不等式第8课时
第8课时简单的线性规划问题
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学习要求
1.了解线性规划相关概念，掌握简单线
性规划求解方法.
2.培养学生的数学应用意识和数形结合
的能力．
【课堂互动】
自学评价
１．线性条件与线性约束条件见书
２．目标函数与线性目标函数：
见书
３．可行域：
见书
４．线性规划：
见书
【精典范例】
例1．在约束条件
410 4320
x y
x y
x
y
ì+
??
??
+
?
í?
3
??
?3
??
下,
求P=2x+y的最大值与最小值. 【解】
见书．
变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20
的最大值与最小值
变式２．在例１条件下，求P=2x-y的最
变式3．在例１条件下，求P=4x+3y的最
解：变式１：设
l：0
2=
+y
x，平移
l
27.5, Ｐ最小值为2
变式２：设
l：0
2=
-y
x，平移
l类
得Ｐ最大值为５, Ｐ最小值为
3
40
-．
变式３：设
l：0
3
4=
+y
x，平移
l类
同例１，得Ｐ最大值为２０，Ｐ最小值为０．
思维点拔：
1.在线性约束条件下求目标函数
z=ax+by+c的最大值或最小值的求解步
骤：
(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0；
(3) 平移l0使其过最优解对应点；(4)解相
关方程组，求出最优解从而求出目标函数
最值．
2.线性规划问题主要借助于图形求解，故
听课随笔
作图要尽可能地准确，尤其对于l 0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置． ３. 最优解有时会有无数个．
追踪训练一
1. 已知2
22
x y x y ì￡???￡í??+ ??? , 则目标函数
Z=x+2y 的最大值是_____６______ .
２．已知12
24a b a b ì-? ??í?? ??, 则4a －2b
取值范围是_［－１，10］
３．给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a 值为 ( B )
A.41
B. 53
C. 4
D. 35
例 2.设变量x , y 满足条件???????>>∈≤+≤+0
,0,11
410
23y x Z y x
y x y x , 求S=5x+4y 的最大值.
略解:因可行域内只有3个整点(1,1), (2,1), (1,2)，显然当x=2,y=1时，Ｓ的最大值为14．
思维点拔： 求整点最优解的方法： (1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值． (2)作网格线，确定整点，然后设作l 0让其平移确定最优整点解，再求最值． 追踪训练二 设变量x , y 满足条件23827,x y x y x y N ì+ ???+ í?????? , 求S=3x+2y 的最值. 略解:作平面区域后，再作网格线，定出整点，然后设作l 0：3x+2y=0,平移l 0使其过点（１，２）时，Ｓ的最大值为14． 平移l 0使其过点（０，０）时，Ｓ的最小值为０．
听课随笔 【师生互动】
不等式试卷及答案
2 1 新课标人教版必修5高中数学第3章不等式单元检测试卷 1设b a ，d c ，则下列不等式中一定成立的是 2. A. a c b d B “a b 0”是“ ab ac bd C 2 ,2 a b ” 2 B ?必要而不充分条件 C.充要条件 D 3.不等式 ax b 的解集不可能是 A. B .R C 4.不等式 2 ax bx 2 1 0的解集是(一， 1 ), 2 3 A .— 14 B .14 C . —— 5.不等式 x | x | x 的解集是 A . {x| 0 x 1} B C . {x| 0 x 1或x 1} D 6.若1 1 0,则下列结论不正确的是 a b A. a 2 b 2 B . ab b 2 C b a 7.若 f (x) 3x 2 x 1 ,g(x) 2x 2 x 1 , A. f (x) g(x) B .f (x) g(x) C . &卜列各式屮最小值是 2的是 A.充分而不必要条件 a b C 则a 10 .{x| {x| (b a _X 2_5 vx 2 4 F 列各组不等式中，同解的一组是 A . \ x 2 0 与 x A. x + 上 B y x ?既不充分也不必要条件 b 的值等于 10 . 11 . .10 C. log 1 (3x 如果I x A. {a |a 右a,b 1 } 0,x 1} .|a| |b| |a b| 1| 8} 2) |x R ，则 0 与 3x 2 9| B. a 对任意实数 {a|a 8} f(x) g(x) D .随x 值变化而变化 ( ) tan x + cot x D _ x - x . 2 2 ( ) (x 1)(x 2) 与 x 2 x 1 戸1与 x 2 1 Y x 1 x 1 则f (x)与g(x)的大小关系为 ( D ( ) x 总成立，则a 的取值范围是 C. {a|a 8} D. 1 1 —与 ----- 的大小关系是 b a b {a|a 8}
【最新】2013年中考数学总复习学案：第10课时 一元一次不等式(组)
第10课时 一元一次不等式（组） 一、选择题 1.已知不等式：①1x >，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ） A ．①与② B ．②与③ C ．③与④ D ．①与④ 2.若0a b <<，则下列式子：①12a b +<+；②1a b >；③a b ab +<；④11a b <中，正确 的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ( ) A ．21x x ≥?? <-? B ．21 x x ≤?? >-? C ． 21 x x >?? ≤-? D ．21 x x 的解集是 ． 8. 不等式组3010 x x -? ?， 有解，则实数a 的取值范围是 ． k 1x ＋b 第3题图
高中数学《基本不等式》优质课教学设计
《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过
1 第1课时 基本不等式
