第5章 力的简化
理论力学5-1 力系的主向量和主矩

力 系 简 化 与 平 衡 问 题
力F对点O的矩的解析式: i j k mO F x y z x fx f y fz
mox i moy j moz k
r
O
F A
y
d
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
汇交力系的合力之矩定理 第 5章
M z (F ) M z ( Fx ) F (l a)sin
解法二 第 5章
x l , y l a,
力对轴之矩的解析式
z0
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力 系 简 化 与 平 衡 问 题
mx (F ) yFz zFy F (l a)cos my (F ) zFx xFz Fl cos
E
D
y
R Fi
i 1
n
R 2P( j k )
力对点的矩 第 5章
力矩度量了力对物体作用时的转动效应 力F对点O的矩: mO F r F 大小:力的大小与力臂的乘积 mO F Fd 2 AAOC
方向:垂直于 r 和F 矩心:O点
mo(F) z
MP (rPO ri ) Fi
i 1 n
n
Fi
n
ri Fi rPO Fi
i 1 i 1
A
ri
O
MO rPO R
或者等价地写成为
M p Mo R rOP
rPO
P
例3 第 5章
在边长为a 的正方体顶点O,F,C和E上作用 有四个大小都等于P的力,方向如图所示。 求此力系关于O点的主矩。
第5章 空间任意力系

7
例题
空间任意力系
例题2
解:
由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为:
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m
y= b = 6 m
z= c =-3 m
8
例题
空间任意力系
例题2
则可求得力F 对坐标轴之矩 以及对原点O之矩的大小和方向。
FD 5.8 kN
解方程得 FB 7.777 kN
28
FA 4.423 kN
例题
空间任意力系
例题9
镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz, 径向力Fy,轴向力 Fx的作 用。各力的大小Fz=5 000 N, Fy=1 500 N, Fx=750 N,而刀尖B 的坐标 x = 200 mm,y = 75 mm,z = 0。如果不计刀杆的重量,试求刀杆根部A 的约束 力的各个分量。
M y 0, F2xl2 Fzr Fx (l1 l2 ) 0
Mz 0, Fyr MO 0
由以上方程可以求出所有未知量。
20
例题
空间任意力系
例题6
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D,半径分别是r1=0.4 m , r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是铅垂的,两边的拉力T1=3 400 N,T2=2 000 N,套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o,其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时, 拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
系统受空间任意力系的作用, 可写出六个平衡方程。
Fx 0,
FAx FBx (F3 F4 ) sin 30 0
结构力学第五章力法

12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述,力法计算步骤可归纳如下: 1)确定超静定次数,选取力法基本体系; 2)按照位移条件,列出力法典型方程; 3)画单位弯矩图、荷载弯矩图,用(A)式求系数和自由项; 4)解方程,求多余未知力; 5)叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题: (1)同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
(2)撤除一个支座约束用一个多余未知力代替, 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 (3)内外多余约束都要撤除。
(4)不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次,内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择,但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分,使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁, 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
第五章 静定结构的内力分析

MB
2 2
MC
C
解:1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段:T1= MA=1592N· m BC段:T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时,为保证结构安全正常工
作,要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题,首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力,杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短,这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点:横截面是与杆件长度方向垂直的截面,而轴线 是各横截面形心的连线。细而长,即l>>h,l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后,其几何形状和尺寸一般都要发生改 变,这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的,因此,杆件的变形形式就呈现出多样性,并 且有时比较复杂,但分解来看,变形的基本形式却只 有四种:
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0, 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0,
理论力学 第五章 桁架和摩擦

