高二测试卷(三)

高二数学（三）

入学测试卷

学生姓名：_________

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测评教师：_________

测评成绩：_________

高二测试卷

一、选择题：

1．直线30x y a ++=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ ） A .30

B . 60

C . 120

D . 150

2. 已知点(1,2,11)A -，(4,2,3)B ，(6,1,4)C -，则△ABC 的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) （A ）①和② （B ）②和③

（C ）③和④ （D ）①和④

4．一个各条棱都相等的四面体，其外接球半径R ，则此四面体的棱长为（ ）

A.

43R B. 72R C. 263R D.83

9

R 5．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；

②△ACD 是等边三角形；

③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°． 其中错误．．的结论是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 6．圆心为1,32C ??

-

???

的圆与直线:230l x y +-=交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ?=uu u v uuu v

，则圆C 的方程为（ ）

A ．22

15()(3)2

2x y -+-=

B ．22

15()(3)22x y -++= C ．22

125()(3)2

4x y ++-= D ．22

125()(3)24

x y +++=

二、填空题：

7．过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线方程是____________ .

8. 由动点Ｐ向圆x 2

+ y 2

=1引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B ，∠APB=60°,则动点Ｐ的轨迹方程为 .

9．已知圆()()2

2

:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，下面四个命题：

①.对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 相切 ②.对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点

③.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切 ④.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切 其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号） 三、解答题：

10.已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线

210x y --=.

（Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .

A

B C

E

F

D

S 11. 如图：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；

（Ⅱ）若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC .

12.已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=.

（Ⅰ）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；

（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C 二、填空题

7．250x y +-= 8．x 2

+y 2

=4 9．②④

10．解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=??

++=? 解得2,

2.x y =-??=?

由于点P 的坐标是（2-，2）.

则所求直线l 与直线210x y --=垂直， 可设直线l 的方程为 20x y C ++=.

把点P 的坐标代入得 ()2220C ?-++= ，即2C =. 所求直线l 的方程为 220x y ++=

（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积1

1212

S =??=. 11. 证明：（Ⅰ）∵EF 是SAC ?的中位线，

∴EF ∥AC .

又∵EF ?平面ABC ，AC ?平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵SA SC =,AD DC =，

∴SD ⊥AC .

∵BA BC =,AD DC =， ∴BD ⊥AC .

又∵SD ?平面SBD ，BD ?平面SBD ，SD DB D = ， ∴AC ⊥平面SBD ， 又∵AC ?平面ABC ， ∴平面SBD ⊥平面ABC

12.解：（Ⅰ）设直线l 的斜率为k （k 存在）则方程为0(2)y k x -=-.

又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，

由

232211

k k k +-=+， 解得3

4

k =-.

所以直线方程为3

(2)4

y x =-

-， 即 3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件

（Ⅱ）由于5CP =，而弦心距22(

)52

MN d r =-=，

所以d =5CP =.

所以P 为MN 的中点.

故以MN 为直径的圆Q 的方程为22(2)4x y -+=. （Ⅲ）把直线10ax y --=即1y ax =+．代入圆C 的方程，

消去y ，整理得

22(1)6(1)90a x a x ++-+=．

由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点， 故2236(1)36(1)0a a ?=--+>， 即20a ->，解得0a <． 则实数a 的取值范围是(,0)-∞． 设符合条件的实数a 存在，

由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-，而1

AB PC

k a k ==-， 所以12

a =． 由于

1

(, 0)2

?-∞， 故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ．