2015年内蒙古呼和浩特地区中考数学课件：第2章 第2节 一元二次方程
6．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的 围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的 边长AB，BC各为多少米？
解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100 －4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5，则100－4x＝20或100－4x＝ 80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，即AB＝20，BC＝20，∴羊圈的边长AB ，BC分别是20米、20米
请完成本节对应练习
一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： b2－4ac＞0⇔方程有两个________的实数 根； b2－4ac＝0⇔方程有两个________的实数 根； b2－4ac＜0⇔方程________实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根 分别为x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2 ＝________.
一元二次方程的应用
步骤：①审；②设；③列； ④解；⑤验；⑥答．
一元二次方程及解法
【例 1】(1)(2013· 遵义 ) 已知 x ＝－ 2 是方程 x2 ＋ mx － 6 ＝ 0 3 ． 的一个根，则方程的另一个根是____ (2)解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：原方程化简为x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1
(1)由根的定义―→代入求值―→解方程，或由两根之 积等于－6―→求另一根； (2)化简―→观察方程特点―→利用配方法或公式法求 解．
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
【例 2】(1)如果关于 x 的一元二次方程 kx 2－ 2k＋ 1x＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根 ，那么 k 的取值范围是( ) D 1 1 A．k＜ B．k＜ 且 k≠ 0 2 2 1 1 1 1 C．－ ≤k＜ D．－ ≤k＜ 且 k≠ 0 2 2 2 2 (2)(2014· 德州)方程 x2＋ 2kx＋k2－ 2k＋ 1＝ 0 的两个实数根 x1，x2 满 足 x12＋ x22＝ 4， 则 k 的值为____．
【例3】(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成 本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐 年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可 变成本平均每年增长的百分率为x. 2.6(1＋x)2 万 (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__________ 元； (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变 成本平均每年的增长百分率x
解：由题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1＝ 10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)
审题确定相等关系―→设未知数 ―→列方程―→求解、验证．
真题热身
1．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1 1 ． ＝0的一个根为0，则a＝____
2．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋ b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( A ) A． 1 B．－1 C．0 D．－2
呼 和 浩 特 地 区
第二章 方程(组)与不等式(组) 第2节 一元二次方程
数 学
一元二次方程
1 ． 定义：只含有 ________ 个未知数 ， 并且未知数
的最高次数是________的整式方程． 2．一般形式：________________(a≠0)．
一元二次方程的解法
配方法， ________法， ________法．
解：x1＝－2＋ 5，x2＝－2－ 5
(2)(2013·兰州)x2－3x－1＝0.
解：x1＝
3＋ 13 3－ 13 ，x2＝ 2 2
5．(2014·北京)已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝ 0(m≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
3．(2014· 玉林)x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－ mx＋ m－ 2 1 1 ＝0 的两个实数根 ， 是否存在实数 m 使 ＋ ＝0 成立？则正确的结 x1 x2 论是( A ) A．m＝ 0 时成立 B．m＝ 2 时成立 C．m＝ 0 或 2 时成立 D．不存在
4．解方程： (1)(2014· 徐州)x2＋4x－1＝0；
1
(1)理解题意，观察方程特点― →k ≠0， 2k ＋1≥0，Δ＞0； (2)两个实数根― →Δ≥0，x1 2 ＋x2 2 ＝4― →(x1 2 ＋x2 ) －2x1 x2 ＝4，把 x1 ＋x2 ，x1 x2 的结果代 入， 求出 k 的值． 注意： 所求 k 值必须使 Δ≥0.
一元二次方程的应用
北师版九年级数学上册课件 第二章 一元二次方程 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
12．(十堰中考)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a －b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝_－__3_或__4.
