北师大高中数学选修1-2 反证法
北师大版选修1-2：3.4反证法--教学设计一、二、三、四
《反证法》教学设计一1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例1、已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=. 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章 拓展资料：例谈反证法在解题中的应用
例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设； （2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．证明：假设存在两个不等实数12x x ，，使得12()()0f x f x ==．()* 不妨设12x x <，由条件可知12()()f x f x <，与()*式矛盾．故至多有一个实数x 使得()0f x =．二、证明“不可能”问题例2 给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a-=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．证明：假设函数图象上存在两点12M M ，，使得直线12M M 平行于x 轴． 设111222()()M x y M x y ，，，且12x x ≠．由120M M k =，得212121212121111110(1)(1)x x y y ax ax a x x x x ax ax -------===----，解得1a =．与已知1a ≠矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴.例3 双曲线1xy =的两支为12C C ，，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．求证：P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如1C 上，其坐标分别为112233()()()x y x y x y ，，，，，，不妨设1230x x x <<<，则一定有1230y y y >>>． 于是222PQ QR PR ++22222122313122313[()()()][()()()]x x x x x x y y y y y y =-+---+-+--- 21232122()()2()()0x x x x y y y y --+--<． 因此，222PQ QR PR +<．这说明PQR △是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4 已知函数2()f x ax bx c =++的图象过点(10)-，．问是否存在常数a b c ，，，使不等式21()(1)2x f x x +≤≤对一切实数x 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的a b c ，，． ()f x ∵的图象过(10)-，， (1)0f -=∴，即0a b c -+=．又21()(1)2x f x x +∵≤≤对一切实数都成立， 令1x =，则211(11)12a b c +++=≤≤． 1a b c ++=∴，12b =∴，12a c +=．211()22f x ax a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴．由2()1()(1)2f x x f x x ⎧⎪⎨+⎪⎩，，≥≤得221102211022ax x a a x x a ⎧⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，①．②≥≤ 据题意，对于任意实数x ，①与②都成立．对于①，若0a =，则1x ≤，不合题意；若0a >，欲使①的解集为R ，则需00a >⎧⎨⎩∆，，≤即0114042a a a >⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩，．≤解得14a =． 对于14a =，再考虑②，把14a =代入②，得2210x x -+≥，其解集为R ． 所以，存在满足条件的abc ，，，其中1142a cb ===，．。
北师大版选修1-2--第三章-4-反证法----课件(22张)
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目标导航
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理
1.反证法的定义
(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必
居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推
出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛
盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断
定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法是一种间接证明的方法.
【做一做1】 在应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列可以作
为条件使用的是(
)
①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、
定义等;④原结论.
A.①②
B.①②④
至少有 n 个 至多有 n-1 个
都是
不都是
至多有 n 个 至少有 n+1 个
是
不是
p或q
p 且q
p且q
p 或q
只有一个
反设词
没有或至少
有两个
知识梳理
【做一做2】 命题“在△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该
是(
)
A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b
答案:B
【做一做3】 用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”
1
故假设不成立,即函数 f(x)=2x+1除 − 外没有零点.
2
综上所述,函数 f(x)=2x+1 有且只有一个零点.
典例透析
题型一
题型二
题型三
2019-2020学年北师大版选修1-2 反证法 学案
(一)用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．（二）反证法得出的矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾．（三）注意事项(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C)A．①②③ B．①③②C．③①② D．③②①解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC 内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP BAP＞∠CAP4．求证：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，且n>1)．证明：假设na不大于nb，则na＝nb，或na＜nb当na＝nb时，则有a＝b.这与a＞b＞0相矛盾．当na＜nb时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．所以na＞nb.。
[高二数学]高中数学§4《反证法》教案北师大版选修1-2
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北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法：综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法。
二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
北师大版选修1-2高中数学第三章推理与证明 反证法名师点拨课件
即假设结论的反面成立； (2)归谬：从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾，这是反证法的核心，在推理 论证的过程中要有意识地制造矛盾和发 现矛盾．
用反证法证明问题时一般叙述过程是： ①否定结论⇒A⇒B⇒C； 与课本公理抵触 与已学定理不相容 与本题题设冲突 ②而 C 不合理 与临时假定违背 自相矛盾 与事实矛盾 ③因为结论不能与事实矛盾，故结论成立．
1．反证法的原理
反证法的原理是“否定之否定等于肯
定”． 反证法的主要依据是逻辑中的排中 律．排中律的一般表现形式是：或者是 A，或者是非A，即在同一讨论过程中， A和非A有一个且仅有一个是对的．不能 有第三种情形出现．
2．反证法证题的一般步骤 (1)假设：假设所要证明的结论不成立，
【错解】 证明：假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根， 由已知实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，
◎已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 1 2 2 2 2 解得－ 2< p < － ，而关于 x 的方程 x － 2 x ＋ 5 － p ＝ 0的 用反证法证明：关于 x 的方程 x － 2 x ＋ 5 － p 2 ＝0无实根． 根的判别式 Δ＝4(p2－4)．
反证法可以证明的命题范围相当广
泛．如：唯一性问题，无限性问题，肯 定性问题，否定性问题，存在性问题， 不等式问题，等式问题，函数问题，整 除问题，几何问题等．常见的基本题型 是： (1)一些基本定理； (2)“否定性”命题； (3)“唯一性”命题； (4)“必然性”命题； (种不同
情况，需对各种不同情况一一导出矛盾， 加以否定，才能使原判断得到充分肯 定． 2．有些待证命题的相反判断虽然只有一 种情况，但在证明过程中有必要进行分 类，首先要求分类必须详尽无遗漏，并 且就各类一一导出矛盾．
高中数学北师大版选修1-2教案-反证法课件
❖ D．两个都是负数
❖ [答案] C
❖ [解析] 假设两个数都是负数，则两 个数之和为负数，与两个数之和为正 数矛盾，所以两个实数至少有一个正
4.已知x，y>0，且x y 2.试证：
1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
❖ 证明1：假x设两2个, 1数 都y 不 小2 于2，则
CD交于点P，且AB、CD不是 直径.求证：弦AB、CD不被P平
A
O
D
分证. 明：假设弦AB、CD被P平分，
P
C
由于P点一定不是圆心O，连结 B
OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂
这与垂直，线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
1、证明：在ABC 中，若C 是直角，B则 一定是锐角。
例2 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立，故 2 是无理数。
❖ A．两个内角是直角
❖ B．有三个内角是直角
❖ C．至少有两个内角是直角
❖ D．没有一个内角是直角
❖ [答案] C
❖ [解析] “最多只有一个”即为“至 多一个”，反设应为“至少有两个”， 故应选C.
