近世代数试题库

近世代数一、单项选择题 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ⋂=（ ）AC 2A C 3A C 4A 、对于,,bH aH ∀有φ=⋂bH aH 或bH aH = B 、 以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a→10a ??a ∈A 则 f是从A 到B 的（ ）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（ ）A 、有限B 、无限C 、为零D 、为1答案：A7A C 8A C 9A C 答案：B10、偶数环的单位元个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个答案：A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（ ）A B C D 13 在Z A C 14那么群 ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）A 、0和x -；B 、1和0；C 、k 和k x 2-；D 、k -和)2(k x +-。

答案：D15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）A 、11--a bc ；B 、11--a c ；C 、11--bc a ；D 、ca b 1-。

答案：A16、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果6，那么G 的阶=G （ ）A 、6；B 、24；C 、10；D 、12。

答案：B17、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A 、f 的同态核是1G 的不变子群；B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C 、D 、18A C 19A C 20、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ）A 、()()()F I I E I E :::=；B 、()()()I E F I E F :::=；C 、()()()I F F E F I :::=；D 、()()()F I IEF E :::=答案：D二、填空题1、集合A 的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。

答案：传递性2、设A,B 都为有限集，且,,n B m A ==则=⨯B A （ ）.答：mn3．设R 是集合A ＝｛平面上所有直线｝上的关系：121l Rl l ⇔∥2l 或21l l = （A l l ∈21,），则R （ ）等价关系。

答：是456、7）。

89答：有理数域10、设集合A=｛1,2｝,则A ×A=（ ）,2A ＝（ ）。

答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝11、设f 是A 的一个变换，A S ⊆，则()[]S f f1-（ ）()[]S f f 1-。

答：⊆12、设21,R R 是集合A 上的等价关系，21R R （ ）等价关系。

答：是13、若群G 中每一个元素x 都适合方程e x n =，则G 是（ ）群。

答：交换群14、n 阶群G 是循环群的充要条件是（ ）。

答：G 中存在n 阶的元素15、设1,G G ,,1n G m G ==1G G 条件是（1617181920答：交换环21、如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a （ ）。

答：622.剩余类加群Z 12有 （ ）个生成元.答：623、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是（ ）答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数）24、6阶循环群有（）个子群.答：326、模8的剩余类环Z的子环有（）个.8答：627、设集合{}1,0,1-B，则有==A；{}2,1=B（）。

⨯A2829）。

313233）。

34I是（）。

答：一个最大理想35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（）。

答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）。

答：E 的每一个元都是F 上的一个代数元三、判断题1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ × ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ × ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ √ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ √ ）5678） 9、）10()p 是1、b a ,对称性：若a 与b 同在一个班级,显然b 与a 同在一个班级传递性：若a 与b 同在一个班级, b 与c 同在一个班级,显然a 与c 同在一个班级.2、在R 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？（等式右边指的是普通数的运算）答：因为对于R c b a ∈∀,,，有()()c ab b a c b a ++=()()c ab b a c ab b a ++++++=abc bc ac c ab b a ++++++=，ab b a b a ++=根据实数的加法与乘法的运算率得()()c b a c b a =。

又a b ba a b ab b a b a =++=++=。

所以，R 的代数运算 既满足结合率，又满足交换率。

3、设集合{}{},,,,,,A a b c d B c d e ==，求,,,()()A B A B A B A B B A ---。

4()()()()()({,123,23,13,12,13==S H H ==)12(，5 若S 6,,,,g g f g h h g f g h 。

答案：7、设H 是G 的不变子群，则G a ∈∀，有H aHa =-1。

答：因H 是G 的不变子群，故对于G a ∈∀，有Ha aH =，于是()()()H He aa H a Ha a aH aHa =====----1111。

8、设0是环R 的零元，则对于R a ∈∀，000=⋅=⋅a a 。

答：因为R a ∈，有a a a a ⋅+⋅=⋅+=⋅00)00(0，由于R 关于加法作成群，即R 对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去a ⋅0，得00=⋅a 。

同理可得00=⋅a 。

9、如果半群G 有一个左单位元e ，并且对于G a ∈∀，存在左逆元G a ∈-1，使得e a a =-1，则G 是一个群。

'a 10当a111I +答：R r I I y x ∈∀+∈∀,,21，则有2121,y y y x x x +=+=，),;,(222111I y x I y x ∈∈，从而212211)()(I I y x y x y x +∈-+-=-；212121)(I I rx rx x x r rx +∈+=+=；212121)(I I r x r x r x x xr +∈+=+=。

所以，21I I +是R 的一个理想。

12、设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3==S G ,)}12(),1{(=H ,则H 是G 的一个子群，写出G 关于H 的所有左陪集的分解.答案：H H H ==)12()1(,H H )123()}123(),13{()13(==,H H )132()}132(),23{()23(==,13又114 15、设S 是有单位元e 的半群，S a ∈，若a 有左逆元1a ，又有右逆元2a ，则a 是可逆元，且21a a =是a 的唯一的逆元。

答：证明由条件知，,,21e aa e a a ==则有()(),11212122a e a aa a a a a ea a =====若c b ,都是a 的逆元，同理有()()c ec c ba ac b be b =====故a 有唯一的逆元。

16、设R 是环，则R b a ∈∀,，有)()()(ab b a b a -=-=-。

答：由00)()(=⋅=+-=+-b b a a ab b a ，得b a ab )()(-=-，同理，由00)()(=⋅=+-=+-a b b a ab b a ，得)()(b a ab -=-。

17、设H 是G 的子群，若对于G a ∈∀，H h ∈∀，有H aha ∈-1，则H 是G 的不变子群。

答：任取定G a ∈，对于aH ah ∈∀，由于H aha ∈-1，则存在H h ∈1，使得aha ha ∀a -118在G 中bax =和(a a -即a G 中的元素e ，使得a ea =。

下证e 是G 的左单位元。

G b a ∈∀,，方程b ax =和在G 中有解c ，即b ac =，于是()()b ac c ea ac e eb ====，则e 是G 的一个左单位元。

又G a ∈∀，方程e ya =在G 中有解'a ，即e a a ='，得'a 是a 的一个左逆元。

从而得G 中的每一个元素a 都有左逆元。

故G 是群。

19、证明R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法右消去律成立。

答：设环R 没有左零因子，则也无右左零因子。

于是由ca ba =，得a cb ca ba )(-=-，当0≠a 时，由于R 没有右零因子，得0=-c b ，即c b =，R 中关于乘法右消去律成立。

反之，若在R 中关于乘法右消去律成立，如果0≠a ，有0=ba ，即a ab ⋅==⋅00，右消去a 得0=b ，即R 中非零元均不是右零因子，故R 为无零因子。

20、设R 为交换环，R a ∈{}0=∈=ax R x I a a I R 即a （2a I ra ∈。

21” a ,)是一个群。

的一个二元运算显然，设是G=(2)()a a b c a b c ++-=。

G 中结合法又2 ，易知,)的单位元。

，直接验算得 ,)是一个群。

22G 是非Abel 证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。

但要求元素和它的逆（幂）不等。

由于G 是非Abel 群，必有阶数大于2的元素a ，因而a ≠a -1，取b= a -1，则ab=ba 。

23、设H ≤G ，a,b ∈G ，证明以下命题等价：（1）a -1b ∈H,(2)b ∈aH,(3)aH=bH,(4)aH ∩bH ≠?。

证本题主要熟悉陪集性质。

用循环证法。

（1）=>（2）：a-1b∈H => a-1b=h => b=ah => b∈aH。