13．已知等腰△ABC的两边分别为a，b，且a，b满足a2＋b2－6a－14b＋ 58＝0，则△ABC的周长等于_1_7__．
14．(10 分)用配方法解方程：
1 x·x
＋4＝6，当
x＝1x
，即
x＝1 时，y 的最小
(1)尝试：当 x＞0 时，求 y＝x2＋xx＋1 的最小值． (2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家 庭的交通工具．假设某种小轿车的购车费用为 10 万元，每年应缴保险费等 各类费用共计 0.4 万元，n 年的保养、维护费用总和为n21＋0 n 万元．问这种 小轿车使用多少年报废最合算(即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费 用＝所有年费数用n之和 )？最少年平均费用为多少万元？
(1)经过多长时间小球飞出的高度为15 m? (2)经过多长时间小球又落回地面上？ 解：(1)当h＝20t－5t2＝15时，解得t1＝1，t2＝3.∴经过1 s或3 s小球飞出的 高度为15 m (2)当小球又落回地面上时，h＝20t－5t2＝0，解得t1＝0，t2＝4.∴经过t2－t1 ＝4(s)小球又落回地面上
解：x1＝5－8 57 ，x2＝5＋8 57
5．(3分)(郑州外国语月考)对于任意实数x，多项式x2－5x＋8的值是一个 (B )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
6．(3分)(开封月考)已知y1＝5x2＋7x＋1，y2＝x2－9x－15，则当x＝___－_时2，
y1＝y2. 7．(3分)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，则x－y＋z＝____6__．
九年级数学上册第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第1课时课件新版北师大版
关闭
答案
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5.一元二次方程-2(x-1)2=x+3化成一般形式ax2+bx+c=0后,若a=2,
则b+c的值是
.
关闭
2
答案
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6.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都
赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?请填写完
整以下解答过程.
解:设应邀请x支球队参赛,则每队要打
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2019/5/26
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1.下列方程中,不是一元二次方程的是( ) A.2x2+7=0 B.2x2+2 3x+1=0 C.5x2+1������+4=0 D.3x2+(1+x) 2+1=0
关闭
C
答案
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2.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第2课时)
2. 关于x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0，则2m2-4m+3的值
为多少？
解：∵x=0是方程的解，
∴代入得m2-4=0.
∴m=±2.
经检验m=±2都符合题意.
∴2m2-4m+3=2×22-4×2+3=3.
或2m2-4m+3=2×（-2）2-4×（-2）+3=19.
∴代数式2m2-4m+3的值为3或19.
就是方程的一个解.
第四步：若在x的大致范围内取值，没有一个数能够使方程的左边
等于0, 进一步取值,找出最接近于0且小于0的数,这个数就是方程的
近似取值.
目标测试
1.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2=x+a2-1=0的一根是
x=0，则a的值为（ B ）
A.1
B.-1
C.1或-1
D.0
目标测试
-0.06
-0.02
0.03
0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
C 3.24＜x ＜3.25
D 3.25＜x ＜3.26
强化训练
2、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5
米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动
所以x=0不是方程的解.
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数
的值叫一元二次方程的解或根.
知识讲解
例 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m.
分析：一根为2即x＝2，只需把x＝2代入原方程.
解：把x=2代入一元二次方程得：
【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第8讲 一元二次方程课件
【解析】第1题由Δ＝b2－4ac计算，根据计算结果判断方程根 的情况；第2题先根据判别式的意义得到Δ＝(－3)2－4m＞0，
转化为不等式的问题．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的
判别式Δ＝b2－4ac. 1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝
公式法
2 ax ＋ c＝ 0(a ≠ 0) ，当 ③ ：一元二次方程 ＋ bx
b2－ 4ac ≥ 0 时， x＝ ________.
