期性随机 变量的概率密度函数
一轮复习三角函数PPT课件
[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
高考数学总复习 第三篇 三角函数、解三角形 第1讲 导数及导数的计算课件 理
＝
( )．
A．－4
B．－2
C．2
D．4
解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，
∴f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
答案 B
2．下列求导运算正确的是
( )．
A.x＋1x′＝1＋x12 C．(3x)′＝3xlog3e
B．(log2x)′＝xln1 2 D．(x2cos x)′＝－2sin x
【真题探究】► (本小题满分 12 分)(2012·安徽)设定义在(0， ＋∞)上的函数 f(x)＝ax＋a1x＋b(a>0)． (1)求 f(x)的最小值； (2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝32x，求 a， b 的值．
[教你审题] 一审 抓住定义域(0，＋∞)与a>0这一条件； 二审 利用基本不等式求最小值； 三审 由f(1)＝32与f′(1)＝32联立求解．
(2)法一 y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)·(x＋3)]′ ＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋ 11. 法二 y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
考向二 求复合函数的导数 【例2】►求下列复合函数的导数：
2．基本初等函数的导数公式
若f(x)＝c，则f′(x)＝0；
若f(x)＝xn(n∈R)，则f′(x)＝ nxn－1 ；
若f(x)＝sin x，则f′(x)＝ cos x ； 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝ －sin x ；
若f(x)＝ax，则f′(x)＝ axln a (a＞0且a≠1)；
三角函数解三角形三角函数的图象与性质课件文ppt
正弦函数的定义
对于任意角x，正弦函数sin(x)的值是角的对边与斜边的比，记为sin(x)=y/r，其中r是斜边长。
三角函数的正弦曲线ห้องสมุดไป่ตู้绘制
要点一
确定正弦函数的定义 域
正弦函数的定义域是所有实数，但在 绘制图像时通常只取一部分。
要点二
确定正弦函数的值域
正弦函数在[-π/2,π/2]区间内的值域 是[-1,1]，在其他区间类比得到。
$\tan x \in \mathbf{R}$。
三角函数的正切曲线的绘制
利用单位圆中的正切线进行绘制。 将正切线按照相同的比例映射到单位圆上。 通过旋转单位圆得到正切曲线。
三角函数的变化趋势
01
在区间$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi), k \in \mathbf{Z}$上，$\tan x$单调递增。
04
解三角形的应用
解三角形的定义
定义1
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知角A、B、C和边a、 b、c中，至少有一个，则解三角形就是求角A、B、C和边a、b、c的数学过程。
定义2
解三角形也叫解直角三角形，是三角形中角和边关系的一种应用，包括解直角三 角形和斜三角形。
解三角形的方法
常见题型解析
三角函数的化简和求值
01
02
利用三角函数基本关系式进行化简和求值
利用三角函数图象求值域、最值等
03
04
解三角形问题的求解
利用正弦定理、余弦定理等求解三角形中的 边、角、高
05
06
利用解三角形的方法解决实际问题
THANKS
谢谢您的观看
解三角形的应用举例
应用1
对于任意角x，正弦函数sin(x)的值是角的对边与斜边的比，记为sin(x)=y/r，其中r是斜边长。
三角函数的正弦曲线ห้องสมุดไป่ตู้绘制
要点一
确定正弦函数的定义 域
正弦函数的定义域是所有实数，但在 绘制图像时通常只取一部分。
要点二
确定正弦函数的值域
正弦函数在[-π/2,π/2]区间内的值域 是[-1,1]，在其他区间类比得到。
$\tan x \in \mathbf{R}$。
三角函数的正切曲线的绘制
利用单位圆中的正切线进行绘制。 将正切线按照相同的比例映射到单位圆上。 通过旋转单位圆得到正切曲线。
三角函数的变化趋势
01
在区间$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi), k \in \mathbf{Z}$上，$\tan x$单调递增。
04
解三角形的应用
解三角形的定义
定义1
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知角A、B、C和边a、 b、c中，至少有一个，则解三角形就是求角A、B、C和边a、b、c的数学过程。
定义2
解三角形也叫解直角三角形，是三角形中角和边关系的一种应用，包括解直角三 角形和斜三角形。
解三角形的方法
常见题型解析
三角函数的化简和求值
01
02
利用三角函数基本关系式进行化简和求值
利用三角函数图象求值域、最值等
03
04
解三角形问题的求解
利用正弦定理、余弦定理等求解三角形中的 边、角、高
05
06
利用解三角形的方法解决实际问题
THANKS
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解三角形的应用举例
应用1
高考数学复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形文ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
2.已知两边和它们夹角、已知两边和一边对角或已知三边都能
直接利用余弦定了解三角形,在利用余弦定理时,要注意整体思想
利用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定,其解是唯一;已知两边和一
边对角,该三角形含有不唯一性,通常依据三角函数值有界性和大
边对大角定理进行判断.
