数值计算方法ch2—2.2
ch2-2 收敛数列的性质
原式 lim
n
am n
mk
am 1n a1n a0 n bk bk 1n 1 b1n1 k b0 n k
m 1 k
1 k
k
am , k m; bm 0, k m.
例4 解
an , 其中 a 1. 求 lim n n a 1
即有 | xn || a | 1.
记 M max{ x1 , , xN ,| a | 1}, 则对一切正整数n,皆有 xn M , 故 xn 有界.
注：有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.例如，
数列{(-1) }有界，但它并不收敛（看上节例6）.
n
推论:无界数列必定发散.
当n N 2时, bn b .
取N max{N1 , N 2 }, 则当n N时上述两不等式同时成立，从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2
lim(an bn ) a b.
n
2. anbn ab (an a)bn a(bn b) (an a) bn a bn b .
收敛数列的四则运算法则
定理2.7(四则运算法则)
若{an }与{bn }为收敛数列, 则{an bn },{an bn }也都是收敛数列, 且
lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
lim( an bn ) lim an lim bn
n
an 1 证 由于an bn an (1)bn 及 an , bn bn
因此只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可.
数值计算方法
1 2 x
x+h − x−h 2h
h = 10^(-2), f ′(2) = 0.353554495459696 h = 10^(-15), f ′(2) = 0.333066907387547 h = 10^(-20), f ′(2) = 0 精确值为 f ′(2) = 0.35355339059327L
发散！
ϕ ′( x) ≤ L 则迭代过程 xk +1 = ϕ ( xk ) 对任意初值 x0 ∈ [a, b]
O
x2
x1 x0 x*
x
Байду номын сангаас
均收敛于方程 x = ϕ ( x) 的唯一实根x*, 且有
二、算法举例
例1: 一元二次方程求根 例2: 多项式求值
p ( x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + L + an x .
2 3 n
算法一：算出每一项，最后相加！ 记
⎧u0 = a0 , ⎪ ⎨ k ⎪ ⎩uk = ak x , ( k = 1, 2,3,L n)
则
p ( x) = u0 + u1 + u2 + L + un
2. π 值 (1) π = 3 (4.5%) 周三径一，方五斜七 《周髀算经》(公元前1世纪) (2) π = 3.14 (0.05%) 阿基米德(公元前287-212)
(3) 衡率 张衡(东汉，公元78-139) π = 730/232 (0.16%) π = 92/29 (0.98%) π = 10 (0.66%)
0 1
π = 8arctan1/ 3 + 4 arctan1/ 7
2) 数值计算方法
1 R ≈ 1－2 × 10 ＝1－ 5000
－4
即这种时间积分格式对天气尺度的波阻尼很小。 欧拉后差格式能阻尼高频振荡而对天气尺度的波影响很小， 又没有计算解，故经常使用。但它的计算量较大，且长时间地 应用对天气波也会有衰减作用，因而实际工作中往往是把它和 其他格式交替使用。
二、三层格式 这类格式在作时间积分时牵涉到三个时间层；ｎ＋1， n，n－1，故称为三层格式。其中最常用的为中央差格式(即 蛙跃格式)对(2．1)式作时间积分:
大气中的重力惯性波周期约为几小时，相当于10000秒； 积分的时间步长为几分钟，即∆t=1000秒；代入可得R＝ 0．88， 它表示用欧拉后差格式每作一次时间积分，重力惯 性波的振幅损失12％，因而这种时间积分格式对大气中的高频 波有很大的阻尼作用。 大尺度的天气波周期约3—4天，可取为3×100000秒； 仍取几分钟，即10000秒，代入欧拉后差公式可得：
O(Δx 2 )
四阶差商：
1 ⎛ ΔF ⎞ 1 ⎡4 ⎤ ⎛ dF ⎞ i i i i ⎜ ⎟= ⎢3 ( F+1 − F−1 ) − 6 ( F+2 − F−2 )⎦ ≈ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ Δx ⎠i 2Δx ⎣ i
O(Δx4)
在气象上的数值计算中，差商也常称为差分。以上几式 后面的O (Δx k ) (在上述诸式中k= 1,2或4)代表用该差商逼近 相应的微商时误差具有 (Δx) k 的量级。称k为差商精度的阶数。 利用某点及其周围点的函数值来表示该点上函数差商及其运 算的具体形式称为差分格式。在微分方程中.用差商代替微 商，则得到相应的差分方程。用差分法求微分方程的近似解 要使差分方程具有以下性质，即: 相容性: 当步长充分小时，差分方程逼近于微分方程。
数值计算方法
数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。
在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。
本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。
2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。
它可以用于求解方程的根或函数的零点。
二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。
2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。
它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。
2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。
在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。
数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。
3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。
以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。
3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。
数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法总结.