2．2基本不等式第1课时基本不等式 教材考点学习目标核心素养 基本不等式 理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理 利用基本不等式求最 值 能够运用基本不等式求函数或代数式的 最值 数学运算 问题导学 预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 1．重要不等式与基本不等式 ■微思考1 (1)不等式a2＋b2≥2ab和 a＋b 2≥ab成立的条件相同吗？ 提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与 a＋b 2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4） 2≥ （－3）×（－4）是不成立的． 2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2 4． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2 通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a b ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1 x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
不等式第10课时
3.4基本不等式的证明(1) 学习要求 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不 等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 【课堂互动】 自学评价 １．算术平均数： ２．几何平均数 ３．设a ≥0,b ≥0则2 a b +与为 ４．基本不等式的证明方法： 【精典范例】 例1．.设a 、b 为正数, 求证明： 2 a b +3 点评： １．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法 ２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中 a=b 时成立． ３．把不等式 2a b +3 (a ≥0,b ≥0) 4.由本题可知，两正数的算术平均数不当两数相等时两者相5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦． 例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+ 1 2a 3 (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac . (3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (111 1)(1)(1)8x y z ---> 点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 2 2 2(,)a b ab a b R +澄 (2) 22 (,)2 a b ab a b R +Ｎ (3) ,)a b a b R ++澄 (4) 2 ( )(,)2 a b ab a b R ++Ｎ 2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将 学习札记
基本不等式教案第一课时
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+
人教版高中数学教案：第6章：不等式,教案,课时第 (8)
第八教时 教材：不等式证明三（分析法） 目的：要求学生学会用分析法证明不等式。 过程： 一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。 二、 例一、求证：5273<+ 证： ∵052,073>>+ 综合法： 只需证明：22)52()73(<+ ∵21 < 25 展开得： 2021210<+ ∴521< 即： 10212< ∴10212< ∴ 521< ∴2021210<+ 即： 21 < 25（显然成立） ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ ∴5273<+ 例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：3 1332 122)()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+ 即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+ 只需证：xy y x 32 22> + ∵xy xy y x 3 2 222>≥+成立 ∴ 3 133 2 12 2)()(y x y x +>+ 证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+ 2333366)(2y x y x y x +=++> ∵x > 0，y > 0， ∴3 1332 122)()(y x y x +>+ 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c )2 = 0 展开得：2 222c b a ca bc ab ++-=++ ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c )2 即证：0222≥+++++ca bc ab c b a 即：0])()()[(2 1 222≥+++++a c c b b a （显然） ∴原式成立 证三：∵a + b + c = 0 ∴- c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b )c = ab - (a + b )2 = -a 2 -b 2 -ab = 0]4 3)2[(2 2≤+ +-b b a 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指 横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为π2l ，截面积为2 2?? ? ??ππl ， 周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为24?? ? ??l
不等式第11课时