∴cos
2 +2 -2
A= 2
=
1
,∴A=60°.
2
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
3
√3
∴2sin B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
的面积 S=√3,求 a,b 的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC形状.
21/32
-22考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,
1
2
又因为 S=√3,所以 absin C=√3,得 ab=4.
2 + 2 - = 4,
-14考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,角A,B,C对边分别是
1
a,b,c,已知 cos
2A=,c=√3,sin A=√6sin
中,c=
2.已知两边和它们夹角、已知两边和一边对角或已知三边都能
直接利用余弦定了解三角形,在利用余弦定理时,要注意整体思想
利用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定,其解是唯一;已知两边和一
边对角,该三角形含有不唯一性,通常依据三角函数值有界性和大
边对大角定理进行判断.
∴cos
2 +2 -2
A= 2
=
1
,∴A=60°.
2
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
3
√3
∴2sin B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
的面积 S=√3,求 a,b 的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC形状.
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-22考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,
1
2
又因为 S=√3,所以 absin C=√3,得 ab=4.
2 + 2 - = 4,
-14考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,角A,B,C对边分别是
1
a,b,c,已知 cos
2A=,c=√3,sin A=√6sin
中,c=
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终边与角α相同的角可写成α＋k· 360°(k∈Z)或α＋
k· 2π(k∈Z)．
目录
思考探究 终边相同的角相等吗？ 提示：不一定相等．终边相同的角有无数个 ，它们相差 360°的整数倍．
目录
2.弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符 号 rad 表示． (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， 那么角 α 的 l 弧度数的绝对值是 |α|＝ . r (3)角度与弧度的换算 π 180 ① 1°＝ _____rad ；② 1 rad＝ ( )° . 180 π (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为 r，则
目录
1. 设角 α 终边上一点 P(－ 4， 3)，则 sin α 的值为( 3 A. 5 4 C. 5 3 B．－ 5 4 D．－ 5
)
答案：A
目录
2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在
(
)
B．y轴上 D．直线y＝－x上
A．x轴上 C．直线y＝x上
解析：选A.|cos α|＝1，则角α的终边在x轴上．故选A. 3.若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角
C．第三象限角 答案：C
B．第二象限角
D．第四象限角
目录
考点 1
弧度制的应用 (1)已知扇形的圆心角为 60°，半径等于 2，则扇形
的面积为 ________； 例1 π π (2) 已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于 6 3 ________．
目录
【解析】
π (1)∵60°＝ 弧度，设扇形弧长为 l， 3
12 1 r α． lr l＝ rα，扇形的面积为 S＝_____ 2 2 ＝_____
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3.任意角的三角函数
y， (1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα＝___ y x ，tanα＝____( x x≠0)． cosα＝___ (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。 x轴 上，余弦线的起点都是______ 原点 ，正 正弦线的起点都在______ 单位圆与x轴正半轴的交点 ． 切线的起点都是___________________________
目录
跟踪训练
3.已知角 α 的终边落在直线 y＝ x 上，且 α 为第三象限角，则 sin α ＋cos α 的值为( A． 0 C. 2 B．2 2 D．－ 2 )
解析：选 D.由题意，不妨取 α 终边上一点为(－1，－1)，则 2 2 sin α＝－ ，cos α＝－ ，∴ sin α ＋cos α ＝－ 2. 2 2
目录
Hale Waihona Puke 解：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋ 2r＝ 20， 即 l＝ 20－ 2r(0＜ r＜10)．① 1 扇形的面积 S＝ lr，将①代入， 2 1 得 S＝ (20－ 2r)r＝－ r2＋ 10r＝－ (r－5)2＋25， 2 所以当且仅当 r＝5 时， S 有最大值 25. l 此时 l＝ 20－2×5＝ 10，α＝ ＝ 2. r 所以当 α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．
第三章
三角函数、解三角形
目录
第1课时
任意角和弧度制及
任意角的三角函数
教材回顾夯实双基
基础梳理
1.任意角
(1)角的概念的推广 正角 、_______ 负角 、_______ 零角 ． ①按旋转方向不同分为______ 象限角 和_________ 轴线角 ． ②按终边位置不同分为_________ (2)终边相同的角
2π 1 2π 则 l＝ αR＝ ，∴ S＝ lR＝ . 3 2 3 π l＝ 3 (2)设扇形半径为 r，弧长为 l，则 ，解得 . 1 π lr ＝ r＝2 2 3
【答案】 2π (1) 3 π (2) 3
l π ＝ r 6
目录
跟踪训练 1.一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度 时，这个扇形的面积最大？