第9讲 平面直角坐标系与函数
第9讲平面直角坐标系与函数
第9讲平面直角坐标系与函数平面直角坐标系与函数是数学中的基础概念，也是建立数学模型的重要工具。
掌握了这些概念，我们就能更好地理解和描述平面上的各种数学现象，为解决实际问题提供更准确的方法和思路。
平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴(x轴和y轴)组成的。
我们可以把x轴看作水平方向的数轴，y轴看作垂直方向的数轴。
平面上的任意一个点都可以用有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
这样，我们可以通过坐标轴上的刻度来确定点在平面上的位置。
函数是研究数学关系的一种工具，它可以描述一个数与另一个数之间的依赖关系。
在平面直角坐标系中，我们可以用函数来描述一条曲线上的点的位置。
具体地，函数f(x)表示自变量x与因变量y之间的关系，即y=f(x)。
在函数的图象上，每个x对应着一个唯一的y值，也就是说，平面上的每个点都只属于一个函数的图象。
函数的图象在平面上的表示方式可以有很多种：点列法、显式函数法、隐式函数法、参数方程法等。
在点列法中，我们可以通过计算一系列的点，然后将这些点用直线或曲线连接起来，得到函数的图象。
显式函数法是指通过解方程y=f(x)来得到函数的图象，也就是将y表示为x的函数。
隐式函数法是指通过解方程F(x,y)=0来得到函数的图象，也就是将x和y同时视为自变量。
参数方程法是指通过用参数表示x和y，而不是直接用x和y表示函数的图象，常用于描述曲线。
函数的性质与变化是函数研究的重点内容。
函数的定义域是指所有自变量能够使函数有意义的取值范围，值域是指因变量能够取到的值的范围。
函数的奇偶性是指函数在坐标系上的对称性，即f(x)=f(-x)为偶函数，f(x)=-f(-x)为奇函数。
函数的单调性是指函数在一些区间上的增减性，可以通过函数的导数来判断。
函数的最值是指函数在一些区间上的最大值和最小值。
函数的周期性是指函数在一些区间上具有重复性。
平面直角坐标系与函数在实际问题中的应用非常广泛。
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
平面直角坐标系综合讲义
平面直角坐标系综合讲义一、【知识点拨】1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应；2.点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，• 到y 轴距离为│a │， 到原点距离为22a b +；3.各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ）， P 在第一象限⇔a>0且b>0， P 在第二象限⇔a<0，b>0， P 在第三象限⇔a<0，b<0， P 在第四象限⇔a>0，b<0；4.点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=b ； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ； 5.点A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔x 1=－x 2，y 1=y 2； A ，B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2； AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2；AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）． 6点的平移：在平面直角坐标系中，教师寄语：对那些有自信心而不介意于暂时成败的人，没有所谓失败！对怀着百折不挠的坚定意志的人，没有所谓失败！对别人放手，而他仍然坚持；别人后退，而他仍然前冲的人，没有所谓失败！对每次跌倒，而立刻站起来；每次坠地，反会像皮球一样跳得更高的人，没有所谓失败！——雨果将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。
二、【例题评析】例1（2011贵州贵阳，10分）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．【运用】如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；例2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO 的内心的坐标．三【综合能力训练】1.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），•点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，•求点C的坐标．2.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，•点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（s）；①当t=5时，求出点P的坐标；②若△DAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t•的取值范围）．3.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，•OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB 边上的D点，求E点的坐标；（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G•∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在图的条件下，设T（x，y）：探求：y与x之间的函数关系式。
八年级秋季班第9讲：平面直角坐标系1-教师版
