直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
高中数学直线的对称问题终结版知识讲解题型专练总结
直线中的对称问题知识讲解题型一、点关于点成中心对称对称中心是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题． 设),(00y x P ，对称中心为),(b a A ，则P 关于A 的对称点为)2,2('00y b x a P --．题型二、点与点关于直线成轴对称问题对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”（位置关系）“平分”（数量关系）这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点),(00y x P 关于直线b kx y +=的对称点为)','('y x P ，则有0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，可求出'x 、'y ． 特殊地，点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -；点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -．题型三、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称结论如下：（1）曲线0),(=y x f 关于已知点),(b a A 的对称曲线的方程是0)2,2(=--y b x a f ．（2）曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线的求法：设曲线0),(=y x f 上任意一点为),(00y x P ，P 点关于直线b kx y +=的对称点为),('y x P ，则由（2）知，P与'P 的坐标满足0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，从中解出0x 、0y ，代入已知曲线0),(=y x f ，应有0),(=y x f 利用坐标代换法就可求出曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线方程．题型四、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -．（2）点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -．（3）点),(y x 关于原点的对称点为),(y x --．（4）点),(y x 关于直线x －y =0的对称点为),(x y ．（5）点),(y x 关于直线x +y =0的对称点为),(x y --．（6）点),(y x 关于直线x －y+c =0的对称点为),(c x c y +-．（7）点),(y x 关于直线x +y+c =0的对称点为),(x c y c ----．例1.求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程．例2.求直线042:=-+y x a 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程．例3.自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2244x y x y +-- 70+=相切，求光线l 所在的直线方程．例4.已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ △的周长最小．变式练习1.圆4)1()1(22=-+-y x 关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 ．变式练习2.试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程．课后作业1．已知点)3,1(A 、)2,5(B ，在x 轴上找一点P ，使得PB PA +最小，则最小值为_________，P 点的坐标为_________．2．已知点),(b a M 与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为（ ）A ．),(b aB ．),(a bC ．),(b a --D ．),(a b --3．已知直线05:1=++my x l 和直线0:2=++p ny x l ，则1l 、2l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．n p m =5B ．5-=pC ．n m -=且5-=pD ．nm 11-=且5-=p 4．点)5,4(A 关于直线l 的对称点为)7,2(-B ，则l 的方程为____________．5．设直线054=-+y x 的倾斜角为θ，则它关于直线03=-y 对称的直线的倾斜角是___________．6．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 7．与直线012=-+y x 关于点)11(-，对称的直线方程为（ ） A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．032=++y xD ．012=--y x 8.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______-9．两直线x y 33=和1=x 关于直线l 对称，直线l 的方程是___________．10．直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)1,4(-A 、)4,3(B 的距离之差最大，则P 点的坐标是________．11．直线x y 2=是△ABC 中C ∠的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为)2,4(-A 、)1,3(B ，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 的一个顶点)4,1(--A ，B ∠、C ∠的平分线所在直线的方程分别为01:1=+y l ，01:2=++y x l ，求边BC 所在直线的方程13． 已知两点)3,2(A 、)1,4(B ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P ．（1）使PB PA +最小；（2）使PB PA -最大．。
直线与直线的位置关系——对称
