两点间的距离及点到直线的距离
极坐标下两点间的距离公式、点到直线间的距离公式及其应用
极坐标下两点间的距离公式、点到直线间的距离公式及其应用人教A 版选修4-4中极坐标部分内容有好多求极坐标下两点间的距离和点到直线的距离的问题，我们一般都是把点极坐标与直线的极坐标方程化为直角坐标和方程，然后利用直角坐标下的公式来解决的。
那么，能不能直接利用极坐标来解决这两个问题呢？答案是肯定的。
下面我们分别来说明。
一.极坐标下两点间的距离公式及其应用1.结论一：设两点的极坐标分别是A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2），则221212212cos -AB ρρρρθθ=+-（）证明：如图，设两点的极坐标分别是A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2），且ρ1>0,ρ2>0在△AOB 中，由余弦定理，得222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠221212212cos -ρρρρθθ=+-（）说明：也可以把点的极坐标化为直角坐标，用直角坐标下两点间的距离公式得证。
2.应用例1.在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解：|AB |＝12＋22－2×1×2co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5. 例2.求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos∠COM ＝|CM |2，即ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0. 当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0. 二.极坐标下点到直线的距离公式及其应用1.结论二:在极坐标系中，设()11,p ρθ ，直线l 方程为22sin()a ρθϕ=+ 则点P 到直线l 的距离为112sin()-d a ρθθ=-证明:将()11,p ρθ化成直角坐标为1111(cos ,sin )ρθρθ 由直线l 方程222(sin cos cos sin )a ρθϕθϕ+=即2222sin cos cos sin a ρθϕρθϕ+=化成直角坐标系由点到直线的距离公式，可得sin cos 0x y a ϕϕ+-= 111122cos sin sin cos cos sin ad ρθϕρθϕϕϕ+-=+11sin()a ρθϕ=+- 2.应用:例1.已知直线的极坐标方程为2sin()4ρθ+=π 7(2,)4A π到这条直线的距离。
两点之间的距离及点到直线的距离
《两点间的距离及点到直线的距离》课标分析
新课程标准要求教师在教学中培养学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。
在从事与他人合作解决问题的活动，尝试解释自己的思考过程。
能初步判断结果的合理性，经历整理解决问题过程和结果的活动。
学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
在运用数学解决问题的过程中，认识数学的价值。
主动参与数学学习活动以及在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学。
初步养成乐于思考、勇于质疑、实事求是等良好品质。
课表明确要求：经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。
建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观能力，发展形象思维与抽象思维。
探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征，掌握测量、识图和画图的基本方法。
体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。
根据两点间的距离及点到直线的距离教学内容把知识目标定位为结合具体情景，理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间的距离和点到直线的距离。
能力目标定位为对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。
情感态度价值观目标定位为在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。
两点间的距离及点到直线的距离PPT
两点间的距离及点到 直线的距离
回顾复习
• 1、同一平面内的两条直线的位置关系有 （ 平行）和（相交） 2、一条直线的平行线有（无数）条 3、两条直线的交点叫做 （垂足 ） 4、在（同一平面 ）内不相交的两条直线叫做 平行线，也可以说这两条直线（互相平行 ）
认一认：
下面各组直线，哪组相交，哪组互相平行？ 互相垂直?
①
②
③
④
⑤
⑥
垂直
垂直
你能过直线外一点画 这条直线的垂线吗？
一.线边重合 二.平移靠点
三. 画线 四. 标符号
你能过直线外一点画 这条直线的垂线吗？
点到直线的距离： 从直 线外一点到这条直线所画 的垂直线段的长度，叫作 点到直线的距离
两点间的距离问题
有只虫子从一个山洞到另一个山洞寻找食物, 有五条路可走,可是走哪一条路最短呢?可怜的 小虫子犯愁了,谁能帮帮它呢? 1 2 3 起点 终点 4 5
A
路
公
B
能力提升：
a、平行线间的距离处处相等 b两条直线互相平行， a、b两直线间的线 平行线间垂直线段的长度 段中那条最短？ 就是平行线间的距离
这节课
你有什么收获？
作业
• 优＋学案中相关的课时做完
线段最短!
大青虫家门前有条大路，它要到路上去，怎么走最近呢?