2 ( ) ax ＞ 0) 的两个根分别是 ． 2014· 济宁 若一元二次方程 ＝ b(ab
b 4 ． m ＋ 1 与 2m －4 ，则 a ＝____ 5．解方程：
2 1 玉林)x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x － mx ＋m ． (2014·
1 1 是否存在实数 m 使 x ＋ x ＝ 0 成立？ －2 ＝ 0 的两个实数根 ， 1 2 则正确的结论是 ( A ) A ＝ 0 时成立 ．m C ＝ 0或 2 时成立 ．m B ．m ＝ 2 时成立 D ． 不存在
1．求字母系数时，可以先表示出x1＋x2，x1x2后，再整体代 入，转化为方程再求解． 2. 一元二次方程根与系数的关系研究条件是①a≠0，
②b2－4ac≥0.因此，求出解后需检验是否满足这两个条件．
一元二次方程的实际应用
1 ) ． (2014· ， 天津要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都
一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
c: 常数项． 注：1. 方程右边等于0；
2. a≠0 ,但b和c可以等于0，
（1）若b=0,则一般形式：ax2+c=0 , 例：x2 -4=0
（2）若c=0,则一般形式：ax2+bx=0 ,例：x2 -2x=0
（3）若b=c=0,则一般形式：ax2=0 , 例：x2 =0
3. 一元二次方程的项和系数包括前面的符号。
什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数一的方程叫做一元一次方程。
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程. 例：
x2＋2x－4=0
注： 1.是整式方程
2. 方程中只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是2.
本节重点问高
次数是2的方程，叫做一元二次方程 .
2.一元二次方程的一般形式：ax 2 bx c 0 a 0 .
其中，ax2 是二次项； a是二次项系数； bx是 一次项 ； b是次项系数； c是常数项．
3.判断某数是否方程的解，只需将此数代入方程， 若左右两边相等，则它是方程的解，反之，不是。
例：判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
x2 2 y 3 0； 不是
x3 x 4 0； 不是
2x2-4x+2=0
是
一元二次方程的一般形式
一般形式：ax 2 bx c 0 a 0 . 例：x2-4x+3=0
ax2 ：二次项
a： 二次项系数；
bx： 一次项
b: 一次项系数；
例： x2-6x+9=0 ，一次项：-6x
一元二次方程的解：
内蒙古呼和浩特市2015年中考数学试题(含详解)
2015年呼和浩特市中考数学详解一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是A.－3℃B.15℃C.－10℃D.－1℃考点分析：有理数生活常识数轴初级建模思想详解：选C首先，有理数考点是送分的，本次考点比较有意思，稍微有一点常识的同学都能答对。
这里“－”读“零下”。
为什么提到数轴呢？马上升初三的学生可能已经忘记数轴是如何定义方向的，教材中“一般规定水平向右或者竖直向上为数轴正方向。
”那么家中挂在墙上的温度计就可以看成是一个竖直向上的数轴。
为什么说到建模思想呢？首先来源于数轴0点的定义，数轴0点的另一个作用就是“基准”。
很多同学到了初三早就忘了这个基准，基准是很多数学思想及物理思想中的一个非常重要的概念，类似温度的还有海拔高度。
温度的基准是一个标准大气压下水恰好结冰的温度值，即0℃，高于这个温度取正数（一般省略正号），低于这个温度取负数。
海拔高度更容易理解，即将海平面定为0，单位是米，比海平面高的取正值，比海平面低的取负值。
只有将温度值具体数量化后，尤其是负值的运用，才便于建立与温度有关的数学模型，学过化学后同学知道还有个绝对零度值，但这个绝对零度值在初中阶段也是依靠摄氏温度方式定义的。
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B. C. D.考点分析：轴对称中心对称详解：选A轴对称是一个对折后能完全重合的实际意义上的概念，而中心对称是旋转180°后能重合的实际意义上的概念。
所以，我们通过大体上目测，基本可以上可以挑出我们想要的。
很明显，选项A，C，D是轴对称图形，其中C选项中的梅花图案只有一个对称轴，你能数数选项D中的图形对称轴有几个？选项A，B是中心对称图形。
3.如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°考点分析：平行与相交——角的关系详解：选C为了便于表述，将AB与CD的交点命名为F点，则∠1就是∠AFC。
《认识一元二次方程》PPT课件 北师大版九年级数学
当堂训练
A同学的做法： 设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表 示为 x+1，x+2，x+3，x+4 . 根据题意，可得方程： x2 +(x+1)2 +(x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 . 即 x2–8x–20=0.
x
–3
–2
…
9
10
x2–8x–20 13
0
…
–11
由． 通过上面的分析，可以得到0＜x＜2.5.