理想桁架 工程实际中计算桁架受力情况时,常 作如下简化: (1) 构成桁架的杆件都是直杆; (2) 杆件两端都用光滑铰链连接; (3) 所有外力(主动力及支座反力) 都作用在节点上; (4) 杆件自重略去不计。
这种桁架称为理想桁架。
平面桁架各杆内力
1.节点法 2.截面法
汇交力系 平面一般力系
已知平面桁架尺寸、载荷。求:各杆内力。
3 因 0 Fs Fmax ,问题的解有时在一个范围内.
考虑摩擦的平衡问题
(1)判断物体是否平衡,并求滑动摩擦力。
先假设物体处于平衡,根据平衡方程求出物体平衡时需 要的摩擦力以及相应接触面间的正压力。再根据摩擦定 律求出相应于正压力的最大静摩擦力并与之比较。若满
足F≤Fmax这一关系,说明物体接触面能提供足够的摩擦
当仅有滑动趋势时,产生的摩擦力,称为静滑动摩擦力
静滑动摩擦力性质
1)静滑动摩擦力FS 的方向与滑动趋势相反,大小由平衡
条件确定;
0≤FS ≤Fmax (物体平衡范围)
2)只有当物体处于将动未动的平衡临界状态时,静滑动摩
擦力FS 达到最大值,即 FS =Fmax=f FN
f — 静滑动摩擦系数;
FN— 法向反力(一般也由平衡条件决定)。
摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
FRA ---全约束力
物体处于临界平衡状态时,全约束 力和法线间的夹角---摩擦角
tan f
Fmax FN
fs FN FN
fs
全约束力和法线间的夹角的正切等于静 滑动摩擦系数.
摩擦锥
0 f
2 自锁现象
摩擦自锁的实例
1.粗糙斜面。当 a<m时,
不论W多大,物块A均保持 平衡--摩擦自锁。
理论力学第5章(点的运动)

(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体,变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知: OC AC BC l , MC a , t。 求:运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明:“动点的速度在坐标轴上的投影,等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则: Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
材料力学第五章

FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力?
§5-3 剪力和弯矩
例题 解: 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程,并画 出剪力图和弯矩图。 解:1.确定约束力 M A=0, M B=0
FS
Fb / l
FAy=Fb/l
FBy=Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2.写出剪力和弯矩方程 =Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 =Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 = Fa / l a x2 l CB M x2 =Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
第五章 杆件的内力与内力图

Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (a < x≤ l ) 3°画 FQy (x)图和 Mz (x)图。
四、剪力、弯矩和荷载集度之间的关系
y FP
q(x) MZ(x) q(x) MZ(x)+d MZ(x) C FQY(x)+d FQY(x) dx
x
x dx
FQY(x)
FRA FQy
(KN)
FRB
60 20 x = 3.6m
Mz6 = 72 ×12 - 160 - 20×10 ×5 = 0
88
当FQY(x)=0时, Mz (x)有极值。
Mz x = 3.6m处, FQY(x)=0 。(KNm)
16 113.6 144
80
即
Mz7 = 72 ×5.6 - 160 - 20×3.6 ×3.6 / 2 = 113.6 KNm
MZ —— 弯矩
A FRA
x
m
C
MZ
m FQY
规 定:
∑FP
FQY 下剪力正, 反之为负
∑M
MZ
MZ
∑M
MZ:
上凹下凸弯矩正, 反之为负
a A
FP1
m m
FP2 B
由∑Fyi=0, FRA- FP1 - FQY =0
x
FRA y A
x
FRB FP1
m
C
得 FQY = FRA- FP1
x = 2m 时 , FN (x) = - 1KN。
3KN
A 2m 3
B 2KN/ m C 2m 2m
D 1KN
FN (KN) 1
规律:没有力作用的杆段,轴力为常数;
分布荷载为常数的杆段,轴力线性变化;
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第5章 力系的简化——思考题——解答5-1 将图(a)所示平面结构中作用于B 处的力F平移到D 处,并按力的平移定理加上相应的附加力偶M = F·a ,如图(b)所示,试问它们对结构的作用效应是否相同?为什么? 5-1 解答它们对结构的作用效应是不同的。
因为杆OA 与杆AB 不是同一刚体,而是组成了刚体系统,在简化前力F 作用于杆AB 上,而简化后力F作用于杆OA 上,虽然按力的平移定理施加了相应的附加力偶,但也是不等效简化。
5-2 如图所示,半径为r 的两个均质圆盘均处于平衡状态,试问:(1) 图(a)中能否说力偶M 与力F作用效果相反?图(b)中能否说力1F 与力2F 作用效果相反?为什么?5-2 解答:(1) 对于图(a),不能说“力偶M 与力F作用效果相反”,因为力偶和一个力都是力系的最简形式,因而力偶和一个力不能相互平衡,因此不能说力偶和一个力的思考题5-1图 (a)思考题5-1图(b)思考题5-2图 (a)思考题5-2图 (b)2作用效果相同或相反。
(2) 对于图(b),不能说“力1F 和力2F作用效果相反”,均质圆盘处于平衡状态,所以21F F,即两个力的大小相等、方向相同,但两个力的作用点不同,因此不能说“力1F 和力2F 作用效果相反”。
应该说“力1F 对点O 的矩和力2F 对点O 的矩的大小相等、转向相反”。
5-3 试问力系的主矢和对某点的主矩与力系的合力和合力偶的概念有什么区别?有什么联系?5-3 解答:待解答5-4 某空间力系对不共线的三点的主矩均为零,能否说该力系一定是平衡力系?为什么?5-4 解答:某空间力系对不共线的三点的主矩均为零,不能判断该力系一定平衡。
因为空间平衡力系有六个独立的平衡方程,对不共线的三点的主矩为零只满足了三个独立的平衡方程,因此不能就此判断该空间力系是平衡力系。
5-5 图示力系,已知F 1 = F 2 = F 3 = F ,沿边长为a 的正方体的棱边作用,方向如图所示,试问该力系向点O 简化的结果是什么?5-5 解答:力系的主矢为321R F F F F k F j F i F )(k j i F力系对点O 的主矩为i a F k a F j a F M O321)(k j i Fa 力系的第二不变量为 )()(R k j i Fa k j i F M F Oa F 23 0 则力系向点O 简化的结果为右手力螺旋。
力螺旋参数(力系的第三不变量)为 2R R F M F p O 2R R F M F O22)3(3F aF a 右手力螺旋中力的大小和方向与)(R k j i F F相同,力的作用线过坐标原点O ;右手力螺旋中心轴方程为O z O y O x z z Fy y F x x F R R R z F y F x F z y x 111 z y x5-6 设Oxyz 为一个直角坐标系,若某空间力系满足条件0 y F ,0 zF,0 x M ,0 y M ,则该力系简化的最简形式可能是什么?5-6 解答:力系的主矢为 k F j F i F F z y xR i F x 0力系对点O 的主矩为 k M j M i M M z y x Ok M z 0 力系的第二不变量为 )()(R k M i F M F z x O0 可见该力系简化的最简形式是合力。
思考题5-5图5-7 设Oxyz 为一个直角坐标系,某空间平行力系各力平行于z 轴,已知0 zF,0 x M ,则该力系简化的最简形式可能是什么?5-7 解答:力系的主矢为 k F j F i F F z y xR 0力系对点O 的主矩为 k M j M i M M z y x Oj M y 0 可见该力系简化的最简形式是合力偶,其合力偶矩矢量与y 轴平行。
5-8 图示作用于正方体上各空间力系均由两个大小相等的力组成,试问图(a)~图(j)所示力系简化的最终结果是什么?你发现什么规律?思考题5-8图 (a)思考题5-8图(b) 思考题5-8图(c)思考题5-8图 (d)思考题5-8图(e)思考题5-8图 (f)思考题5-8图 (g)思考题5-8图 (h)思考题5-8图 (i)思考题5-8图 (j)5-8 解答:令:F F F 21,正立方体的边长为a 。
(a)力系的主矢为 0R F,力系对任意点的主矩为 0 M,可见,该力系为平衡力系(二力平衡)。