直线与直线的位置关系（3）——对称问题教学目标1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。
2、初步学会解决三角形中的直线问题1、两直线平行和垂直的判定2、点到直线的距离公式(1) 点到直线的距离d ＝|Ax0＋By 0＋C|A 2＋B 2. (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程．解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l.∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得⎩⎨⎧ x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为⎝⎛⎭⎫25，195.(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0.即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下先求A ′(a ，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a ＋4＝－12b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2，∴A ′(4，－2)． ∴直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3x ＋y －10＝0)，得C(2,4)．∴k AC ＝13，k BC ＝－3，∴AC ⊥BC. ∴△ABC 是直角三角形．方法提炼巩固练习： 1、已知直线l ：2x －y －2＝0，试求：(1) 点P(2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；2、已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10,5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1 A ′(1,7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.课堂总结：。
直线对称问题学生
直线系与对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 . 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：例1 （1）求点)2,1(A 关于直线02=++y x 的对称点（2）求)4,3(A 关于直线32+=x y 的对称点（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B （8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m ，n ）重叠，求m+n ；例2：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
点关于直线对称的点的万能公式
点关于直线对称的点的万能公式
直线对称是几何学中非常重要的概念，可以帮助我们解决许多问题。
当我们在平面直角坐标系中考虑直线对称时，有一些万能公式可以帮
助我们快速计算出对称点的坐标。
下面就为大家列举一些常见的直线
对称公式，并给出具体的介绍。
1. 直线对称公式
设点A(x1,y1)关于直线L:y=kx+b对称的点为A'(x2,y2)，则有下列公式：x2 = (x1+k*y1-b*k)/(1+k^2)
y2 = k*x2+b
这个公式可以很方便地计算出对称点的坐标。
首先计算x2，然后代入
直线方程可得y2。
2. 关于x轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于x轴对称，那么对称点的坐标就
是(x,-y)。
这个公式很容易记忆，只需要将原来的y坐标取负号即可。
3. 关于y轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于y轴对称，那么对称点的坐标就
是(-x,y)。
同样，这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x坐标取负号即可。
4. 关于原点对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于原点对称，那么对称点的坐标就是(-x,-y)。
这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x和y坐标都取负号即可。
以上这些公式是直线对称中最常用的公式，可以帮助我们快速计算出对称点的坐标。
在实际运用中，我们可以根据实际情况灵活运用这些公式，从而更好地应对各种问题。
怎样求解有关直线对称的问题
解题宝典值域.三、巧用几何法求最值三角函数的性质求得最值，中代数式的几何意义，如将（x ，y ）看作一cos 2x +sin 2x =1看作一个单位圆，将y =x 2物线，等等.然后画出相应的几何图形，曲线、几何图形的位置关系，应的关系式，即可求得三角函数的最值.例5.求函数y =4sin x +12cos x -4的最值.解：y =4sin x +12cos x -4=2·sin x +14cos x -2，可将y =2·sin x +14cos x -2看作点M (cos x A (-14,2)连线的斜率的2倍，设直线l 的方程为y =kx -2k -14且M 在圆心为O (0,0)，半径为1的圆上.过点A 作圆O 的切线，切点分别为B ,C ，由图可知，原点O (0,0)到直线l 于1，则-32≤2k ≤56，所以y max =56,y min =-32.有关直线对称的问题比较常见,但却是比较容易出错的一类题目.常见的有关直线对称的问题有：（1）两条直线关于点对称；（2）两条直线上的点关于点对称；（3）两个点关于直线对称；（4）两条直线关于某条直线对称.下面结合实例探讨一下这四类对称问题的解法.一、两条直线关于点对称如果两条直线关于点对称，那么这两条直线平行.对于这类问题，一般有两种求解思路：①因为对称点到这两条直线的距离是相等的，所以可以根据两条平行直线之间的距离公式：d =|C 1-C 2|A 2+B 2求解；②在一条直线上任选一个点，并在另外一条直线上找到该点的对称点，将问题转化成两条直线上的点关于点对称的问题来求解.例1.已知直线L 1的方程为：2x +5y -7=0，求这条直线关于点（2，4）对称的直线L 2的方程.解法一：先在直线L 1上任选一个点M 1(x 1,y 1),再设直线L 2上关于点（2，4）对称的点为N (x ,y ).根据中点坐标公式可得x 1+x2=2，y 1+y 2=4，则x 1=4-x ，y 1=8-y ，将其代入直线L 1的方程2x 1+5y 1-7=0，可得：2(4-x )+5(8-y )-7=0，化简得2x +5y -41=0，所以直线L 2的方程为2x +5y -41=0.解法二：不妨设直线L 2的方程为：2x +5y +a =0，由于两条直线是关于点（2，4）对称的，所以直线L 1和L 2平行，且到点M (2,4)的距离相等,则由点到直线的距离公式可得：|4+20-7|22+52=|4+20+a |22+52，解得a =-41，所以直线L 2的方程为2x +5y -41=0.解法一是通过确定两条直线上的对称点，将两直44解题宝典线关于点对称的问题转化为两条直线上的点关于点对称的问题，利用中点坐标公式求解；解法二是根据两条直线与对称点之间的位置关系，确定对称点到两条直线之间的距离，进而根据点到直线的距离公式进行求解.二、两条直线上的点关于点对称当遇到两条直线上的点关于某个点对称的问题时，一定要明确两对称点的坐标与其中点的坐标之间的关系.如果一条直线上的点M (x 1,y 1)与另外一条直线上的点N (x 2,y 2)关于点K (a ,b )对称，则K (a ,b )为MN 的中点，此时需根据中点坐标公式建立关系式或方程组ìíîïïïïa =x 1+x 22,b =y 1+y 22,通过解方程求得问题的答案.例2.已知直线L 1:x +3y -6=0和直线L 2:x -2y +3=0，直线过点K (-1,-3)，且与直线L 1，L 2，分别相交于M ,N 两点，若M 和N 两点关于点K 对称，求直线L 的方程.解：设点M (a ,b )，则N (-2-a ,-6-b )，由于M 、N 两点分别在L 1,L 2上，所以ìíîa +3b -6=0,(-2-a )-2(-6-b )+3=0,解得ìíîïïa =515,b =-75,所以M (515,-75)，则N (-615,-235),故直线L 的方程为4x +23y +35=0.解答这道题，一定要抓住关键信息：M 、N 两点分别在L 1,L 2上，且关于点K 对称，这说明M 、N 两点的坐标分别满足直线L 1和L 2的方程，且其中点为K ，据此建立方程组，求出点M 、N 的坐标，即可根据直线的两点式方程求出直线L 的方程.三、两个点关于直线对称当两个点关于直线对称时，可将该直线视为对称轴，那么这两个点的中点在对称轴上，且这两个点所在的直线和对称轴互相垂直.根据中点坐标公式和直线的斜率公式建立方程组，即可解题.例3.已知光线经过点K （-3，4），被直线L ：x-y +3=0反射，反射光线经过点T （2，6），求反射光所在直线的方程.解：设点K （-3，4）关于直线L ：x -y +3=0对称的点为K ′(m ,n )，那么反射光所在的直线经过点K ′，于是ìíîïïïïn -4m -(-3)=-1,-3+m 2-n +42+3=0,解方程可得n =0，m =1，所以K ′(1,0)，而反射光线经过了点T (2,6)，所以反射光线所在直线的斜率为6-02-1=6.则反射光线所在直线的方程为6x -y -6=0.本题实质上是两个点关于直线对称问题，根据中点的坐标公式建立关于M 、M′及其中点的关系式，并根据直线的斜率公式求得反射光线所在直线的斜率，即可解题.四、两条直线关于某条直线对称两条直线关于某一条直线对称的问题，一般都可以转化成点关于直线对称的问题.如果直线L 1和直线L 2关于直线L 3对称（直线L 1和L 2不平行），就可以在直线L 1上任取一个点（非交点）P ，并求出该点关于直线L 3对称的点P′，此时P 与P′关于直线L 3对称，根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解即可.例4.已知直线L 1：x -y =0和直线L 2:2x -y -2=0,求L 2关于L 1对称的直线L 3的方程.解：将直线L 1和直线L 2的方程联立，可得：ìíîx -y =0,2x -y -2=0,解得：ìíîx =2,y =2,所以直线L 1和L 2的交点坐标为（2,2），且L 3必过此点.在直线L 2上任取点（0，-2），其关于直线L 1对称的点是（-2,0），显然这两点的连线与L 3垂直，则直线L 3的斜率为2-02-(-2)=12，所以直线L 3的方程为x -2y +2=0.直线L 1和L 2不平行，则必相交，于是将两直线的方程联立，求得其交点的坐标.而直线L 3必过此点，所以只需根据直线L 1和L 2上关于该交点对称的点的连线与直线L 3垂直的关系，建立关系式，即可求得直线L 3的斜率.总之，解答有关直线对称的问题，需抓住几个关键点：(1)明确直线、点之间的位置关系；（2）灵活运用图形的对称性；（3）合理建立关于点、直线的方程（组）.虽然有关直线对称的问题比较复杂，但是同学们在学习的过程中只要注意总结几类对称问题的通性通法，并通过练习熟练掌握解答这几类问题的方法、技巧，就能在考试时从容应对这类问题.（作者单位：江苏省滨海中学）45。
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧
1. 引言轴对称是初二数学中的重要内容之一，轴对称证明题更是学生们常常遇到的难题。
在学习轴对称证明题的过程中，掌握正确的解题方法和技巧非常重要。
本文将从深度和广度两方面对如何学初二轴对称证明题的解题方法和技巧进行全面评估，并帮助读者更深入地理解这一主题。
2. 掌握基本概念在学习轴对称证明题之前，首先要确保对轴对称的基本概念有清晰的理解。
轴对称是指平面上的一条直线，对称图形关于这条直线对称。
理解这一概念对于解题至关重要。
3. 解题方法解轴对称证明题时，常用的方法包括利用轴对称的性质，利用对称图形的性质以及利用对称中心等方法。
在解题过程中，要善于运用这些方法，灵活应用，找出解题的突破口。
4. 抓住关键在解题中，要抓住题目中的关键信息，理清思路。
通过画图、列式等方式将问题具体化，有助于理清解题思路，找到解题的关键点。
5. 注意细节在进行证明题的解题过程中，要特别注意细节。
细心、仔细地审题，防止因粗心而导致错误的发生。
6. 练习与总结解轴对称证明题需要不断的练习和总结。
通过大量的练习，逐渐加深对题目的理解，找到解题的规律。
要及时总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
7. 个人观点和理解在学习轴对称证明题的过程中，我认为最重要的是多练习、多总结。
只有通过反复的练习和总结，才能真正地掌握解题的方法和技巧。
要养成仔细思考、细心对待每道题目的习惯，这样才能提高解题的准确性和效率。
8. 结语学习初二轴对称证明题的解题方法和技巧需要多方面的综合能力。