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
( 8–2x )( 5–2x ) 40
28
18
10
4
探究新知
对于方程(8–2x)(5–2x) =18，即 2x2– （143）x+你11知=道0.所求的宽度 x（m）是多少吗? 还有其他求解方法吗? 与同伴进行交流．
把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次 方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和 常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
当堂训练
1. 根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为 连续整数，求它的三边长.
答案不唯一. 例如，可设三边长分别为 x–1，x，x+1（x > 1）, 根据题意，得(x－1)2 ＋x2= (x＋1)2 ，化成一般形式为x2－4x =0 .
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x–15 –15
–8.75
–2
5.25
13
所以1＜x＜1.5. 进一步计算：
一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
否
注意：有些方程化
（5） 1 1 x2 1 5
简前含有二次项，
否
但是化简后二次项
（6）ax2 bx c （0 a，b，c为常数） 系数为0，这样的
否
方程不是一元二次
知识
问题Βιβλιοθήκη 课堂回顾探究
小结
探究二：利用一元二次方程的概念解决简
单的问题
活 动1
一元二次方程的概念和一元二次方程的根 的概念的应用
练习1：在下列方程中，一元二次方程A的
一元二次方程的一般a形x2 式bx： c （0 a 0）
其中ax2是二次项，a是二次 项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项。
知识 回顾
问题 探究
课堂 小结
探究一：一元二次方程的概念
和一般形活式 动4
一元二次方程的一般形ax2式b：x c （0 a 0）
问题： （1）一元二次方程的一般形式有什么特点？ 等号的左、右分别是什么？
【解（题x+过1）程（】4x-1）
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3。
（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是 一元二次方程。 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一 般形式确定它的二次项系数、一次项系数和常数 项。
【思路点拨】先将原方程化为一般形式， 再根据一元二次方程的二次项系数不能为0， 求出m的范围。
个数是（ ）
①3x2+7=0
②
ax2+bx+c=0
3x2 5 0
x
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
认识一元二次方程课件北师大版九年级上册数学
D.－2，－1
合作探究
某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它
的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( C )
A.x(x－10)＝200
B.2x＋2(x－10)＝200
C.x(x＋10)＝200
D.2x＋2(x＋10)＝200
合作探究
1.关于x的方程(m2－m－2)x2＋mx＋1＝0是一元二次
1 是方程的解.因此，所求的宽度为
预习导学
1.已知关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0是一元二次方程，
则a满足的条件是( B )
A.a≠0
B.a≠1
C.a＞1
D.a≤2
2.将一元二次方程2x2－1＝3x化为一般情势后，其中二次项
系数、一次项系数分别是( A )
A.2，－3
B.－2，－3
C.2，－1
方程的条件是( D )
A.m≠－1
B.m≠2
C.m≠－1或m≠2
D.m≠－1且m≠2
2.关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是
0，则a的值为( B )
A.1
B.－ 1
C.1或－1
D.
合作探究
变式训练
关于x的方程(a2＋1)x2＋2ax＋4＝0.试证明无论
a取何实数，这个方程都是一元二次方程.
＝0 (a、b、c为常数，a≠0) 的情势，这样的方程叫做一元二
次方程.
预习导学
2＋bx＋c＝0 (a、b、c为
ax
2.一元二次方程的一般情势是
常数，a≠0) ，其中
一次项和常数项，
项系数.