第11课时基本不等式的证明(2) 1. 理解最值定理的使用条件： 一正二定三相等． 2. 运用基本不等式求解函数最值问题． 【课堂互动】 自学评价 １．最值定理： 若x 、y 都是正数， (1)如果积xy 是定值P , 那么当且仅当x=y 时, 和x+y . (2)如果和x+y 是定值S , 那么当且仅当 x=y 时, 积xy 有最大值 2 4 1S ． ２．最值定理中隐含三个条件： 一正二定 三相等 ． 【精典范例】 例1．(1).已知函数y=x+16 2 x +(x>－2), 求此函数的最小值. (2)已知x<45, 求y=4x －1+1 45 x -的最 大值; (3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy 的最大值; (4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求 11 x y +的最小值. 答案：（1）y 的最小值为6（x=2）． （２）y 的最大值为２(x=1)． （３）xy 的最大值为 720(x=2,y=7 10 )． （4） 11 x y +的最小值为223+ (2 2 1,12- =-= y x )． 例2. 错在哪里? （１）求2(x ∈R)的最小值. 解∵2 =2 ? ∴ y 的最小值为2 . .（２）已知x , y ∈R + 且x+４y=1，求 11 x y + 的最小值． 听课随笔
法一：由１＝xy y x 424≥+得 41≥xy 所以 11x y +82 ≥≥xy ． 所以原式最小值为８． 法二：由11x y +xy 2≥ （当且仅当x=y 时等号成立）．于是有?? ?=+=1 4y x y x 得 x=y=0.2．所以 11 x y +的最小值为5+5=10. 思维点拔： １．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立． ２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。 追踪训练一 1. 求函数y=4x 2+ 2 9 x 的最小值； 2. 已知x<0 , 求y=2 1x x +的最大值； 3. 已知x , y ∈R +, 且 x 1+y 9 =1 , 求x+y 的最小值; 4. 已知x>-2 , 求y= 2 3 2 x x -++的最大 值； 5. 已知x>1 ,0 第2章方程与不等式 【精学】 考点一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 若＜，则+＜； 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若＞，＞0则＞（或＞）； 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若＞，＜0则＜（或＜） 考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 3、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知） 的解集是，即“小小取小”； 的解集是，即“大大取大”； 的解集是，即“大小小大中间找”； 的解集是空集，即“大大小小取不了” 【巧练】 题型一不等式的性质 例1 (2016四川乐山)下列说法不一定成立的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C． 【解析】 第5课时一元二次不等式应用题 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题 2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法 【课堂互动】 精典范例 例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗? 当长、宽分别为 多少米时, 所围成矩形的面积最大? 【解】 见书． 例２. 某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x , 生产x件所需成本为C=500+30x元. 问: 该厂日产量多大时, 日获利不少于1300元？ 见书． 例3：汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹 车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是 分析事故的一个重要因素. 在一个限速为40km / h的弯道上, 甲、 乙两辆汽车相向而行, 发现情况不对, 同时 刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车 的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略 超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系: s甲= 0.1x+0.01x2, s乙=0.05x+0.005x2, 问甲、乙 两车有无超速现象? 【解】 见书． 听课随笔 思维点拔： 解应用题的步骤： 1．审题 2．解题（设，列，解，答） 3．回顾（变量范围与实际情况要一致） 追踪训练 1．制作一个高为20cm 的长方体容器，其底面矩形的长比宽多10cm ，并且容器的容积不得少于40003cm ，则底面矩形的宽至少应为 10 ㎝． ２．某工厂的三年产值的年增长率情况依次为：第一年至少为a%,第二年至少为b%,第三年至少为c%,则这三年的年平均增长率 ３．某渔业分司年初用98万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用12万元, 以后每年都增加4万元, 每年捕鱼收益50万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后, 有两种处理方案: ①年平均获利最大时, 以26万元出售该渔船; ②总纯收入获利最大时, 以8万元出售该渔船, 问哪种方案最合算? (提供公式: a>0 , x>0时, x+x a ≥2a (当且仅当x=x a 时取等号) 略解:（１）设第n 年开始获利,则可得到：04920<+-n n ,解后知第３年开始获利． （２）方案一：７年净获利110元． 方案二：10年净获利110元． 故方案一最合算． 【选修延伸】 分段函数模型 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x －21x 2 (万元) (0≤x ≤5). 其中x 是产品售出的数量(单位: 百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大? (3)年产量为多少时, 企业才不亏本? 略解：（１）设利润为y ，则 ?????>-≤≤-+-=)5(412)50(5.075.45.02x x x x x y （２）当且仅当419=x 时，y 的最大值为32345万元． （３）由0>y ，解得 485625.2175.4≤≤-x 即481.0≤≤x 答：略． 思维点拔： 不要忽视对x>5的讨论，故建立的是一个分段函数的模型。 听课随笔 【师生互动】 第10课时 不等式及不等式组 1．