平面直角坐标系是七年级第15章的内容，本节主要学习了平面直角坐标系的有关概念，点与坐标的对应关系，坐标系作为一个平台，利用数形结合的思想来研究数学问题．知识点1：点的坐标的概念与应用1、在平面内取一点O，过点O画两条互相垂直的数轴，且使它们以点O为公共原点，这样，就在平面内建立了一个直角坐标系．一般地，水平放置的数轴，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作x轴），铅直放置的数轴，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作y轴）．横轴、纵轴统称坐标轴，点O叫做坐标原点．2、在平面直角坐标系中，点P所对应的有序实数对（a，b）称为点P的坐标，记作P（a，b），其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点O的坐标为（0，0），在直角坐标平面内，所有的点与所有的有序实数对是一一对应的．平面直角坐标系内容分析知识结构模块一：点的坐标的概念与应用知识精讲【例1】 （1）数轴上的所有点与实数的全体之间有_______的关系；（2）直角坐标平面上的所有点与所有有序实数对之间具有________的关系． 【难度】★【答案】（1）一一对应；（2）一一对应．【解析】根据数轴及直角坐标系的性质可知都是一一对应的关系． 【总结】考查数轴及直角坐标系的概念．【例2】 如图，在直角坐标平面内写出各点的坐标．（小方格的边长为1） 【难度】★【答案】()()()()30300202A B C D --，；，；，；，； ()()()()22332233E F G H ----，；，；，；，． 【解析】准确找到原点，根据坐标的特征即可写出各点的坐标． 【总结】考查坐标的概念及书写．【例3】 已知P （a ，b ），（1） 若点P 在原点，则a =_______，b =___________； （2） 若点P 在x 轴上，则a =_______，b =___________； （3） 若点P 在y 轴上，则a =_______，b =___________． 【难度】★【答案】（1）0,0a b ==；（2）a 为一切实数，0b =；（3）0a =，b 为一切实数． 【解析】原点()00，，x 轴上的点特征是纵坐标为0，即()0a ，，y 轴上的点特征是横坐标 为0，即()0b ，． 【总结】考查坐标系中特殊位置的点的坐标特征．例题解析AB C DE FGHO xy【例4】 在直角坐标平面内，点P 的坐标是（a ，b ），如果ab =0，那么点p 在_______上． 【难度】★ 【答案】坐标轴【解析】000ab a b =∴==，或，则点在y 轴上或x 轴上． 【总结】考查坐标系中特殊位置的点的特征．【例5】 如图，点P 的坐标是_______，点P 到x 轴的距离等于___________；到y 轴的距 离等于__________点Q 的坐标是___________，点Q 到x 轴的距离等于_________，到y 轴的距离等于___________．【难度】★★【答案】()34P ，；4；3；()52Q --，；2；5．【解析】第一象限内点的符号特征()++，，第三象限内点的符号 特征()--，，到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值． 【总结】考查坐标的概念，注意对点到坐标轴的距离的准确理解．【例6】 如图，写出矩形ABCD 各顶点的坐标：A ：_________，B ：__________，C ：____________，D ：___________． 【难度】★★【答案】()()()()32424434A B C D ----，；，；，；，． 【解析】根据点的坐标特征可得各点坐标．【总结】考查写点的坐标特征，注意每个象限的符号特征．【例7】 在直角坐标平面内，点M 的坐标为（-3，y ），点N 的坐标为（x ，4），如果M 、N 两点表示同一点，那么x =_______，y =________． 【难度】★★【答案】34x y =-=，．【解析】表示同一点，则横坐标和纵坐标都相等． 【总结】考查坐标系中相同的两个点的坐标特征．P QO yx34 --2ABCD O xy11【例8】 在直角坐标平面内一点A 的横坐标是3，纵坐标是2，那么点A 的坐标是_______；如果点B 的横坐标是2，纵坐标是3，那么点B 的坐标是_______．这样．点A 与点B 是表示__________的两点．（填写“相同”或“不同”） 【难度】★★【答案】()()3223A B ，；，；不同． 【解析】根据坐标的表示方法即可写出A B 、两点坐标，横、纵坐标不同，则表示的点不同． 【总结】考查坐标的概念与书写．【例9】 （1）已知在平面直角坐标系中点A （2，y ）到x 轴的距离为3，求y 的值； （2）若在平面直角坐标系中有一点B （a ，b ），求点B 到y 的距离． 【难度】★★【答案】（1）3y =±；（2）点B 到y 轴的距离为a ．【解析】到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值． 【总结】考查坐标系中点到坐标轴的距离的概念及运用．【例10】 下列判断中：①在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；②坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；③在直角坐标平面内（x ，y ）与点(y ，x )表示不同的两点；④原点O 的坐标是（0，0），它即在x 轴上，又在y 轴上，其中错误的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】A【解析】①正确；②错误，坐标平面内所有的点与所有有序实数对之间是一一对应的； ③正确；④正确．故选A【总结】考查直角坐标系的概念及坐标系中点的坐标的概念．【例11】 在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （2，0），C （3，1）．在图中进行如下操作：（1） 画△ABC ；（2） 画一个△DEF ，使△ABC ≌△DEF ． 【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）按照坐标描出各点，再联结各点组成三角形． （2）将ABC 平移即可得DEF ． 【总结】考查根据已知点的坐标进行画图．【例12】 在平面直角坐标系中，如果点P 到x 轴的距离等于4，到y 轴的距离等于5，这样的点P 共有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★★ 【答案】D【解析】根据到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，故可得P 点的坐标为：()()()545454(54)----，；，；，；，，故选D【总结】考查点到坐标轴的距离与坐标间的关系，综合性较强，注意多种情况的考虑．【例13】 如图，在直角坐标平面内有两点A 、B ，连接AB ，如果AB 是正方形ABCD 的一条边，请画出正方形ABCD ，并写出它的各顶点的坐标． 【难度】★★★【答案】()()()()24224244A B C D ----，；，；，；， 或()()()()24228284A B C D ------，；，；，；，． 【解析】根据正方形四边相等的特征，描出C D 、两点， 顺次联结即可画出正方形ABCD【总结】考查对正方形的理解及点的坐标的综合运用， 注意进行分类讨论，综合性较强．ABxyO 1 1xyOABCDEF【例14】 在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形，如图，给出直角坐标系，设格点A （-2，1），请画出一个格点三角形，使A 在它的内部且这个三角形的面积最小，并写出这个三角形的各个顶点的坐标． 【难度】★★★【答案】格点三角形不唯一，面积最小的三角形顶点坐标为：()()()302013---，；，；，，此时面积为32．