a
ax2 、
、
b
bx 、
2015内蒙古呼和浩特市中考数学试卷解析
2015内蒙古呼和浩特市中考数学试卷解析2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2015•呼和浩特）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（）A．﹣3℃B．15℃C．﹣10℃D．﹣1℃2．（3分）（2015•呼和浩特）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2015•呼和浩特）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°4．（3分）（2015•呼和浩特）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）（2015•呼和浩特）如果两个变量x、y 之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 A．﹣3≤y≤36．（3分）（2015•呼和浩特）下列运算，结果正确的是（）A．m2+m2=m4B．（m+）2=m2+ C．（3mn2）2=6m2n4D．2m2n ÷=2mn2 7．（3分）（2015•呼和浩特）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED 沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF 的面积为（）A．B．C．2D．48．（3分）（2015•呼和浩特）以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（）A．4月份三星手机销售额为65万元B．4月份三星手机销售额比3月份有所上升C．4月份三星手机销售额比3月份有所下降D．3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额9．（3分）（2015•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（）A．236πB．136πC．132πD．120π10．（3分）（2015•呼和浩特）函数y=的图象为（）A．B．C．D．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）（2015•呼和浩特）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为元．12．（3分）（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x=．13．（3分）（2015•呼和浩特）如图，四边形ABCD 是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是．14．（3分）（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为．15．（3分）（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．16．（3分）（2015•呼和浩特）以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E 是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为．三.解答题（共9个小题，满分72分）17．（10分）（2015•呼和浩特）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=，b=．18．（6分）（2015•呼和浩特）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（6分）（2015•呼和浩特）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）20．（6分）（2015•呼和浩特）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣，求出满足条件的m的所有正整数值．21．（7分）（2015•呼和浩特）某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10），请你结合表格和图象：付款金额 a 7.5 10 12 b购买量（千克）1 1.5 2 2.5 3（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x，并写出表中a、b的值；（2）求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．22．（9分）（2015•呼和浩特）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉子听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：选手表达能力阅读理解综合素质汉字听写甲85 78 85 73乙73 80 82 83（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．23．（7分）（2015•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．24．（9分）（2015•呼和浩特）如图，⊙O是△ABC 的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：==．25．（12分）（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．2015年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2015•呼和浩特）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（ ）A ． ﹣3℃B ． 15℃C ． ﹣10℃D ． ﹣1℃考点： 有理数大小比较． 专题： 应用题． 分析： 根据正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案． 解答： 解：15℃＞﹣1℃＞﹣3℃＞﹣10℃， 故选：C ． 点评： 本题考查了有理数的大小比较，注意负数比较大小，绝对值大的负数反而小．2．（3分）（2015•呼和浩特）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 中心对称图形；轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选A ．点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）（2015•呼和浩特）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A ． 70°B ． 100°C ． 110°D ． 120°考点： 平行线的性质；对顶角、邻补角． 专题： 计算题． 分析： 先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出． 解答： 解：如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD ∥BE ，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C ．点评： 本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．4．（3分）（2015•呼和浩特）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 列表法与树状图法． 分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况， ∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：=．故选A ．点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2015•呼和浩特）如果两个变量x 、y 之间的函数关系如图所示，则函数值y 的取值范围是（ ）A ． ﹣3≤y ≤3 B ． 0≤y ≤2 C ． 1≤y ≤3 D ． 0≤y ≤3考点： 函数的图象． 分根据图象，找到y 的最高点是（﹣2，3）及析： 最低点是（1，0），确定函数值y 的取值范围．解答： 解：∵图象的最高点是（﹣2，3），∴y 的最大值是3， ∵图象最低点是（1，0），∴y 的最小值是0，∴函数值y 的取值范围是0≤y ≤3．故选：D ．点评： 本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y 的最高点及最低点．6．（3分）（2015•呼和浩特）下列运算，结果正确的是（ ）A ． m 2+m 2=m 4B ． （m+）2=m 2+C ． （3mn 2）2=6m 2n 4D ． 2m 2n ÷=2mn 2考点： 分式的混合运算；整式的混合运算． 分析： A ：根据整式的混合运算方法计算即可．B ：根据完全平方公式的计算方法判断即可．C ：根据积的乘方的运算方法计算即可．D ：根据分式的混合运算方法计算即可．解答： 解：∵m 2+m 2=2m 2，∴选项A 错误； ∵（m+）2=m 2++2，∴选项B 错误；∵（3mn 2）2=9m 2n 4，∴选项C 错误；∵2m 2n ÷=2mn 2，∴选项D 正确．故选：D ．点评： （1）此题主要考查了分式的混合运算，要注意运算顺序，分式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）此题还考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m ）n =a mn （m ，n 是正整数）；②（ab ）n =a n b n （n 是正整数）．7．（3分）（2015•呼和浩特）如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A ．B ．C ． 2D ． 4考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 根据折叠的性质，在图②中得到DB=8﹣6=2，∠EAD=45°；在图③中，得到AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF 为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和矩形的性质得到BF=AB=4，CF=BC ﹣BF=6﹣4=2，EC=DB=2，最后根据三角形的面积公式计算即可．解答： 解：∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD边落在AB 边上，∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45°，又∵△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，∴AB=AD ﹣DB=6﹣2=4，△ABF 为等腰直角三角形，∴BF=AB=4，∴CF=BC ﹣BF=6﹣4=2，而EC=DB=2，×2×2=2．故选：C ．点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和矩形的性质．8．（3分）（2015•呼和浩特）以下是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（ ）A ． 4月份三星手机销售额为65万元B ． 4月份三星手机销售额比3月份有所上升C ． 4月份三星手机销售额比3月份有所下降D ． 3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额考点： 条形统计图；折线统计图． 分析： 根据销售总额乘以三星所占的百分比，可得三星的销售额，根据有理数的大小比较，可得答案．解答： 解：A 、4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故A 错误；B 、3三星手机的销售额60×18%=10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故B 正确；C 、3三星手机的销售额60×18%=10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故C 错误；D 、3三星手机的销售额60×18%=10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%=11.05万元，故D 错误；故选：B ．点评：本题考查了条形统计图，利用销售总额乘以三星所占的百分比得出三星的销售额是解题关键．9．（3分）（2015•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）A ． 236πB ． 136πC ． 132πD ． 120π考点： 由三视图判断几何体． 分析： 根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．解答： 解：由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成， 故该几何体的体积为：π×22×2+π×42×8=8π+128π=136π．故选：B ．点评： 本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想．10．（3分）（2015•呼和浩特）函数y=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 函数的图象． 分析： 从x ＜0和x ＞0两种情况进行分析，先化简函数关系式再确定函数图象即可． 解答： 解：当x ＜0时，函数解析式为：y=﹣x ﹣2，函数图象为：B 、D ， 当x ＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A 、C 、D ，故选：D ．点评：本题考查的是函数图象，利用分情况讨论思想把函数关系式进行正确变形是解题的关键，要能够根据函数的系数确定函数的大致图象．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）（2015•呼和浩特）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科学记数法表示为4.1×106 元．考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答： 解：将4100000用科学记数法表示为4.1×106． 故答案为：4.1×106．点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．12．（3分）（2015•呼和浩特）分解因式：x 3﹣x= x （x+1）（x ﹣1） ．考提公因式法与公式法的综合运用．点：专题： 因式分解． 分析： 本题可先提公因式x ，分解成x （x 2﹣1），而x 2﹣1可利用平方差公式分解． 解答： 解：x 3﹣x ，=x （x 2﹣1），=x （x+1）（x ﹣1）．故答案为：x （x+1）（x ﹣1）．点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．