九年级数学证明题

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八年级数学培优训练题

补形法的应用

一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分繁难,若通过适当的“补形”来进行,即添置适当的辅助线,将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形,则能使原问题的本质得到充分的显示,通过对新图形的分析,使原问题顺利获解。这种方法,我们称之为补形法,它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下,以供参考。

一、补成三角形 1.补成三角形

1.如图1,已知E 为梯形ABCD 的腰CD 的中点; 证明:△ABE 的面积等于梯形ABCD 面积的一半。

分析:过一顶点和一腰中点作直线,交底的延长线于一点,构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证:

2.补成等腰三角形

2 如图2.已知∠A =90°,AB =AC ,∠1=∠2,CE ⊥BD ,求证:BD =2CE

分析:因为角是轴对称图形,角平分线是对称轴,故根据对称性作出辅助线,不难发现CF =2CE ,再证BD =CF 即可。

3.补成直角三角形

3.如图3,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B +∠C =90°,F 、G 分别是AD 、BC 的中点,若BC =18,AD =8,求FG 的长。

分析:从∠B 、∠C 互余,考虑将它们变为直角三角形的角,故延长BA 、CD ,要求FG ,需求PF 、PG 。

4.补成等边三角形

4.图4,△ABC 是等边三角形,延长BC 至D ,延长BA 至E ,使AE =BD ,连结CE 、ED 。 证明:EC =ED

分析:要证明EC =ED ,通常要证∠ECD =∠EDC ,但难以实现。这样可采用补形法即延长BD 到F ,使BF =BE ,连结EF 。

二、补成特殊的四边形 1.补成平行四边形

5.如图5,四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点,并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上,求证:EF 和GH 互相平分。

分析:因为平行四边形的对角线互相平分,故要证结论,需考虑四边形GEHF 是平行四边形。

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图3

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2

2.补成矩形

6.图6,四边形ABCD 中,∠A =60°,∠B =∠D =90°,AB =200m ,CD =100m ,求AD 、BC 的长。 分析:矩形具有许多特殊的性质,巧妙地构造矩形,可使问题转化为解直角三角形,于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

3.补成菱形

7.如图7,凸五边形ABCDE 中,∠A=∠B =120°,EA =AB =BC =2,CD =DE =4,求其面积 分析:延长EA 、CB 交于P ,根据题意易证四边形PCDE 为菱形。 4.补成正方形

8.如图8,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,∠BAC =45°,BD =3,DC =2。求△ABC 的面积。 分析:本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难,如果从题设∠BAC =45°,AD ⊥BC 出发,可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息,那么问题立即可以获解。

5.补成梯形 9.如图9,已知:

G 是△ABC 中BC 边上的中线的中点,L 是△ABC 外的一条直线,自A 、B 、

C 、G 向L 作垂线,垂足分别为A 1、B 1、C 1、G 1。求证:GG 1=41

(2AA 1+BB 1+CC 1)。

分析:本题从已知条件可知,中点多、垂线多特点,联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当,故过D 作DD 1⊥L 于D 1,则DD 1既是梯形BB 1C 1C 的中位线,又是梯形DD 1A 1A 的一条底边,因而,可想到运用梯形中位线定理突破,使要证的结论明显地显示出来,从而使问题快速获证。

三、练习

1、在△ABC 中,AC=BC ,D 是AC 上一点,且AE 垂直BD 的延长线于E ,又AE=1

2

BD ,求证:BE 平分∠ABC 。

2、如图,已知:在△ABC 内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P 、Q 分别在BC 、CA 上,并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP

3、已知:∠BAC=90°,AB=AC ,AD=DC ,AE ⊥BD ,求证:∠ADB=∠CDE

4、设正三角形ABC 的边长为2,M 是AB 边上的中点,P 是BC 边上的任意一点,PA+PM 的最大值和最小值分别记为S 和,求:S 2

-t 2

的值。

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图7

A

B

Q

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C

P

A

B

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图8

图6

图9

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