【解析】以一个小正方形的对角线的长为底，两个小正方形的 对角线长为腰，这样的格点三角形面积最小． 【总结】考查直角坐标系中作图．【例15】 在直角坐标平面内，已知点A （x ，y ）的坐标满足22(2)(4)0x y -+-=，点B （x ，y ）的坐标满足2(2)|2|0x y -+-=，点C （x ，y ）的坐标满足220x y +=． 连接AB 、BC 、CA ，试问：△ABC 是一个怎么的三角形?说明你的理由． 【难度】★★★ 【答案】钝角三角形．【解析】22(2)(4)024x y x y -+-=∴==，，， ()24A ∴，； 2(2)|2|022x y x y -+-=∴==，，，()22B ∴，；()2200000x y x y C +=∴==∴，，，，在直角坐标系中画出ABC 可知，ABC 为钝角三角形．【总结】本题综合性较强，一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用，另一方面考查点 的坐标在坐标系中的表示．xyO1．坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成， 如图1，可以看成坐标平面的六个区域：x 轴，y 轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限．2. 点P （a ，b ）到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |．3. 特殊位置的点的坐标的特征： （1）坐标轴上的点：① 点P 的坐标为（a ，0）⇔点P 在x 轴上； ② 点P 的坐标为（0，b ）⇔点P 在y 轴上； （2）各象限内的点：① 点P ()a b ，在第一象限⇔00a b >>，； ② 点P （a ，b ）在第二象限⇔00a b <>，； ③ 点P （a ，b ）在第三象限⇔00a b <<，； ④点P （a ，b ）在第四象限⇔00a b ><，．模块二：平面直角坐标系知识精讲【例16】 （1）()P x y ，在第一象限内，则x y 、满足 ， ()P x y ，在第二象限内，则x y 、满足 ；（2）()P x y ，在第三象限内，则x y 、满足 ， ()P x y ，在第四象限内 则x y 、满足 ． 【难度】★【答案】（1）00x y >>，；00x y <>，；（2）00x y <<，；00x y ><，． 【解析】根据点在各象限内的坐标特征：可得答案． 【总结】考查各个象限内点的坐标特征．【例17】 （1）()P x y ，在x 轴上，则x y 、满足 ，()P x y ，在y 轴上，则x y 、满足 ；（2）()P x y ，在y 轴左边，则x y 、满足 ，()P x y ，在y 轴右边，则x y 、满足 ；（3）()P x y ，在x 轴上方，则x y 、满足 ， ()P x y ，在x 轴下方， 则x y 、满足 ． 【难度】★【答案】（1）x 为一切实数，0y =；0x =，y 为一切实数；（2）0x <，y 为一切实数；0x >，y 为一切实数； （3）x 为一切实数，0y >；x 为一切实数，0y <． 【解析】根据点在直角坐标系内的坐标特征：可得答案． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．例题解析【例18】 （1）点()M x y ，的坐标满足0xy=，那么()M x y ，的位置可能是 ； （2）点()M x y ，的坐标满足0yx=，那么()M x y ，的位置可能是 ．【难度】★【答案】（1）除原点外的y 轴上；（2）除原点外的x 轴上． 【解析】（1）000xx y y=∴=≠，，，M ∴在除原点外的y 轴上； （2）000yy x x=∴=≠，，，M ∴在除原点外的x 轴上． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例19】 （1）点()M x y ，的坐标满足0xy =，则M 在 上； （2）点()N x y ，的坐标满足0xy <则点()N x y ，在 象限． 【难度】★【答案】（1）坐标轴；（2）第二或第四象限内． 【解析】（1）000xy x y =∴==，或，M ∴在x 轴或y 轴上；（2）0xy <，x y ∴、异号，N ∴在第二或第四象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例20】 在直角坐标平面内，如果点O 的坐标是（0，0），那么点O 叫做______点，x 轴上的点的坐标特征是___________坐标为零；y 轴上的点坐标特征是_______坐标为零． 【难度】★★【答案】（1）原点；纵；横 【解析】根据坐标特征可得答案． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例21】 若点P （x ， y ）在第二象限，且|1|2x -=，|3|5y +=，则点P 的坐标为（A ．（－1，2）B ．（3，－8）C ．（2，－1）D ．（－8，3）【难度】★★ 【答案】A ．【解析】|1|2313528x x x y y y -=∴==-+=∴==-，或；，或，P 在第二象限，∴横坐标为负，纵坐标为正，()1212x y P ∴=-=∴-，，，，故选A ． 【总结】考查第二象限内点的坐标特征．【例22】 （1）已知点A （m ，n ）在第四象限，那么点B （n ，m ）在第 象限； （2）若P (a ，－b )是第二象限内的点，则Q (－a ，ab )是第 象限内的点． 【难度】★★【答案】（1）二；（2）一． 【解析】（1）()A m n ，在第四象限，00m n ∴><，，()B n m ∴，在第二象限；（2）()P a b -，在第二象限，00000a b b a ab ∴<->∴<∴->>，，，，， ()Q a ab ∴-，在第一象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例23】 解下列各题：（1） 如果点A （m ，3-m ）是第二象限的点，那么m 应满足什么条件? （2） 已知点P （a ，b ）在y 轴的负半轴上，写出a ，b 的取值范围；（3） 已知点P （x ，y ）的坐标满足2(2)|4|0x y +++=，那么点P 在第几象限? 【难度】★★【答案】（1）0m <；（2）0a =，0b <；（3）P 在第三象限． 【解析】（1）()3A m m -，在第二象限，030030m m m m m ∴<->∴<<∴<且，且，；（2）()P a b ，在y 轴的负半轴上，00a b ∴=<，；（3）2(2)|4|024x y x y +++=∴=-=-，，，P ∴在第三象限． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例24】 直角坐标系中，等边三角形的一个顶点的坐标是A （0，），另两个顶点B 、C都在x 轴上，求B 、C 的坐标．【难度】★★【答案】()()1010B C -，，，或()()1010C B -，，，． 