（3分）（2015•呼和浩特）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是．考几何概率；菱形的性质；中点四边形．点：分析： 先求出阴影部分的面积与菱形的面积之比，再根据概率公式即可得出答案． 解答： 解：∵四边形ABCD 是菱形，E 、F 、G 、H分别是各边的中点， ∴四边形HGFE 的面积是菱形ABCD 面积的， ∴米粒落到阴影区域内的概率是； 故答案为：．点评： 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．14．（3分）（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为 12π ．考点：圆锥的计算．分析： 据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆的面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．解答： 解：∵=8π，∴解得n=180则弧长==4π2πr=4π解得r=2，∴底面积为4π，∴全面积为12π．故答案是：12π．点评： 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到圆锥的底面半径的求法．15．（3分）（2015•呼和浩特）若实数a 、b 满足（4a+4b ）（4a+4b ﹣2）﹣8=0，则a+b= ﹣或1 ．考换元法解一元二次方程．点：分析： 设a+b=x ，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x 即（a+b ）的值．解答： 解：设a+b=x ，则由原方程，得4x （4x ﹣2）﹣8=0， 整理，得（2x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=﹣，x 2=1．则a+b 的值是﹣或1． 故答案是：﹣或1．点评： 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．16．（3分）（2015•呼和浩特）以下四个命题： ①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；②边数相等的两个正多边形一定相似；③等腰三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，E 是一腰AC 上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE ，则∠EDC=30°；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．其中正确命题的序号为 ②④ ．考点： 命题与定理． 分析： 要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．解答： 解：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，是假命题；②边数相等的两个正多边形一定相似，是真命题；③等腰三角形ABC 中，D 是底边BC 上一点，E 是一腰AC 上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE ，则∠EDC=30°，是假命题；④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，是真命题．故答案为②④．点评： 主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三.解答题（共9个小题，满分72分）17．（10分）（2015•呼和浩特）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+ （2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=，b=．考点： 分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂． 分析： （1）根据绝对值、负整数指数幂以及二次根式的化简进行计算即可；（2）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，最后把a ，b 的值代入计算即可．解答： 解：（1）原式=3﹣﹣3+2 =；（2）原式=（+）÷， =• =， 当a=，b=时，原式=﹣．点评： 本题考查了分式的化简求值、实数的运算以及负整数指数幂，熟练掌握运算顺序是解题的关键．18．（6分）（2015•呼和浩特）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE=CF ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若BD=EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，无需说明理由．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 分析： （1）先证出OE=OF ，再由SAS 即可证明△BOE ≌△DOF ；（2）由对角线互相平分证出四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形EBFD 是矩形．解答： （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ， ∵AE=CF ，∴OE=OF ，在△BOE 和△DOF 中，，∴△BOE ≌△DOF （SAS ）；（2）解：四边形EBFD 是矩形；理由如下：∵OB=OD ，OE=OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BD=EF ，∴四边形EBFD 是矩形．点评： 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．19．（6分）（2015•呼和浩特）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD 为120m ．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 要求楼高BC ，即求出BD 、CD 的长度，分别在Rt △ABD 和Rt △ADC 中求出BD 和CD 的长度，继而可求解．解答： 解：在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD=，∴BD=ADtan30°=120×=40（米），在Rt △ADC 中，∵tan ∠CAD=，∴CD=ADtan65°=120tan65°，∴BC=BD+CD=40+120tan65°．答：这栋高楼的高度为（40+120tan65°）米．点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．20．（6分）（2015•呼和浩特）若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足x+y ＞﹣，求出满足条件的m 的所有正整数值．考点： 二元一次方程组的解；一元一次不等式的整数解． 专题： 计算题． 分析： 方程组两方程相加表示出x+y ，代入已知不等式求出m 的范围，确定出正整数值即可． 解答： 解：，①+②得：3（x+y ）=﹣3m+6，即x+y=﹣m+2，代入不等式得：﹣m+2＞﹣，解得：m ＜，则满足条件m 的正整数值为1，2，3．