《公因数和公倍数》PPT课件
公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。
只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。
最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
公因数与公倍数(2)
（1）每组数的最大公因数是？ 1 （2）那他们的最小公倍数呢？
想想下面每组两个数是什么关系？
2和9 11和10 6和7
互质数
（1）每组数的最大公因数是？
1
（2）那他们的最小公倍数呢？两数的积
想想下面每组两个数是什么关系？
21和7 5和25 24和6
从五月一日起
我每４天 休息一天
小明妈妈
小明爸爸
我每６天 休息一天
小明
当爸爸妈妈一起休息时，全家 就可以到公园玩。在这一个月里， 我几号能和爸爸妈妈去公园玩呢？
从五月一日起
我工作４ 天就休息 一天
小明妈妈
小明爸爸
我工作６天就 休息一天
小明
当爸爸妈妈一起休息时，全家 就可以到公园玩。在这一个月里， 我几号能和爸爸妈妈去公园玩呢？
7和11 （7，11）= 1 【7，11】= 77 4和9
（4，9）= 1 【4，9】= 36
如果两个数是互质数关系，它们的最大公因
数是1，最小公倍数就是这两个数的积。
2 18 3 9 3
18 ＝ 2×3×3
2 12 12 ＝ 2×2×3 2 6 2×3＝6 3 18和12的最大公因数是：6
2 18 3 9 3
找出下面每组数的最大公因数和最 小公倍数，你发现了什么？
3和6
（3，6）= 3 【3，6】= 6
4和12 （4，12）= 4 【4，12】= 12
7和35 （7，35）= 7 【7，35】= 35
如果两个数是倍数关系，较小数就是它们的 最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。
找出下面每组数的最大公因数和最 小公倍数，你发现了什么？ 5和6 （5，6）= 1 【5，6】= 30
苏教版五年级下册数学《公倍数和最小公倍数》公倍数和公因数说课教学复习课件
6 12 24 18 36 9 27
30 42 48 54… 45 63
…
…
6和9的公倍数
返回
因数与倍数 公倍数和最小公倍数
同步练习
课堂练习
1. 在2的倍数上画“△”，在5的倍数上画“○”。
2和5的公倍数有 10、20、30… ， 最小公倍数是 10 。
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
2.照样子画出4的倍数和6的倍数，再填空。
方法二：
方法三： 先写出27 的因数，再看27 的因数中哪些是18 的因数。从中找出最大的。 27 的因数：1，3，9，27
方法四： 先写出18 的因数：1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 。从大到小 依次看18 的因数是不是27 的因数，9 是27 的因
练一练：找出 16 和 24 的最大公因数。
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
探究新知
用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺右 边的两个正方形。
例 11
可以正好铺满哪个正方形？
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
6÷3=2 6÷2=3
8÷3=2……2 8÷2=4
可以正好铺满边 不能正好铺满边 长6厘米的正方形。 长8厘米的正方形。
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
4和6的公倍数有 12、24… ， 最小公倍数是 12 。
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
3.先填一填，再说出6和8的最小公倍数。
50以内6的倍数 50以内8的倍数 50以内6的倍数 50以内8的倍数
6 12 18 24 30 36 42 48
8 16 24 32 40 48
6 12 18 24 8 16 30 36 42 48 32 40
第五讲 最大公因数与最小公倍数
第五讲最大公因数与最小公倍数学法探讨大家知道我们在研究因数和倍数时，0是一个特殊的数；O不是任何自然数的因数(除数不能为O)，但0是任何非0自然数的倍数(任何非0自然数的O倍等于0)在本讲中我们只讨论正整数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
为了书写简便，a、b两数的最大公因数记为(a，b)。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，为了书写简便，a、b两数的最小公倍数记为[a，b]。
最大公因数与最小公倍数有以下重要性质：1．两个数的公因数都是它们的最大公因数的因数；2．两个数的公倍数都是它们的最小公倍数的倍数；3．两个数的积，等于它们的最大公因数与最小公倍数的积；即a×b=(a，b)×[a，b]4．两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商为互质数。
关于“最大公因数和最小公倍数”你还有什么需要补充？请你写在下面：例题选讲【例题1】育才小学拿出一块长方体木料，长180厘米，宽144厘米，高108厘米，请王师傅把它锯成棱长是整厘米数，大小相同的正方体木块，木块的体积要最大，木料又不能剩余，算一算，可以锯成多少块？【分析】要把长方体木料锯成棱长是整厘米数，大小相同的正方体木块，则正方体的棱长应是长方体的长、宽、高的公因数，又要求每小块正方体的体积最大，因此锯成的正方体的棱长必须是长方体的长、宽、高的最大公因数，由此便可得出问题的解答。
【解答】【练习5-1】把一张长60厘米、宽48厘米的长方形纸，裁成若干面积相等边长为整厘米数的小正方形而没有剩余，小正方形的面积最大是多少？【例题2】有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？(第二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题) 【分析】根据题意，这个班的人数应是6的倍数，又是9的倍数，从而是6和9的公倍数，故只要在6和9的公倍数中寻找符合条件的解，便能得到问题的解答。
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定理
定理1 (a1,a2,…,an)=(|a1|,|a2|,…,|an|)。 定理1表明，涉及到最大公因数问题，只
要对非负整数进行讨论就行了。
定 理 2 若 整 数 a,b,c 不 全 为 零 ， 且 a=bq+c ， 则 (a,b)=(b,c)。
rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1 rn = ax+by
定理4 若整数a,b不全为零，则存在x,y∈Z,使得 ax+by=(a,b)。
相关定理和推论
推 论 (a,b)=1 的 充 要 条 件 是 有 x,y∈Z, 使 得 ax+by=1
定理5 若d|a,d|b,则d|(a,b)。 定理6 若m∈N，则(ma,mb)=m(a,b)。 定理7 若(a,c)=1，b∈Z,b、c中至少有一个不为
例题
例2 设(a,b)=1,求证(ab,a+b)=1。 证：设（a,a+b）=d,由d|a,d|a+b知d|b,
又由于(a,b)=1，于是d=1； 同理(b,a+b)=1 所以(ab,a+b)=1。
例 3 已 知 f(x) 是 非 零 整 系 数 多 项 式 ， 6|f(2),6|f(3)，求证6|f(6)。 证 明 ： 设 ai∈Z,i=0,1,2,…,n,an≠0 ， 且 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0.