【解析】因为等边三角形，又()03A ，，所以1BO CO ==， 所以()()1010B C -，，，或()()1010C B -，，，． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征及三角形的性质，本题综合性较强，建议老师选择性的讲解．【例25】 请在直角坐标平面内画出四条直线x =3，x =-4，y =4，y =-2．（1） 这四条直线所围成的四边形是一个怎样的四边形?（2） 现有点A 2，3），B （5，-1），C （2，3，D （-3，5），E 6，2）， F （10-2），请问：哪些点在这个四边形的内部?各在什么象限? 【难度】★★★【答案】（1）围成的是长方形；（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点，可知：A B C E F 、、、、在四边形内部；第一象限内的点：D 、F ；第二象限内的点：A ；第三象限内的点：B ；第四象限内的点：C E 、．【解析】（1）根据3,4,4,2x x y y ==-==-画出图形可知，围成的四边形是长方形．（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点， 可知：A B C E F 、、、、在四边形内部 第一象限内的点：D 、F ； 第二象限内的点：A ； 第三象限内的点：B ； 第四象限内的点：C E 、．【总结】考查直角坐标系内点的坐标．3【例26】 （1）在第二，四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ；（2）在第一，三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ．【难度】★★★【答案】（1）互为相反数；（2）相等．【解析】解：（1）二、四象限角平分线为y x =-，横、纵坐标互为相反数；（2）一、三象限角平分线为y x =，横、纵坐标相等； 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行归纳总结．【例27】 若点P (3a -9，1-a )是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么a = ． 【难度】★★★ 【答案】2a =．【解析】解：()391P a a --，是第三象限内的点，39010a a ∴-<-<，；，3113a a a ∴<>∴<<，；，横、纵坐标都是整数，2a ∴=． 【总结】考查第三象限的点的坐标的符号特征，注意对整数的理解．【习题1】 （1）直角坐标平面内的横轴与纵轴是互相_________的，而且交点就是________点，它的坐标是__________；（2）第_______象限内的点的横纵坐标都是负数；第________象限内的点的横纵坐标异号；横纵坐标相等的点在________________；横纵坐标互为相反数的点在______________．【难度】★【答案】（1）垂直，原点，()00，；（2）三，二或四，一、三象限的角平分线上， 二、四象限的角平分线上．【解析】（1）根据直角坐标系的概念可知；（2）根据直角坐标系内点的坐标的特征可知． 【总结】考查直角坐标系的概念以及点的概念及坐标特征．随堂检测【习题2】 在x 轴上的点的纵坐标是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．实数【难度】★ 【答案】C【解析】x 轴上点的特征(),0m ，故选C ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题3】 如果0mn>且0m n +>，那么P （m ，n ）在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★【答案】A【解析】0mm n n >∴，、同号，又()00m n m n P m n +>∴>>∴，0，，，在第一象限． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题4】 如果点A （m ，n ）在第二象限，则点B （-m +1，3n +5）在第______象限 【难度】★★ 【答案】一 【解析】解：()A m n ，在第二象限，00m n ∴<>，，10350m n ∴-+>+>，， ()135B m n ∴-++，在第一象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题5】 横坐标为3的点一定在（）．A ． 与x 轴平行，且与x 轴的距离为3的直线上B ． 与y 轴平行，且与y 轴的距离为3的直线上C ． 与x 轴正半轴相交，与y 轴平行，且与y 轴的距离为3的直线上D ． 与y 轴正半轴相交，且与x 轴的距离为3的直线上 【难度】★★ 【答案】C【解析】点的横坐标为3，则这个点为()3m ，，根据坐标特征，故选C ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行总结．【习题6】 已知：两点A （11x y ，），B （22x y ，），当坐标满足什么条件时，才能使点A 、B 都在平行于y 轴的某一直线上，该条件是（）．A ．12x x =B ．12y y =C ．12||||x x =D ．12||||y y =【难度】★★ 【答案】A【解析】横坐标相等，两点的连线垂直x 轴，平行于y 轴，故选A ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题7】 已知：点P （x ，y ），且x ，y 是方程24(2)(5)0x y ++-=的解，那么点P在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★★ 【答案】B【解析】解：24(2)(5)025x y x y ++-=∴=-=，，，()25P ∴-，在第二象限，故选B ．【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意非负数的和为零的模型的运用．【习题8】 如图，（1）A 、B 、C 、D 四点的横坐标不变，将它们的纵坐标都除以-1，得到E 、F 、G 、H ，再将它们对应的点联结起来，写出这八个点的坐标；（2）将A 、B 、C 、D 四点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，得到M 、N 、P 、Q ，请画出四边形MNPQ ，并写出各点的坐标． 【难度】★★【答案】（1）()()()()33312112A B C D ----，、，、，、，， ()()()()33312112E F G H --------，、，、，、，； （2）()()()()33312112M N P Q ，、，、，、，，画图略． 【解析】（1）根据图形中点所处的位置得到A 、B 、C 、D 四点的坐标， 然后再根据规定的计算得到相应的坐标． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．