❖ 3．如果两个实数之和为正数，则这 两个数( )
❖ A．一个是正数，一个是负数
❖ B．两个都是正数
北师大版高中数学选修1-2课件3.4反证法
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§4 反证法
探究一 探究二 探究三 探究四
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
【典型例题 1】 已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求 证: ������, ������ , ������ 不成等差数列. 思路分析:此题为否定形式的命题,可用反证法并结合等差中项、等比 中项的定义来证明. 证明:假设 ������, ������ , ������ 成等差数列, 则 ������ + ������ =2 ������,即 a+c+2 ������������ =4b, 而 b2=ac,即 b= ������������ ,∴a+c+2 ������������ =4 ������������ . ∴( ������ − ������ )2=0,即 ������ = ������, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 ������, ������ , ������ 不成等差数列.
原结 论词 等于 (= ) 大于 (> ) 小于 (< ) 对所有 x 成立 存在某 个x不 成立 对任 意x不 成立 存在 某个 x 成立 至少 一个 至多 一个
反设词
不等 于(≠)
不大 于(≤)
不小 于(≥)
一个都 没有
至少 两个
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§4 反证法
探究一 探究二 探究三 探究四
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
π 6
π 2
π 3
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§4 反证法
探究一 探究二 探究三 探究四
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六.课堂小结
1、基本概念： ①间接证明；②反证法
2、反证法的证明步骤：
⑴否定结论
①与已知条件矛盾；
⑵推出矛盾—— ②与假设矛盾。
⑶肯定结论， ③与已有公理、定理、定义矛盾。
3、常见适用反证法的命题：
（1）直接证明有困难 （2）唯一性命题 （3）否定性命题 （4）至多，至少型命题
结论成立。 简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）
反证法是制造矛盾的专家。
四、例题选讲
例1.求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手
证明：假设三角形有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°
则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， 所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于 60°
二、引入思考？
正难则反!
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在
同一只鸽笼，对吗？
（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少
有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的
高二三数.智学慧北师办大公版系选统修的1-改2 进
反证法
一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果 分析法 结论 已知条件 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
2.常用的正面叙述词语及其否定：
正面
等于 大于（>） 小于 (<)是都是 都不是 Nhomakorabea词语
不大于 不小于
否定
不等于
（小于或 （大于或 等于)（≤） 等于）（≥）
不是
不都是
至少有 一个是
正面 词语
至多有一 至少有一个 个
任意的
所有的
至多有n个 任意两 个
否定
至少有 一个也 两个 没有
某个
某些
至少有n ＋1个
a
b
p
小结：
1、哪些命题适宜用反证法加以证明？
（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的 证明如平行线的传递性的证明）
（2）关于唯一性结论的命题 （即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼）
（3）以否定性判断作为结论的命题 （4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题
（5）一些不等量命题的证明 即正难则反!
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
四、例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是
方程则的a两x1个= 根b，. ax2 = b ∴ ax1 = ax2
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上
三、基本概念 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得
命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法
一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条 件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出 矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。
某两个
五.课堂练习： 1、求证： 2, 3, 5 不可能成等差数列
证明：假设 2, 3, 5 成等差数列,则有 2 3 2 5 , 这显然不成立 所以假设不成立， 2, 3, 5 不可能成等差数列
五.课堂练习：
2、证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是 锐角。
证明：假设∠B不是锐角，则∠B≧90°， 又因为∠A＞0°，∠C=90° 所以∠A+∠B+∠C ＞180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， ∠B一定是锐角。
反证法的思维方法：正难则反
反证法的证明步骤：
①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立； ②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛
盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x -x
1
2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例3. 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a // b， 求证：a //