格与布尔代数试题
离散数学答案 第十章 格和布尔代数
第十章格和布尔代数习题10.1 1．解 ⑴不是，因为L 中的元素对{2,3}没有最小上界；⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a ,b ，都有最小上界和最大下界；⑶是，与⑵同理；⑷不是，因为L 中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。
2．证明 ⑴因为，a ≤b,所以，a ∨b=b ；又因为，b ≤c,所以，b ∧c=b 。
故a ∨b=b ∧c ；⑵因为，a ≤b ≤c,所以，a ∧b=a,b ∧c=b,而a ∨b=b ，因此，(a ∧b )∨(b ∧c )=b ；又a ∨b=b,b ∨c=c,而b ∧c=b, 因此，(a ∨b )∧(b ∨c )=b 。
即(a ∧b)∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(b ∨c)。
习题10.21．解 由图1知：＜S 1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e ∨f=g ∉S 1;＜S 2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e ∧f=c ∉S 2;＜S 3,≤＞是＜L,≤＞的子格.2．解 S 24的包含5个元素的子格有如下的8个：S 1={1,3,6,12,24}, S 2={1,2,6,12,24}, S 3={1,2,4,12,24}, S 4={1,2,4,8,24},S 5={1,2,3,6,12}, S 6={1,2,4,6,12}, S 7={2,4,6,12,24}, S 7={2,4,8,12,24}.3．证明 因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是<L ，∨,∧>的子集，即是<L ，∨,∧>的子代数，故是子格。
4．证明 由(10-4)有，a ∧b ≤a ,由已知a ≤c ,由偏序关系的传递性有，a ∧b ≤c ；同理 a ∧b ≤d 。
由(10-5)和以上两式有，a ∧b ≤c ∧d .5．证明 因为由(10-4)有，a ∧b ≤a ，因此，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨(c ∧d ) ①由分配不等式有，a ∨(c ∧d )≤(a ∨c )∧(a ∨d ) ②再由由(10-4)有，(a ∨c )∧(a ∨d ) ≤a ∨c ③由偏序关系的传递性和①②③则有，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨c同理 (a ∧b )∨(c ∧d )≤b ∨d因此有， (a ∧b )∨(c ∧d )≤(a ∨c ) ∧(b ∨d )。
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
山东大学离散数学题库及答案(计本)
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y ，x))∧ ∃z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?() (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
09-格与布尔代数-8.2
第三节 子布尔代数、积布尔代数、布尔代数同态
定义：给定布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>，≠T B
2015年6月6日星期六
若T对 、* 和 ’ 是封闭的，且：0, 1 T
称<T, , *, ’ , 0, 1>是<B, , *, ’ , 0, 1>的子布尔代 数 显然：<{0, 1}, , *, ’ , 0, 1>和<B, , *, ’ , 0, 1> 都是<B, , *, ’ , 0, 1>的(平凡)子布尔代数
则：<f(B),∨,∧, , f(0), f(1)>是布尔代数 （证明参见教材P170 —— 利用布尔代数的定义证明）
布尔代数同态
结论：
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若 f 是从布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>到格<S,∨,∧>的 格同态映射，且f是满射的，
则：<S,∨,∧>是布尔代数
并且可以用基本公式来定义布尔代数
布尔代数的定义 从这4个定律，可以推出所有布尔代数的公式
有兴趣的同学可以参阅 R. L. 古德斯坦因 著的
对于a, b B ， 有 定义：设<B, , *, ’ >是一个代数结构，其中：
2015年6月6日星期六
和 * 是B上的二元运算，’ 是B上的一元运算，且 0, 1 B