(2019·凉山)不等式1－x ≥x －1的解集是( ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．x ≤1 D ．x ≤－1 2．(2019·梧州)不等式组? ???? 2x ＋6>0，2－x ≥0的解集在数轴上表示为( ) 3．(2019·百色)不等式组? ???? 12－2x <20， 3x －6≤0的解集是( ) A ．－4 6．(2018·天门)若关于x 的一元一次不等式组? ?? 6－3()x ＋1 课题:§3.4 2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课 教学目标： 1、知识与技能目标：（12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：2 a b +≤ 求最值的前提条件。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？ 引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正 方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab += （2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （3）推理证明：作差法 二、讲授新课 1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条 件？ 2 a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法 3.(1)探究:(课本P98) 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 引导学生发现： 2 a b +CD,得到 2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。 (2),a b 的几何平均数，称2 a b +为正数,a b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解 例1:若0>x ，求1y x x =+ 的最小值。 变1：若0x >，求123y x x =+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b =+的最小值。 变3：若3x >，求13 y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧：（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧 五、作业 自编的练习 课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是： v 40 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.评价设计 新课标人教版必修5高中数学 第3章 不等式单元检测试卷 1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ 2． “0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．不等式b ax >的解集不可能是 （ ） A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022 >++bx ax 的解集是)3 1 ,21(- ，则b a -的值等于 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．不等式||x x x <的解集是 （ ） A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若 01 1<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2 +-=x x x f ，12)(2 -+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 （ ） A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 （ ） A ．y x ＋x y B ．4 522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是 （ ） A ．02>x 与0>x B ． 01) 2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ． 112≤--x x 与112 ≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 （ ） A. }8|{a a C. }8|{≥a a D. }8|{≤a a 11．若+ ∈R b a ,，则 b a 11+与b a +1 的大小关系是 . 基本不等式（第一课时） 授课教师：浙江省温州市第十四高级中学陈芝飞 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养------数学抽象与直观想象。 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养----逻辑推理论与数学运算。 3．通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。 4．借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式 2b a a b + ≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程． 难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值． 三、教学过程： 1．由形及数，发现新知 师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标） 问题1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？ 师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？ 这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看 上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002年8月20—28在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的． 