两点之间线段最短，两 点之间线段的长度就是 两点间的距离。
点到直线所 画的垂直线 段最短
点到直线的距离问题
公路
从直线外一点到这条直线所画的 垂直线段 这条线路与公路垂直! 最短，它的长度叫做 这点到直线的距离。
？
小结：
• 1、两点之间线段的长度就是两点间的距离。 • 2、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短， 它的长度叫作点到直线的距离 • 3、两点之间线段最短，点到直线所画的垂直线段 最短 • 4、从直线外一点到已知直线，可以画无数条线段， 可以画一条垂直线段
三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版(五四学制)
教案标题：三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版（五四学制）一、教学目标1. 让学生理解并掌握两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。
2. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 两点之间的距离2. 点到直线的距离三、教学重点与难点1. 教学重点：两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。
2. 教学难点：如何引导学生理解并运用这些计算方法。
四、教学过程1. 导入在黑板上画出两个点A和B，让学生思考如何计算点A和点B之间的距离。
引导学生回顾已学的长度单位，如厘米、米等，并提示学生可以使用直尺来测量两点之间的距离。
2. 新课导入介绍两点之间的距离的概念，并给出计算公式：两点之间的距离等于两点间的直线距离。
用具体的例子进行演示，如点A(2,3)和点B(5,7)，计算它们之间的距离。
3. 活动一：计算两点之间的距离让学生分组，每组发一张坐标纸和几个点，让学生自己在坐标纸上画出几个点，并用直尺测量它们之间的距离。
然后，让学生计算这些距离，并核对自己的测量结果。
4. 活动二：点到直线的距离引导学生思考如何计算一个点到一条直线的距离。
首先，让学生画出一条直线和一点，然后用直尺测量这个点到直线的最短距离。
接着，给出点到直线的距离的计算公式：点到直线的距离等于点到直线的垂线的长度。
5. 活动三：应用出示一些实际问题，如计算点到直线的距离、计算两点之间的距离等，让学生运用所学的知识来解决这些问题。
6. 总结对本节课所学的内容进行总结，强调两点之间的距离和点到直线的距离的计算方法，并提醒学生在解决实际问题时要注意单位的转换。
五、作业布置1. 让学生完成课后练习题。
2. 让学生回家后，观察身边的物体，尝试计算两个物体之间的距离。
六、教学反思1. 在教学过程中，要注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的实际操作能力。
2. 在讲解点到直线的距离的计算方法时，可以结合具体的例子进行讲解，帮助学生理解。
小学数学_两点间的距离及点到直线间的距离教学设计学情分析教材分析课后反思
教学内容：两点间的距离及点到直线间的距离第三课时教学目标1.通过“猜一猜，画一画，量一量”活动，理解体会“两点之间线段最短”、“点到直线所画的垂线段最短”，知道两点间的距离和点到直线的距离的含义。
2.在探究知识的过程中经历“猜想—验证”的探究过程，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。
3.在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，培养学生的应用意识。
教学重点结合具体情境理解体会“两点之间线段最短”、“点到直线的垂直线段最短”。
教学难点理解“点到直线的距离”及其画法。
教学准备：教师准备：多媒体课件、作业纸；学生准备：直尺、三角板、毛线教学过程一、创设情景，提出问题师：同学们，为了交通方便，在修路时遇到河要架桥，如果遇到了大山，应该怎么办呢？图1组织学生发表自己的意见。
预设1：绕过山。
预设2：火车爬山。
预设3：修建隧道。
引导学生讨论总结：绕路需要多费时间、费能源。
火车爬山也不太安全，直接通过隧道方法好像更好一些。
（课件出示，见图1）看图，教师向学生讲解什么是隧道：隧道是埋置于底层内的一种地下建筑物。
隧道可分为山岭隧道、水底隧道和地下隧道等。
师：为什么要修隧道呢？今天这节课就一起研究这其中的秘密。
二、合作探索，解决问题（一）认识两点间的距离1. 提出猜想。
师：刚才同学们都认为修隧道的路程最近，其他的方法路程会远一些，这是生活经验告诉我们的，其实在数学上它还只是一个猜想。
板书：猜想。
2.操作验证。
（1）讨论研究方案。
师：这种观点究竟对不对呢？在我们还需要验证一下。
给学生一个简易的大山图，在山的两侧分别标出两个点A和 B。
师：小组内讨论一下，我们应该怎样做才能证明我们的观点是否正确？小组内讨论制定研究计划。
全班交流研究计划。
课件出示探究方案：①从A 地到 B地，你能把修隧道的方法在图上表示出来吗？动手画一画。
你还能想到哪些不同的路线？试着画几条，看看能发现什么？②利用学具动手摆一摆、比一比、量一量，验证你的发现是否正确。
两点间的距离及点到直线的距离
Part
05
距离在物理中的应用
重力场中的距离
重力场中两点间的距离
在重力场中，两点间的最短距离是通过连接这两点的直线段来确定的。重力场中的距离与地球的质量和物体的质 量有关。
重力加速度
在重力场中，物体受到地球的引力作用，产生加速度，这个加速度被称为重力加速度。重力加速度的大小与地球 的质量和物体的高度有关。
点到直线的距离
点到直线的距离是指点到直线上的任意一点的最短距离。在确定一个点相对于一条直线 的位置时，这个距离是非常重要的。
图形分析
三角形分析
在三角形中，通过测量各边和各边之间的距离，可以分析三角形的形状和大小。 例如，海伦公式用于计算三角形的面积。
圆的分析
在圆中，通过测量圆心到圆上任一点的距离（半径），可以分析圆的大小和位 置。此外，圆上两点间的最大和最小距离分别是直径和弦。
举例说明
假设在二维平面中，点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(4, 3)，则两点间的距离为：d = sqrt(4^2 + 3^2) = 5。
假设在三维空间中，点A的坐标为(0, 0, 0)，点B的坐标为(4, 3, 6)，则两点间的距离为： d = sqrt(4^2 + 3^2 + 6^2) = 7。
Part
03
距离的性质
非负性
STEP 01
STEP 02
STEP 03
这一性质是距离定义的基 本要求，确保了距离的度 量具有实际意义。
当且仅当两点重合时，距 离d为0。
两点间的距离总是非负的， 即两点间的距离d满足d ≥ 0。
三角不等式
对于任意三点A、B、 C，有AB ≤ AC + CB。
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。
在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。
下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。
首先，考虑两点间的距离。
假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。
因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。