例9.15：设Bn是由0和1形成的n元组集合，且
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a = <a1, a2, …, an>，b = <b1, b2, …, bn> 0n = <0, 0, …, 0> ， 1n = <1, 1, …, 1> 对任意 a, b Bn，定义： a b = < a1∨b1, a2∨b2 , …, an∨bn > a * b = < a1∧b1, a2∧b2 , …, an∧bn > a’ = < a1, a2, …, an> < Bn,∨,∧, , F, T>是布尔代数（开关代数）
离散数学第五章格与布尔代数2
§2.布尔代数
•布尔代数的定义 •布尔代数的性质 •布尔代数中的宏运算 •有限布尔代数的原子表示 •布尔函数与布尔表达式 •布尔环与布尔代数
2021/5/22
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离散数学
§2. 布尔代数
定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,≼, , , , 0, 1) 称为布尔代数。
(S, ,, , , 0, 1) 是布尔代数
这里：S={0,1}，00, 01, 11,其运算表如下：
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3
x
离散数学
x y xy 00 0 01 0 10 0
11 1
xy 0 1 1
1
xx
01 10
表2
通过变元代换，显见表2与表1是完全相同的。即，令
h:S 2X , h (0)= , h (1)= X (这里：X={a})
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离散数学
[证].布尔代数中的对偶原理实质上来源于两个二元运 算 和 所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律、 分配律的对称性，半序关系≼和其逆关系≽的对称性； 最小元0和最大元1的对称性；以及任何元素x与其补元 x的对称性。
注：•布尔代数(B, ≽ , , , ,1 , 0)称为原布尔代数 (B , ≼ , , , , 0 , 1)的对偶布尔代数。实际上，它们互为对偶；
P Q = (P1 Q1, P2 Q2, , Pn Qn)
P = (P1 , P2 , , Pn) 即n元命题代数的序关系、运算、最小元和最大元的定 义都归结为一元命题代数(ℙ, ≼ , , , , F, T) 。
仿例5我们易证：
(ℙn, ≼ , , , , F, T)≅ (2X, ,, , , , X ) 这里：X={a1, a2, , an}，即 n元命题代数与n元集合代数是同构的。
(优选)第篇格与布尔代数
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的 a,bA, 都有：
ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
(1)先证 ab (a∧b)=a
由ab和a a ，根据定理15-1.2得 a a∧b
又根据a∧b的定义， 有
a∧b a
由二元关系的反对称性得 ：
（优选）第篇格与布尔代数
通常用a∨b 表示{a,b}的上确界,用a∧b 表示{a， b}的下确界,∨和∧分别称为保联(join)和保交(meet) 运算。由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是A 中确定 的成员，因此 ∨,∧均为A上的运算。
例3 设S={a,b} ， (S) ={, {a},{b},{a,b}} 由格< (S), >诱导的代数系统为< (S),∨,∧> 。 其中∨为集合的并运算和∧为集合的交运算。
a∧b = a
(2) 再证 (a∧b)=a ab
设a∧b=a，则a =a∧bb ，这就证明了
(a∧b)=a ab
综合(1)和(2)得： ab(a∧b)
定理15-1.7 设<A, >是一个格,那么，对于任意的
a,b,cA, 都有： aca∨(b∧c) (a∨b)∧c
证明思路： (1)先证 ac a∨(b∧c) (a∨b)∧c 根据定理15-1.6有 ac (a∨c)=c 根据定理15-1.5有a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
可以证明，若<A,>是格，则<A,R>也是格。 称R是的逆关系。记为。
格对偶原理可以叙述为：设P是对任意格都真的命题， 如果在命题P中把换成 ，∨换成∧，∧换成∨，就
地六章-格和布尔代数(1)
定义6.7 集合 L 中的偏序关系 R 与其逆关系 R1，称为互 相对偶的两个关系。 对任意 x, y∈L，xR1y yRx。 6.1.1 节例 6.4 中的 关系即为蕴涵关系 的逆关系。 因此，对任意 P, Q∈S， (P Q) (Q P)