(b)建立图示直角坐标系Oxyz , 力系的主矢为 j F F F F 221R ,力系对点O 的主矩为k a F i a F M O21 )(k i Fa , 力系的第二不变量为 )]([2R k i Fa j F M F O0 , 可见,该力系简化的最简形式为合力。
下面求该力系的合力作用线方程:假设该力系的合力作用线经过点B ,则2R R F M F O 2)2()]([)2(F k i Fa j F)(21k i a,点B 的坐标为)21,0,21(a a B , 合力作用线方程为Bz B y B x z z Fy y F x x F R R Ra z y F a x 21002210 思考题5-8图 (a)a z a x 2121(c)建立图示直角坐标系Oxyz ,力系的主矢为)(21R k i F i F k F F F F, 力系对点O 的主矩为k a F j a F i a F M O211 )(k j i Fa , 力系的第二不变量为 )]([)]([R k j i Fa k i F M F O0 , 可见,该力系简化的最简形式为合力。
下面求该力系的合力作用线方程:假设该力系的合力作用线经过点B ,则2RR F M F O 22)()()]([)]([F F k j i Fa k i F)2(21k j i a, 点B 的坐标为)21,,21(a a a B ,合力作用线方程为 Bz B y B x z z Fy y F x x F R R Ra z F a y a x F 21021a y az x另一种简便的方法: 建立图示直角坐标系Oxyz , 力系的主矢为)(21R k i F i F k F F F F,思考题5-8图 (c)思考题5-8图 (c)力系对点O 的主矩为 0 O M, 可见,该力系简化的最简形式为合力。
合力作用线方程为 z F y F x F z y x R R R z Fy x F 00y z x (d)建立图示直角坐标系Oxyz ,力系的主矢为 21R F F F)2222()2222(k F i F j F i F)2(22k j i F 力系对点O 的主矩为 0 O M, 可见,该力系简化的最简形式为合力。
合力作用线方程为 z F y F x F z y x R R R zFy F x F 2 y x z y 2(e)建立图示直角坐标系Oxyz ,力系的主矢为 21R F F F)2222()(k F j F i F)2(22k j i F , 力系对点O 的主矩为 0 O M, 可见,该力系简化的最简形式为合力。
思考题5-8图 (d)R思考题5-8图 (e)合力作用线方程为z F y F x F z y x R R R zF y F xF2222zy yx 2 (f)因为21F F ,且21//F F,反向,所以 力系的主矢为 021R F F F,建立图示直角坐标系Axyz , 力系对任意点的主矩为2F M )(22)(k j F k j i a)(22k j Fa 可见,该力系简化的最简形式为合力偶,该合力偶作用于对角面ABCD 上,其合力偶矢量为)(22k j Fa M,如图所示。
(g)因为21F F ,且21//F F ,反向,所以 力系的主矢为 021R F F F,建立图示直角坐标系Axyz , 力系对任意点的主矩为2F M )()(k F k j i a)(j i Fa可见,该力系简化的最简形式为合力偶,该合力偶作用于对角面ABCD 上,其合力偶矢量为)(j i Fa M,如图所示。
思考题5-8图 (f)思考题5-8图 (g)(h)建立图示直角坐标Oxyz ,力系的主矢为 21R F F F)(22)(22k i F k i F k F 2 , 力系对点O 的主矩为2F OA M O )(22)(k i F j i a )(22k j i Fa , 力系的第二不变量为 )(222R k j i Fa k F M F Oa F 2 0 , 可见,该力系简化的最简形式为右手力螺旋。
下面求该力系的力螺旋的中心轴方程:力系的力螺旋参数(第三不变量)为 a F a F F M F p O 21)2(222R R , 假设该力系的合力作用线经过点B ,则2RR F M F O2)2()(222F k j i Fa k F)(21j i a , 点B 的坐标为)0,21,21(a a B ,该力系的力螺旋的中心轴方程为Bz B y B x z z Fy y F x x F R R R z F a y a x 2210210ay a x 2121 (i)思考题5-8图 (h)建立图示直角坐标系Oxyz ,力系的主矢为 21R F F Fk F k j F )(22])21([22k j F, 力系对点O 的主矩为 2F M O)()(k F k i aj Fa ,力系的第二不变量为 j Fa k j F M F O])21([22R a F 222 0 , 可见,该力系简化的最简形式为右手力螺旋。
下面求该力系的力螺旋的中心轴方程: 力系的力螺旋参数(第三不变量)为a F F aF F M F p O 221)]21(22[)22(222222RR, 假设该力系的合力作用线经过点B ,则2R R F MF OB O 2)22(])21([22FjFa k j F i a 21 , 点B 的坐标为)0,0,21(a B ,该力系的力螺旋的中心轴方程为Bz B y B x z z Fy y F x x F R R R z Fy F a x )21(2222210y z a x )21(21 (j)建立图示直角坐标Oxyz ,力系的主矢为 21R F F F思考题5-8图 (i)思考题5-8图 (j))(22)(22k j F j i F )(22k i F ,力系对点O 的主矩为 1F OA M O)(22)(j i F k j i a )()(22j i k j i Fa)(22j i k Fa )(22j i Fa ,力系的第二不变量为 )(22)(22R j i Fa k i F M F Oa F 2210 , 可见,该力系简化的最简形式为左手力螺旋。