点评： 此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（7分）（2015•呼和浩特）某玉米种子的价格为a 元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A 的坐标为（2，10），请你结合表格和图象：付款金额 a 7.5 10 12 b购买量（千克） 1 1.5 2 2.5 3（1）指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x ，并写出表中a 、b 的值；（2）求出当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式；（3）甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．考点： 一次函数的应用． 分析： （1）根据函数图象可得：购买量是函数的自变量x ，也可看出2千克的金额为10元，从而可求1千克的价格，即a 的值，由表格可得出：当购买量大于等于2千克时，购买量每增加0.5千克，价格增加2元，进而可求b 的值；（2）先设关系式为y=kx+b ，然后将（2，10），且x=3时，y=14，代入关系式即可求出k ，b 的值，从而确定关系式；（3）当y=8.8时，单价为5元，此时购买量为8.8÷5，然后将x=4.165代入关系式计算相应的y 值．解答： 解：（1）根据函数图象可得：购买量是函数的自变量x ，a=10÷2=5元，b=14；（2）当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b ，∵y=kx+b 经过点（2，10），且x=3时，y=14， ∴， 解得：， ∴当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y=4x+2；（3）当y=8.8时，x=，当x=4.165时，y=4×4.165+2=18.66，∴甲农户的购买量为1.76千克，乙农户的付款金额为18.66元．点评： 此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出图表中点的坐标是解题关键．22．（9分）（2015•呼和浩特）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉子听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写甲 8578 85 73 乙 73 80 82 83（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．考点： 加权平均数；算术平均数． 分析：（1）先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大的胜出；（2）先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后根据计算结果，结果大的胜出． 解答： 解：（1）=（73+80+82+83）÷4=79.5，∵80.25＞79.5， ∴应选派甲；（2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，∵79.5＜80.4，∴应选派乙．点评： 此题考查了算术平均数与加权平均数，解题的关键是：熟记计算算术平均数与加权平均数公式．23．（7分）（2015•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为（8，y ），AB ⊥x 轴于点B ，sin ∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ．（1）求反比例函数解析式；（2）若函数y=3x 与y=的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比．考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB 的值，然后由C 点是OA 的中点，求出C 点的坐标，然后将C 的坐标代入反比例函数y=中，即可确定反比例函数解析式；（2）先将y=3x 与y=联立成方程组，求出点M 的坐标，然后求出点D 的坐标，然后连接BC ，分别求出△OMB 的面积，△OBC的面积，△BCD 的面积，进而确定四边形OCDB 的面积，进而可求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比．解答： 解：（1）∵A 点的坐标为（8，y ），∴OB=8，∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，∴，∴OA=10，由勾股定理得：AB=，∵点C是OA的中点，且在第一象限内，∴C（3，4），∵点C在反比例函数y=的图象上，∴k=12，∴反比例函数解析式为：y=；（2）将y=3x与y=联立成方程组，得：，解得：，，∵M是直线与双曲线另一支的交点，∴M（﹣2，﹣6），∵点D在AB上，∴点D的横坐标为8，∵点D在反比例函数y=的图象上，∴点D的纵坐标为，∴D（8，），∴BD=，连接BC ，如图所示，∵S △MOB =•8•|﹣6|=24， S 四边形OCDB =S △OBC +S △BCD =•8•3+=15， ∴． 点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是：确定交点的坐标．24．（9分）（2015•呼和浩特）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为的中点，且∠DCF=∠P ，求证：==．考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接CM ，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC ，∠M=∠ABC ，得出∠PAC=∠M ，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就可证得结论；（2）连接AE ，根据垂径定理得出AM ⊥BC ，进而得出AP ∥BC ，得出△ADP ∽△CDB ，根据相似三角形的性质得出=，然后证得△ADE ∽△CDF ，得出=，从而证得==．解答： 证明：（1）连接CM ，∵∠PAC=∠ABC ，∠M=∠ABC ，∴∠PAC=∠M ，∵AM 是直径，∴∠M+∠MAC=90°，∴∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，∴MA⊥AP，∴MA⊥AP，∴PA是⊙O的切线；（2）连接AE，∵M为中点，AM为⊙O的直径，∴AM⊥BC，∵AM⊥AP，∴AP∥BC，∴△ADP∽△CDB，∴=，∵AP∥BC，∴∠P=∠CBD，∵∠CBD=∠CAE，∴∠P=∠DCF，∴∠DCF=∠CAE，∵∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴=，∴==．点评： 本题考查了圆周角定理的应用，切线的判定，垂径定理的应用，三角形相似的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．25．（12分）（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣1经过坐标原点，且当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y ＜0时，对应x 的取值范围；（2）设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于点B ，DC ⊥x 轴于点C ． ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD 的周长； ②设动点A 的坐标为（a ，b ），将矩形ABCD 的周长L 表示为a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标；如果不存在，请说明理由．。