只有掌握了基本概念，灵活运用解题方法，注重细节，不断练习，才能在学习中取得更好的成绩。
希望通过本文的介绍，读者对学习轴对称证明题有一定的启发和帮助。
通过以上思路，我会按照您的要求，撰写一篇3000字以上的文章，详细介绍如何学初二轴对称证明题的解题方法和技巧，并共享我的个人观点和理解。
文章将按照知识的文章格式进行撰写，重点突出您指定的主题内容。
撰写完成后，请您审阅并提供反馈意见，谢谢！思想深刻的文章始于对轴对称的基本概念的理解。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。
直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法）在1l 上任取点))(,(2//l P y x P ∉，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以0153435934=--++++-y x y x 。
即017=--y x 。
所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）解方程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7131313113=⇒+-=⨯-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法3：（取特殊点法）由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。
在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为),(//y x Q ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一
点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。
直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法）
在1l 上任取点))(,(2/
/l P y x P ∉，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++-=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015
3435934=--++++-y x y x 。
即017=--y x 。
所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）
解方程组⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7
131313113=⇒+-=⨯-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法3：（取特殊点法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。
在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点
的坐标为),(//y x Q ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法4：（两点对称法）
对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为Q )57,54(，在1l 上取点M （0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)5
1,512(
N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法5：（角平分线法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)，设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即0=--k y kx .由题意知，2l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公式，有：
1711|30|2|130|2
-==⇒+-+=--或k k k k 1-=k 时为直线1l ，故7
1=
k 。
所以直线l 的方程是017=--y x 解法6（公式法） 给出一个重要定理：曲线（或直线 ）0),(:=y x F C 关于直线
0),(:=++=C By Ax y x f l 的对称曲线/C （或直线 ）的方程为
)1.........(0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F 。
证：设),(y x M 是曲线/C 上的任意一点),(y x M ，它关于l 的对称点为
),(///y x M ，则C M ∈/于是)2........(0),(//=y x F 。
∵M 与M /关于直线l 对称，∴)3..(..........),(2),(20220)()(22/22/////⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅++⋅=---y x f B A B y y y x f B A A x x C y y B x x A y y A x x B ,（3）代入（2），得0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F ，此即为曲线/C 的方程。
解析：定理知，直线01),(:1=-+=y x y x F l 关于直线033),(:2=--=y x y x f l 的对称曲线l 的方程为：
017,05
1575101)5
35453(5953540)535453,595354(0)]33(5
1),33(53[0)],(13)1(2),,(1332[2222=--=++-⇒=--++++-⇒=-+++-⇒=--+---⇒=+-⨯-+⨯-y x 即y x y x y x y x y x F y x y y x x F y x f y y x f x F 所以直线l 的方程是017=--y x 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重
要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P （0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.。