运算量
1 1 分解A LR需 (n3 n)次, 解Ly b需 (n 2 n)次, 3 2 1 2 n3 n 解Rx y需 (n n)次, 共N n 2 2 3 3
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.2 克洛特分解法
对A进行杜里特尔分解时, A=LR, L为单位下三角阵, R为上三角阵
1i n j 1
2
( AT A), 称为谱范数
第2章 解线性代数方程的直接法
2.3 舍入误差对解的影响 2.3.1 向量和矩阵的范数
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由误差估计式(1 1)可知 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 (x1 x2 ) x x x1 x x x2 1 2 1 2 (x1 x2 ) x2 x1 x1x2 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x1 x1 ( ) 2 x 2 x x2 x2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第一步得到xn ,第二步得到xn1,...,第n步得到x1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A A b
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
第一章 数值分析(计算方法)课程介绍
Vt vt S
易得人追上龟所花的时间是
（1）
S t* V v
School of Math. & Phys.
16
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
数
值
分
刘敬刚
析
主讲：
School of Math. & Phys.
1
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
引例 考虑如下线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 或者： Ax b
J. G. Liu
参考书目：
1 谷根代等，数值分析与应用，科学出版社，2011 2 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 3 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版 社,2000.
4 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001.
5 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.
6 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.
（若是更高阶的
方程组呢？）
若行列式用按行（列）展开的方法计算 ， 用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数: (n 1)(n 1)n! 当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有 理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑:
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
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2.2.1 杜里特尔分解法
求解线性代数议程组的三角分解法，起源于高斯消去
法的矩阵形式。
高斯消去法消去过程中，将变换后增广矩阵的第k行-c
倍加于第i行，相当于左乘初等矩陈
1Leabharlann 1k Eki
c
1
i
1
c aik / akk与变换后增广矩陈的第ki行元素有关 通常记为lik .矩阵Eki是特殊的初等矩阵称为倍加 矩阵, 其逆矩阵也是倍加矩阵
a
例2—1
i 1,2, n
b
图2—1 计算顺序
分解 A LR ，并解方程组 Ax b ，其中
1 2 3 4
2
A 3 4 12
13
,
b
5
2 10 0 3
10
4
14
9 13
7
解 按计算公式（2-2）和（2-3）
1 2 3 4 2 1 2 3 4 2
A 3 4 12 13
n
aij lik rkj , i 1 ~ n, k 1
注意 L 是单位下三角矩阵，lii 1,
j 1~ n 1
k
i
时
l ik
0,
便知
i 1
a ij
l r ik kj
r ij
k 1
从而
i1
r ij
a ij
l ik
r kj
,
j
i,i
1,
,n
1
k 1
同样，因
R
为上三角阵， k
i
时
r kj
0,
A E
EE
R 1
E E 1
1
E 1 ,
E
R
n1,n
13 12
12