OA B CD xy1 -1-11【习题9】在直角坐标平面内，已知点A（-2，1），另有一点B，且直线AB平行于x轴，如果A、B两点距离是4，那么B的坐标是_________．【难度】★★【答案】()61B-，．B，或()21【解析】//-，、距离为4，当B在A左侧时，横坐标为6 AB x轴，∴纵坐标相等，A B()B21∴，．61∴-，；当B在A右侧时，横坐标为2，()B【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【习题10】在直角坐标平面内有直线l∥x轴，直线l上有两点A、B，已知点A的坐标），且与A、B两点的距离等于3，求点B的坐标．【难度】★★★【答案】3B．B或3【解析】//AB x轴，∴纵坐标相等，A B、距离为3，当B在A3，3∴，B当B在A3，3B∴．【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【习题11】已知：点A（a，-3），B（-4，b），若A、B两点的连线平行于x轴，a，b应满足什么条件?【难度】★★★【答案】3a≠-．b=-且4【解析】解：//a≠-．∴=-且4bAB x轴，∴纵坐标相等，3【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意A、B是不同的两点．【作业1】已知点A 的坐标是（m ，n ），如果m ≠0且n =0，那么点A 在（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．x 轴上，但不能包括原点D ．y 轴上，但不能包括原点【难度】★ 【答案】C【解析】解：0n =，A ∴在x 轴上，0m ≠，A ∴不在原点上，故选C ． 【总结】考查坐标系内点的特征．【作业2】已知B （a ，b ）在第三象限，那么点A （-a +2，b -1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】D【解析】()B a b ，在第三象限，00a b ∴<<，，2010a b ∴-+>-<， ()21A a b ∴-+-，在第四象限，故选D 【总结】考查各象限内的点的符号特征．【作业3】（1）如果点P （m ，n ）在第三象限两坐标轴夹角的平分线上，那么m 、n 应该满足的条件是__________；（2）在平面直角坐标系xoy 中有点M （-4，4），连接MO ，那么∠MOx =________． 【难度】★★【答案】（1）相等，（2）45︒．【解析】（1）一、三象限的角平分线上的点特征为：横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点的特征为：横、纵坐标互为相反数．（2）∵M （-4，4），∴点M 在二四象限的角平分线上， ∴∠MOx =45︒． 【总结】考查直角坐标系内各象限内的点的坐标特征．课后作业【作业4】在平面直角坐标系中有点A （0，3），B （0，-2），C （6，-2），那么△ABC是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【难度】★★ 【答案】C【解析】∵A （0，3），B （0，-2），，A B ∴、在y 轴上，且5AB =，∵B （0，-2），C （6，-2），BC y ∴⊥轴，且6BC =，ABC ∴是直角三角形． 故选C【总结】考查点的坐标的特征与几何图形的综合应用．【作业5】在直角坐标平面内，已知点P （-2，1），另有一点Q ，且直线PQ 平行于y 轴．如果P 、Q 两点的距离是6，那么点Q 的坐标是_________． 【难度】★★【答案】()27Q -，或()25Q --，． 【解析】//PQ y 轴，∴横坐标相等，P Q 、距离为6，当Q 在P 上方时，纵坐标为7，()27Q ∴-，；当Q 在P 下方时，纵坐标为5-，()25Q ∴--，． 【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要分类讨论．【作业6】在平面直角坐标系中，已知点P （0，2），在y 轴上有点Q ，它到点P 的距离等于3，求点Q 的坐标． 【难度】★★【答案】()05Q ，或()01Q -，． 【解析】当点Q 在点P 上方时，纵坐标为5，()05Q ∴，； 当点Q 在点P 下方时，纵坐标为1-，()01Q ∴-，【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【作业7】在如图所示的平面直角坐标系中画出与△ABC 全等的所有三角形，已知每个三角 形的顶点坐标均为整数，请写出每个三角形的顶点坐标． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】由图可知：()()()133244A B C ----，、，、，． ①当把每个点向左平移一个单位时，得： ()()()111234234A B C ----，、，、，； ②当把每个点向上平移一个单位时，得： ()()()222143143A B C ----、、，，，； ③ A B C 、、三点关于y 轴对称得： ()()()333133244A B C ---、，、，，； ④A B C 、、三点关于x 轴对称得： ()()()444133244A B C ---、，、，，；⑤111A B C 、、三点关于y 轴对称得：()()()555234234A B C ---、，、，，； ⑥111A B C 、、三点关于x 轴对称得：()()()666234234A B C ---、，、，，； ⑦222A B C 、、三点关于y 轴对称得：()()()777143143A B C ---、，、，，； ⑧222A B C 、、三点关于x 轴对称得：()()()888143143A B C ---、，、，，； 故以上的点都满足题意．【总结】考查点的移动及点的对称的特征，综合性较强，注意从多个角度去考虑．【作业8】在直角坐标平面内有一个圆，圆心是A （2，0），该圆与x 轴有一个交点是B （5，0），那么这个圆的周长等于________，圆的面积等于________． 【难度】★★ 【答案】69ππ、． 【解析】解：()()2050A B ，、，，3r AB ∴==，2269C r S r ππππ∴====，．【总结】考查两点距离与圆的周长及面积公式的综合运用．ABCOxy【作业9】在△ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，顶点A 在原点，AB 边在x 轴上，且AB =6，求点C 的坐标． 【难度】★★【答案】()66C ，或()66-，或()66--，或()66-，． 【解析】A 在原点，AB 边在x 轴上，6AB =，()60B ∴，或()60-，90B ∠=︒，C ∴的横坐标为6或6-，AB BC =，()66C ∴，或()66-，或()66--，或()66-，【总结】考查点的距离与特征结合直角三角形的综合应用．【作业10】在直角坐标平面内，有一点C （a ，b ），垂直于x 轴的直线AB 经过点C ，已知点A （5，-2），ab 的值是154，a 与b 的值各是多少?【难度】★★★ 【答案】21520a b ==，． 【解析】AB x ⊥轴，点C （a ，b ）在AB 上，A （5，-2），112155554420a ab b b ∴==∴=∴=，，，． 【总结】考查点的坐标的特征，注意进行合理计算．【作业11】已知点M 为平行于x 轴且到x 轴的距离为5的直线上的一点，它到y 轴的距离是6，且M 的坐标． 【难度】★★★【答案】()65M ，或()65-，或()65-，或()65--，．【解析】∵点M 到x 轴的距离是5，∴点M 的纵坐标的绝对值是5， ∴点M 的纵坐标为5±．∵点M 到y 轴的距离是6，∴点M 的横坐标的绝对值是6， ∴点M 的纵坐标为6±，∴点M 的坐标为()65M ，或()65-，或()65-，或()65--，． 【总结】考查坐标系内点坐标的特征，注意距离与坐标之间的关系．。
