高考复习随机变量复习的期望和方差
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解:设渔船一次出海的收益为随机变量X, 其分布列如表中所示,则 X 7000 EX=7000×0.6+(-10000)×0.4 P 0.6 =200(元) 出海期望收益200元>不出海收益-1000 所以应该出海.
-10000
0.4
课堂练习
1.随机变量X的分布列为
X P
-1 a
0 b
1 c
。
其中a,b,c成等差，若EX=1/3,则DX=
1 1 1 4 P (1 )(1 ) . 3 3 3 27
（2）易知 ~ B (6, ).
1 1 4 D 6 (1 ) . 3 3 3
1 3
∴ E 6
1 2. 3
例3.某渔船要对下月是否出海作出决策: 如果出海 后遇到好天气可收益7000元, 如果出海后天气变坏 将损失10000元,如果不出海, 无论天气如何都要承 担1000元的损失费.据气象部分预测,下个月好天气 的概率是0.6,天气变坏的概率是0.4,请为该渔船作 为决策,是出海还是不出海？为什么？
(k 0,1,2,3,4) ;
3 4
3
P
0
1
0
2
1
1 5 ( )0 ( )4 C4 6 6
1 5 ( )1 ( ) 3 C4 6 6
1 5 ( )2 ( )2 C4 6 6
2
1 5 ( ) 3 ( )1 C4 6 6
1 5 ( )4 ( )0 C4 6 6
4
源自文库
∴ E ( ) 4
1 2 1 1 5 , D() 4 (1 ) 6 3 6 6 9
引例:甲,乙两厂生产的同类彩电寿命X和Y的分布列 分别为:
X(千时)
P
9
10
11
0.2
Y(千时) P
9
10
11 0.1
0.2 0.6
0.1 0.8
试比较两家厂生产的这种彩电的质量.
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P 则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( x2 EX )2 p2 ( xn EX )2 pn 为随机变量X的方差。 X DX 为随机变量X的标准差。
例1:袋中有2个红球,3个黑球,从袋中随机取3个球, 设其中有X个红球. (1)求红球个数X的分布列及其期望EX和方差DX； (2)若取到每个红球得3分,取到每个黑球得1分， 求得分Y的期望和方差 变式:袋中有2个红球,3个黑球,若有放回地取3次,每次 取一个,求红球出现的次数X的期望和方差.
备用例题
2.3 离散型随机变量的均值 与方差
引例:甲,乙两厂生产的同类彩电寿命X和Y的分布列 分别为:
X(千时)
P
9
10
11
0.2
Y(千时) P
9
10
11 0.1
0.2 0.6
0.1 0.8
试比较两家厂生产的这种彩电的质量.
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P 则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X 的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 （它反映了离散型随机变量取值的平均水平）
2．某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年 后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%， 下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果： 投资成功 192 次 投资失败 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）..
2．某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年 后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%， 下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果： 投资成功 192 次 投资失败 8次
2 Cn 5 解:(1)设“世博会会徽”卡有 n 张,由 2 ,得 n 5 , C9 18 2 C4 1 故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 2 ; C9 6
(2) ~ B(4, ) 的分布列为 P( k ) C 4 ( ) ( )
k k
1 6
1 6
5 6
4 k
则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）..
解:获利的概率是P1 所以X 的分布列是
192 8 0.96, 失败的概率是P2 0.04, 200 200
X
P
5×0.12
0.96
5×(-0.5)
0.04
EX 5 0.12 0.96 5 (0.5) 0.04 0.476
例 2．出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他
1 在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 . 3
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。
解： （1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯， 在第三个交通岗遇到红灯， 所以
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均 程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均 值的平均程度越小，即越集中于均值。
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P 则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( x2 EX )2 p2 ( xn EX )2 pn 为随机变量X的方差。 X DX 为随机变量X的标准差。
备用例题
袋中有 2 个红球,
n 个白球，各球除颜色外均相同．
2 5
已知从袋中摸出 2 个球均为白球的概率为 , (I)求 n ；
(2)从袋中不放回的依次摸出三个球，记 为相邻两次摸出的球 不同色的次数(例如：若取出的球依次为红球、白球、白球， 则 1), 求随机变量 的分布列及其数学期望 E .
备用例题
例 3.某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行 现场抽奖.盒中装有 9 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印 有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则 是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡 即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加 者继续重复进行.活动开始后,一位参加者问:盒中有几张 “海 宝”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽取两张都是“世博会会 5 徽”卡的概率是 , 18 (1)求抽奖者获奖的概率; (2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用 表示获奖的人数, 求 的分布列及数学期望 E ( ) 和方差 D ( ) 的值.