13
n1 n
注意
L
E 1 12
E 1 13
E 1 n 1
,
n
E
是将单位矩阵 E 的第n 1
行倍数加于第 n 行， ，将第一行的倍数加于第 n行、 、
第二行，可见 L是单位下三角矩阵。故
Ab A LR LRy LRLy
A LR, Ly b 这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵 A 分解为
单位下三角矩阵 L 与上三角矩阵 R 的乘积，并且求解议程组
Ly b 的过程。回代过程就是求解上三角形方程组 Rx y
矩阵 L 和 R也可直接算出。事实上，比较等式 A LR 两 边等 i 行、第 j 列元素可知
41
r 4 (3) 2 2, r 12 (3) 3 3
22
23
r 13 (3) (4) 1, y r 5 (3) (2) 1
24
2
25
l (10 2 2) 2 3, l (14 4 2) 2 3;
32
42
r 0 2 3 3 (3) 3, r 3 2 (4) 3 1 2
1
Eki1
1
c1
k
i
1
它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全 为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增
广矩陈 A 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵 R ，即
E E E E E E AR
n1,n
2n
23 1n
13 12
此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然
此应时元公素式，（减去2-2同）行、左（边2-3L）的表元明素，r与ij同或列上l j边i 都R是原的始元矩素阵乘A积；对只 是对 L 的元素，然后需除以 R 的对角元。计算顺序，通常先算 的第 R 行，再算 L 的第 i 列；也可先算 R 的第 i 列，再算L 的第 i 行，i 1,2, , n 如图2—1所示：
Axi bi , i 1, 2, , m
这是因为，一旦完成分解 A LR，只需再解 m 个三角形方程组
Lyi bi , Rxi yi , i 1, 2, , m
解这种三角形方程组每组只需 n2 次乘除法，远比重复使用高斯消
Ly b
Rx y
解下三角方程组 Ly b可以在分解 A LR时同时完成（如例2—1） 也可独立完成。这是因为，把 Ly b 写成分量形式，就是
y 1
ll3211
y 1
y 1
y 2
l y 32 2
y 3
ln1
y 1
ly n2 2
l y y
n ,n1 n1
n
b 1
b 2
b 3
b n
由此可见，
知
n
i1
a ji
l
jk
r ki
l
jk
r ki
l r ji ii
k 1
k 1
2 2
可见
i1
l ji
a ji
l
jk
r ki
r, ii
j i 1,i 2, ,n
k 1
2 3
公式（2-2）和（2-3）就是计算 L 和 R 各元素的计算公式。
实际计算时 L 的对角元l 1不必存放， L 和 R 中 肯定为零的元素也不必存放，因ii 此 L 的 R 可共同存放在增广
矩阵 A 的位置：
r a 11 11
r a 12 12
r a r a
13 13
1n 1n
y b 11
l a 21 21
r a 22 22
r a r a
23 23
2n 2n
y b 22
l a 31 31
l a 32 32
r a r a
33 33
33 33
y b 33
i1
y b ,
1
1
y i
b i
l ik
y k
,
i 2,3, ,n
k 1
用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消
去法完全一样。其中分解
A
LR
需1 n3
3
n
次，解 Ly
b
需
1 2
n2
n
次，解 Rx y 需 1 n2 n 次，共计 1 n3 n2 1 n 次。
2
3
3
三角分解法常用于求解系数矩阵都是 A的若干方程式组
33
34
y r 10 2 (2) 3 (1) 17
3
35
l (9 4 3 3 (3)) 3 2; 43
r 13 4 (4) 3 1 2 2 4 44
y r 7 4 (2) 3 (1) 2 17 16
4
45
从而
1
1 2 3 4
2
L 3 1
5
3
2
3
1
1
2 10 0 3 10 2 3 3 2 17
4
14
9
13
7
4
3
2
4 16
详细计算过程如下（下文不再写出）：
r 1, r 2, r 3, r 4, y r 2
11
12
13
14
1
15
l 3 1 3, l 2 1 2, l 4 1 4;
21
31
, R
2 3
1
,
y
1
2 3 1
3 2
17
4
3 2 1
4
16
回代（解方程组 Rx y ），得
x 1,2,3,4 T
分解 A LR 且 L为单位下三角阵、R 为上三角阵，称为杜里 特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组 Ax b 或L(Rx) b ，
相当于解两个三角形方程组