高考数学一轮复习9 第9讲 函数与方程
第9讲函数与方程最新考纲考向预测结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.核心素养直观想象、逻辑推理1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点的交点零点x1，x2x1无常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．常见误区1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是()A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y ＝f (x )的零点，即函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，因此B ，D 正确，A ，C 错误．3．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.4．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f 解析：依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．答案：35．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为() A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】 B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析：选 B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．2．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：选D.令f (x )＝0得13x ＝ln x . 作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．函数零点个数的判断(一题多解)函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 方法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．方法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2－2x ＋3x ＝0或⎩⎨⎧x>0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 B.由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0，1)内连续不断，所以f (x )在区间(0，1)内有一个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象．如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.故选C.函数零点的应用(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ex ， x≤0，ln x ， x>0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a<0，4－1－a>0，解得0<a <3，故选C.2．若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．(0，＋∞)C ．(3，4)D ．(3，＋∞)解析：选C.令g (x )＝|2x －4|，其图象如图所示，若f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a ∈(3，4)．思想方法系列6 破解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一 嵌套函数零点个数的判断(2021·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0<x≤2f （x －2）＋1，x>2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 因为当x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x >2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 C破解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数． 类型二 求嵌套函数零点中的参数函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （－x －1），x<－1，2x ＋1，x≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 设t ＝f (x )，令g (x )＝f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一平面直角坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)，则t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点．【答案】 [－1，＋∞)(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y ＝f (t )的图象，确定t 1，t 2的取值范围，进而由t ＝f (x )的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg|x －2||，x≠2，0，x ＝2.