第3课时 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法 . 2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力． 【课堂互动】 自学评价 １．线性条件与线性约束条件 ２．目标函数与线性目标函数： ３．可行域： ４．线性规划： 【精典范例】 例1．在约束条件410432000 x y x y x y ì+ ????+ ?í?3???3?? 下, 求P=2x+y 的最大值与最小值. 【解】 变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值 变式２．在例１条件下，求P=2x-y 的最 求P=4x+3y 的最 约束条件下求目标函数的最大值或最小值的求解步(2)作出直线l 0:ax+by=0；0使其过最优解对应点；(4)解相求出最优解从而求出目标函数 最值． 2.线性规划问题主要借助于图形求解，故作图要尽可能地准确，尤其对于l 0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置． ３. 最优解有时会有无数个． 追踪训练一 1. 已知222x y x y ì￡???￡í??+ ??? , 则目标函数Z=x+2y 的最大值是___________ . ２．已知1224a b a b ì-? ??í?? ?? , 则4a －2b 取值范围是__________ ３．给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a 值为 ( ) A.41 B. 53 C. 4 D. 35 学习札记 例 2.设变量x , y 满足条件???????>>∈≤+≤+0 ,0,11 410 23y x Z y x y x y x , 求S=5x+4y 的最大值. 思维点拔： 求整点最优解的方法： (1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值． (2)作网格线，确定整点，然后设作l 0让其平移确定最优整点解，再求最值． 追踪训练二 设变量x , y 满足条件238 27,x y x y x y N ì+ ?? ?+ í?????? , 求S=3x+2y 的最值. 学习札记 不等式与不等式组练习题及答案 1 ．a?m＜a?n D．3个 3 ） 5） A．≥1 B．＜5 C．?1≤x＜ D．x≤?1或x＜5 二、填空题 7．已知x的1与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为。 8．某饮料瓶上有这样的字样：Eatable Date 1months. 如果用x 表示Eatable Date，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为。 9．当3x?5的值大于5x +的值。 10．阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校， 如果用x表示他的速度，则x的取值范围为。 三、做一做 11．、解不等式 1?x1?2x?，并把它的解集表示在数轴上。7 ?5x?1?312 13 1470之间，你能求出这个两位数 五、实际应用 1．“x的一半与2的差不大于?1”所对应的不等式是．．不等号填空：若a a5 ? b5 ； 1a 1b ；2a?1 b?1． 3．当a时，a?1大于2．．直接写出下列不等式的解集： ①x?2?4；②?5x?10 ；③ ?5．当x时，代数式2x?5的值不大于零． 6．若x１，的正整数解是．不等式?x?3?0的最大整数解是． 9．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g?10g，表明了这罐八宝粥的净含量x的范围是． 10．不等式?x>a?10的解集为x ?x??1?x?2 ?x?a ? 11．若a>b>c，则不等式组?x?b的解集是． ?x?c? 2x?a?1的解集是－１ ?x?2b?3 13．一罐饮料净重约为３００g，罐上注有“蛋白质含量?0.6”其中蛋白质的含量为 14．若不等式组?? x?a?x?3 的解集为x>３，则a的取值范围是． 二、选择题 15．不等式2x?6?0的解集在数轴上表示正确的是 C． D． A． B． 16．不等式6x?8>3x?8的解集为 A．x> 12 B ．x0D．x 12 17．不等式x?2 A ．1个 B ．2个C．个 D．4个18．下图所表示的不等式组的解集为 -2 A ．x?3B．?2?x? C． x?? D．?2?x? 三、解答题 19．5x?15?4x?120． 2x?13 ? 3x?46 x?21?4x??x?5?1?2x?x?? 第2课时 学习要求 1.理解二元一次不等式组表示平面区 域的含义，并能准确地作出二元一次 不等式组表示的平面区域，还能处理 一些逆向问题． 2.学会解决一些简单的整点问题．【课堂互动】 自学评价 １．不等式组表示的平面区域 . ２．整点：. 【精典范例】 例1．画出下列不等式组所表示的区域 (1) 21 24 y x x y ì? ?? í? +>?? (2) 4380 x y x y ì> ?? ? > í? ?+-0 听课随笔 2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示 ( ) A.1220y x y ì???í?-+ ?? B.1220 y x y ì???í?-+ ?? C.02240x y x y ì￡??? ?í??-+ ??? D.02240 x y x y ì￡??? ?í??-+ ??? 例3利用平面区域求不等式组 230236 035150x y x y x y ì-->??? +-<í??--< ??? 的整数解. 思维点拔： 方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x 的范围来确定整数x(4)再通过x 的整数值来定y 的整数值． 方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证． 追踪训练二 在坐标平面上, 不等式组 13||1y x y x ì???í??+??所表示的平面区域内整数点个数为 ( ) A.１ B. ２ C. ３ D. ４ x 听课随笔 【师生互动】中考数学精学巧练备考秘籍第2章方程与不等式第10课时不等式与不等式组
不等式第5课时
2020中考数学大一轮复习训练10：不等式及不等式组(含答案)
高中数学基本不等式(第一课时)教案
《不等关系与不等式》第一课时参考教案
不等式试卷及答案
基本不等式第一课时
不等式第8课时
不等式与不等式组练习题及答案
不等式第7课时