知识小结
备用例题
设集合 P {b,1}, Q {c,1,2}, P Q. 用随机 变量 表示方程 x bx c 0 实根的个数
2
(重根按一个计)，若 b, c {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} (1)求方程 x bx c 0 有实根的概率；
2
(2)求 的分布列和数学期望．
-10000
0.4
课堂练习
1.随机变量X的分布列为
X P
-1 a
0 b
1 c
。
其中a,b,c成等差，若EX=1/3,则DX=
1 1 1 4 P (1 )(1 ) . 3 3 3 27
（2）易知 ~ B (6, ).
1 1 4 D 6 (1 ) . 3 3 3
1 3
∴ E 6
1 2. 3
例3.某渔船要对下月是否出海作出决策: 如果出海 后遇到好天气可收益7000元, 如果出海后天气变坏 将损失10000元,如果不出海, 无论天气如何都要承 担1000元的损失费.据气象部分预测,下个月好天气 的概率是0.6,天气变坏的概率是0.4,请为该渔船作 为决策,是出海还是不出海？为什么？
(k 0,1,2,3,4) ;
3 4
3
P
0
1
0
2
1
1 5 ( )0 ( )4 C4 6 6
1 5 ( )1 ( ) 3 C4 6 6
1 5 ( )2 ( )2 C4 6 6
2
1 5 ( ) 3 ( )1 C4 6 6
1 5 ( )4 ( )0 C4 6 6
4
源自文库
∴ E ( ) 4
1 2 1 1 5 , D() 4 (1 ) 6 3 6 6 9
引例:甲,乙两厂生产的同类彩电寿命X和Y的分布列 分别为:
X(千时)
P
9
10
11
0.2
Y(千时) P
9
10
11 0.1
0.2 0.6
0.1 0.8
试比较两家厂生产的这种彩电的质量.
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P 则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( x2 EX )2 p2 ( xn EX )2 pn 为随机变量X的方差。 X DX 为随机变量X的标准差。
例1:袋中有2个红球,3个黑球,从袋中随机取3个球, 设其中有X个红球. (1)求红球个数X的分布列及其期望EX和方差DX； (2)若取到每个红球得3分,取到每个黑球得1分， 求得分Y的期望和方差 变式:袋中有2个红球,3个黑球,若有放回地取3次,每次 取一个,求红球出现的次数X的期望和方差.
备用例题
2.3 离散型随机变量的均值 与方差
引例:甲,乙两厂生产的同类彩电寿命X和Y的分布列 分别为:
X(千时)
P
9
10
11
0.2
Y(千时) P
9
10
11 0.1
0.2 0.6
0.1 0.8
试比较两家厂生产的这种彩电的质量.
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P 则称 EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X 的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 （它反映了离散型随机变量取值的平均水平）
2．某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年 后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%， 下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果： 投资成功 192 次 投资失败 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）..
2．某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年 后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%， 下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果： 投资成功 192 次 投资失败 8次
2 Cn 5 解:(1)设“世博会会徽”卡有 n 张,由 2 ,得 n 5 , C9 18 2 C4 1 故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 2 ; C9 6
(2) ~ B(4, ) 的分布列为 P( k ) C 4 ( ) ( )
k k
1 6
1 6
5 6
4 k
则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）..
解:获利的概率是P1 所以X 的分布列是
192 8 0.96, 失败的概率是P2 0.04, 200 200
X
P
5×0.12
0.96
5×(-0.5)
0.04
EX 5 0.12 0.96 5 (0.5) 0.04 0.476
例 2．出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他
1 在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 . 3
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。
解： （1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯， 在第三个交通岗遇到红灯， 所以
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均 程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均 值的平均程度越小，即越集中于均值。
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P 则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( x2 EX )2 p2 ( xn EX )2 pn 为随机变量X的方差。 X DX 为随机变量X的标准差。
备用例题
袋中有 2 个红球,
n 个白球，各球除颜色外均相同．
2 5
已知从袋中摸出 2 个球均为白球的概率为 , (I)求 n ；
(2)从袋中不放回的依次摸出三个球，记 为相邻两次摸出的球 不同色的次数(例如：若取出的球依次为红球、白球、白球， 则 1), 求随机变量 的分布列及其数学期望 E .
备用例题
例 3.某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行 现场抽奖.盒中装有 9 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印 有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则 是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡 即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加 者继续重复进行.活动开始后,一位参加者问:盒中有几张 “海 宝”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽取两张都是“世博会会 5 徽”卡的概率是 , 18 (1)求抽奖者获奖的概率; (2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,用 表示获奖的人数, 求 的分布列及数学期望 E ( ) 和方差 D ( ) 的值.
知识小结
备用例题
设集合 P {b,1}, Q {c,1,2}, P Q. 用随机 变量 表示方程 x bx c 0 实根的个数
2
(重根按一个计)，若 b, c {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} (1)求方程 x bx c 0 有实根的概率；
2
(2)求 的分布列和数学期望．