若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有( )A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个解析：选C.由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数即为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根．故选C.[A 级 基础练]1．(2021·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．(2021·重庆模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －15x 的零点位于区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )在R 上为减函数，其图象为一条不间断的曲线． 因为f (1)＝12－15＝310>0，f (2)＝14－25＝－320<0，所以f (1)·f (2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选B.3．(2021·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x2，|x|≤1，|x|，|x|>1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a >1C ．0≤a <1D ．a <0解析：选A.方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，即直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.4．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1x C ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋1解析：选ABD.对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合题意；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合题意；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又h (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合题意；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时，cos x ＝x ＋1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合题意．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤0，1x ，x>0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选D.当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x2＋2x ，x>0，4x ＋1，x≤0的零点个数是________．解析：当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14. 综上，f (x )有3个零点． 答案：38．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x≤0，ln x ，x>0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0，1]．答案：(0，1]9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)如图所示．(2)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．[B 级 综合练]11．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14B ．18C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C 项．12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝－1B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1解析：选BCD.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，作出其函数图象：由图可知，x 1＋x 2＝－2，－2<x 1<－1； 当y ＝1时，|log 2x |＝1，有x ＝12，2，所以12<x 3<1<x 4<2；由f (x 3)＝f (x 4)，有|log 2x 3|＝|log 2x 4|， 即log 2x 3＋log 2x 4＝0， 所以x 3x 4＝1，则x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2＝x 1(－2－x 1)＝－(x 1＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD. 13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （2）<0，g （4）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m>0，2－2m<0，10－4m>0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. 14．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x>0，x ＋1，x≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.[C 级 创新练]15．已知a ，b ∈R ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f (x )＝2x ＋1⊗(2－4x )，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)∪(2，3)C ．(0，2)D ．(0，3－1)∪(3－1，2)解析：选A.若2x ＋1－(2－4x )≤1，则(2x )2＋2×2x －3≤0，即2x ≤1，解得x ≤0；若2x ＋1－(2－4x )>1，则(2x )2＋2×2x －3>0，解得2x >1或2x <－3(舍去)，即x >0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≤0，2－4x ，x>0.作出函数f (x )的图象和y ＝c 的图象如图所示．