【例6.7】设 n 是一个正整数，Sn 是 n 的所有因数的集合， 两个正整数的最大公因数 ，最小公倍数 可看作是 Sn 上两个代数运算，于是，(Sn, , ) 是一个格。
定理6.1 关于格的两种定义（以对应一个代数格；任意一个代 数格也都可以对应一个偏序格。
定义中没有要求 , 运算满足等幂律，实际上由 , 满足吸收律即可推出它们一定满足等幂律。任取 L 中元素
a，由 , 满足吸收律知
a(aa)＝a
a(aa)＝a
故
aa＝a(a(aa))
aa＝a(a(aa))
又由 , 满足吸收律知，上面两式的等式右端都等于 a。
因此，
aa＝a
aa＝a
即定义 6.3 中的 , 运算亦满足等幂律。
【例6.4】设 S 是所有的命题集合，定义 “” 关系如下： A B 当且仅当 B 蕴涵 A
则 (S, ) 是一个格。对 A, B∈S， sup{A, B}＝A∧B∈S inf{A, B}＝A∨B∈S
定义6.2 若格 L 的一个子集 M≠Ф 对于运算 和 封闭， 则 M 称作子格。
例如：a 是格 L 的一个固定元素，则使 X≥a(或 X≤a) 的 L 中元素 X 的集合，显然是一个子格。若 a≥b，则使 a≥X≥b 的 L 中元素 X 的集合是一个子格，这样的子格 叫作一个闭区间(商)，记作 M(a,b)。
例如，S6＝{1, 2, 3, 6}， S24＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}。
6.3格与布尔代数
格的性质(续)
6)、保序性：如果b≤c，那么a∧b≤a∧c a ∨ b≤a∨c 7)、分配不等式: •
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c); a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c); 8)、模不等式： a≤b a∨(b∧c) ≤b∧(a∨c)
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证明： (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
先证： (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) ∵ a ≤ a∨(b∨c) b ≤ b∨c ≤a∨(b∨c) ∴a∨b≤ a∨(b∨c) 又：c ≤ a∨(b∨c) 从而， (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) 同理有 a∨(b∨c) ≤(a∨b)∨c ， 由偏序的反传递性知，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
5的补元是2和3。
例：在<S24,|> 中
24 12 6 4 2 1 S24 8
最大元为24,最小元为1, 1和24互为补元, 3和8互为补元，
3
2,4,6,12均不存在补元。
例：
1 在如上图有界格中0和1互为补 a b c d 元而 a,b,c,d的补元均有三个， 譬如，a的补元是b，c，d。 0 1 a c 0 b 在下图中的有界格中，0和1互 为补元， 但a,b,c均不存在补元。
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代数格
定义10：设L是一个非空集合，∧，∨是L中的两 个二元运算，两个运算还满足a,b,c∈L (1)交换律 (2)结合律 a∧b=b∧a，a∨b=b∨a； (a∧b)∧c= a∧(b∧c)， (a∨b)∨c=a∨ (b∨c); (3)吸收律 a∧(b∨c)= a, a∨(b∧c)= a
例1：
记作(L,≤,1,0)或记(L,∧,0,0,1)
例:(Sn,|)是格,则其是有界格,其中最大元是n,最小元 是1,因x∈Sn,1|x,x|n。
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1、N是自然数集， 是小于等于关系,
则N,是(C)。
(A)有界格
(B)
有补格
(C)分配格(D)
2、在有界格中，若只有一个元素有补元,
有补分配格
则补元(
C)
(A)必唯
(B)
不唯
(C)不一定唯
(D)
可能唯
3、
F面是一些偏序集的哈斯图，判断哪一个为格(
C)
d
c
e
e
e
cDLeabharlann ACBD)
(A)分配格
(B)有补格
(C)布尔格
(D)有界格
6设L,是一条链，其中L
-3，贝U L,(C)
(A)不是格
(B)是有补格
5、只含有有限个元素的格称为有限格,
有限格必是(
7、 设A为一个集合，P(A),为有补格，P(A)中每个元素的补元(A)
(A)存在且唯一(B)不存在
(C)存在但不唯一(D)可能存在
8、设 代 是一个有界格，若它也是有补格，只要满足(B)
(A)每个元素都有一个补元(B)每个元素都至少有一个补元