接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。
给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。
为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。
在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。
这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。
我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。
首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。
假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。
根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。
因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。
平面上两点间距离、点到直线距离公式
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
点A
A坐标(a,b)
直线L
L方程：Ax+By+C=0
点A在L上 直线L1∩L2=A
aA1 bB1 C1 0
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
x y
a b
直线上的点
y
l
2x y 3 0
P(x,y) x
(1)点（1，5）在直线上吗？ (2)点（2，7）在直线上吗？
A(0,0) B(a,0)
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 )
| AB |2 | BC |2 | CD |2 | AD |2 2(a2 b2 c2 )
结 论 L：3x=2的距离。
解1 : d | 3 (1) 0 2 | 5
|PA|的值。
解: 设P( x,0),则
| PA | ( x 1)2 (0 2)2 x2 2 x 5
| PB | ( x 2)2 (0 7 )2 | PA || PB |
x2 2 x 5 x2 4 x 11 解得: x 1, P(1,0)
x2 4 x 11
| PA | (1 1)2 (0 2)2 2 2
由2x 3 y 1 0令x 0得y 1 ; y 0得x 1
3
2
直线与x轴交于A( 1 ,0),与y轴交于B(0, 1 ).
2
3
L过A关于y轴对称点( 1 ,0)和B点, L方程为
2
x 1
y 1
1即: 2x 3 y 1
0
23
2、已知L的方程：2x+3y+1=；则
（1）将L向上平移2个单位得：_________
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比较4条线的长度
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比较4条线的长度
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比较4条线的长度
结论：两点之间，线段最短。
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两点间的距离
两点之间线段的长度就是两点间的距离
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我知道了：
两点之间线段最短。 两点之间线段的长度， 就是两点间的距离。
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大青虫家门前有条大路，它要到路上去，走哪条小道最近呢?
这条线与公路垂直!
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验证明理
下面是从大青虫家（点0)，向公路（直线） 所作出的5条线段，你能看出哪条线段最短吗？
为什么要修隧道呢？
.
为什么要修隧道呢？
如果没有隧道，到山的那边去， 需要绕很长的盘山公路。
修隧道可以不绕路， 即省时又省力。
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探索新知
A点和B点是大山隧道的出口和入口，请你
动手画几条这两点间的连线，看看有什么发现？
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你能试着画画吗？
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比较4条线的长度
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比较4条线的长度
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比较4条线的长度
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小华
小美
小刚
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3.在互相平行的两条直线中间，任意画几条与这两条直
线都垂直的线段。量一量你画的线段，有什么发现？
两条平行线之间的垂直线段有无数条， 长度都相等。
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谈收获
本节课学习了那些数学知识，你有什么收获？
我们研究了图形距离的两种情况：
1.（点到点）两点间的距离： 两点之间，线段最短。
2.（点到直线）点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，
它的长度叫做点到直线的距离。
.
.
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动手测量一下
O
0
1
A
B
C
D
E
2
从直线外一点到这条直线所画的所有 线段中，垂直线段最短。
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训练达标
1、你知道他们为什么要这样测量吗？
利用两点间的距离来测量更准确、合理。 两点之间线段的长度就是两点间的距离。
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2. 4个小朋友做“抢板凳”游戏，他们的位置如下。 谁最有可能抢到板凳？这样公平吗？
小东
青岛版四年级数学上册
两点间的距离及点到直线间的距离
台儿庄区涧头集镇高山后小学 王英
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学习目标
1.通过动手操作，理解两点之间 线段最短。 2.能理解从直线外一点到直线所 画的垂线段最短，知道点到直线 的距离是什么。
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情景导入
从图中你知道了哪些数学信息？
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根据这些信息，你能提出什么问题呢？
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运动会报名