… … ……
rn-2=rn-1qn+rn, 0<rn<rn-1 rn-1=rnqn+1+rn+1, rn+1=0 这是因为每进行一次带余除法，余数至 少减小1，而b是有限的，所以至多进行b次 带余除法，就可以得到一个余数为零的等式。 这种方法叫做辗转相除法，也叫做欧几里得 (Euclid)除法。
用短除法求最大公因数和最小公倍数市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
试一试
用短除法求出12和20最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20最大公因数是2×2=4。 能够表示为（12，20）=4。
第10页
用短除法求出12和20最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20最小公倍数是2×2×3×5=60。 能够表示为[12，20]=60。
5 52×（23×3×2=60 ）。
2、A=2×3×5，B=2×3×7，C=3×5×5， A、B和C最小公倍数是
（3×22×55×7×5=1050 ）。
第21页
求出下面两组数最小公倍数。
14、28和35
20、45和15
63、27和36
38、57和76
81、72和18
33、22和121
第22页
第6页
例题
相同点
求两个数 最大公因数
用短除形式分解质 因数，直到两个商 是互质数为止．
求两个数 最小公倍数
同左
不一样 把全部除数乘起来． 点
把全部除 数和商乘 起来．
第7页
两个数最大公因数能够用小括号（ ）表示。 如：12和18最大公因数是6，能 够表示为（12，18）=6。
第8页
两个数最小公倍数能够用[ ]表示。 12和18最小公倍数是36，能 够表示为[12，18]=36。
用短除法
第1页
求12和18最大公因数。来自12因数18因数
12 3 4 6 12
12 3 6 9 18
第2页
12因数
12 3 4 6 12
18因数
12 3 6 6 9 18
是它们最大公因数
第3页
求12和18最大公因数。
《公倍数和最小公倍数》公倍数和公因数精品ppt课件2
全课小结
今天这节课你有什么收获？什么是 两个数的公倍数和最小公倍数？怎 样找两个数的最小公倍数？你还有 什么疑问？
苏教版五年级数学下册
公倍数和最小公倍数
教学目标
1.在具体的操作活动中，认识公倍数和最小公倍 数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们 的公倍数。 2.学会用列举的方法找到10以内两个数的公倍数 和最小公倍数，并能在解决问题的过程中主动探 索简洁的方法，进行有条理的思考。 3.在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展 与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的 体验。
用小长方形铺下面的正方 2cm 形，正好可以铺满吗？
3cm
6÷2 = 3
6cm
6÷3 = 2
6cm
用小长方形铺下面的正方 2cm 形，正好可以铺满吗？
3cm
8cm
8÷2 = 4
8cm
8÷3=2…2
用这个小长方形还能铺满边
2cm 长是多少厘米的正方形，在
3cm
小组里交流。
能正好铺满边长12厘米、18厘米、 24厘米……的正方形。
12、你们要学习思考，然后再来写作。——布瓦罗 13、在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。——华罗庚
14、许多年轻人在学习音乐时学会了爱。——莱杰 15、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基 16、我们一定要给自己提出这样的任务：第一，学习，第二是学习，第三还是学习。——列宁 17、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。——毛泽东
最大公因数和最小公倍数的应用题课件
如果两个整数a和b互质，则它们的乘 积ab等于它们的最小公倍数。
02
最大公因数的应用
求两个数的最大公因数
总结词
求两个数的最大公因数是最大公因数应用的基础，通 过因式分解、辗转相除法等方法可以求得。
详细描述
最大公因数是两个或多个整数共有的最大的正整数因子 。求两个数的最大公因数有多种方法，如质因数分解法 、辗转相除法等。质因数分解法是将两个数分别进行质 因数分解，找出它们共有的质因数，然后将这些质因数 相乘得到最大公因数。辗转相除法则是用较大的数除以 较小的数，再用较小的数除以得到的余数，如此反复， 直到余数为0，除数即为最大公因数。
举例
最大公因数是10的两个整数是20 和30，因为10是20和30的最大的 共同因子。
最小公倍数的定义
最小公倍数
两个或多个整数的最小的公倍数。
举例
最小公倍数是60的两个整数是15和20，因为60是15和20的最小的公倍数。
最大公因数和最小公倍数的关系
互质关系
如果两个整数互质（最大公因数为1 ），则它们的乘积等于它们的最小公 倍数。
03
最小公倍数的应用
求两个数的最小公倍数
总结词
求两个数的最小公倍数，需要先找到这两个数的最大公因数，然后用两数之积除以最大 公因数。
详细描述
最小公倍数是两个或多个整数共有的最小的倍数。求两个数的最小公倍数有多种方法， 其中一种是先求出这两个数的最大公因数，然后用两数之积除以最大公因数，得到的结 果就是它们的最小公倍数。这种方法基于数学定理：两数的乘积等于它们的最大公因数
利用最大公因数解决实际问题
总结词
最大公因数在实际问题中有着广泛的应 用，如约分、分数化简、求解方程等。