因为y ＝f (x )－c 有两个零点，所以f (x )＝c 有两个解，所以0<c <1.故选A.16．定义：设不等式F (x )<0的解集为M ，若M 中只有唯一整数，则称M 是最优解．若关于x 的不等式|x 2－2x －3|－mx ＋2<0有最优解，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，74B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，－2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，74 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74 解析：选D.|x 2－2x －3|－mx ＋2<0可转化为|x 2－2x －3|<mx －2，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f (x )＝|x 2－2x －3|，g (x )＝mx －2的图象，如图所示．易知m ＝0时不满足题意．当m >0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥g （2），f （3）<g （3），f （4）≥g （4），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥2m －2，0<3m －2，5≥4m －2，解得23<m ≤74. 当m <0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥g （0），f （－1）<g （－1），f （－2）≥g （－2），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥－2，0<－m －2，5≥－2m －2，解得－72≤m <－2. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74.故选D.。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数与方程
第九讲函数与方程知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．重要结论1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．( √)(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( ×)(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( ×)[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．题组二走进教材2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5f(x) －4 －2 1 4 7在下列区间中，函数f(x)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点，故选B．3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析]A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C )A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375，1.437 5)内，故选C．题组三走向高考5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析]y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( B )A．2 B．3C．4 D．5[解析]f(x)＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一,函数的零点考向1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( D )A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( C )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(3)(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点位于区间可能为( BC )A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[解析](1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0，4)内有零点．故选D．(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C．解法二：数形结合函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内．(3)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)·(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．名师点拨MING SHI DIAN BO确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 考向2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．7D ．0(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点个数为5．[解析] (1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f(x)共有2个零点．解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝12，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝12时，分别有3个和2个交点，则关于x 的函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.名师点拨 MING SHI DIAN BO函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．〔变式训练1〕(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f(x)＋3x 的零点个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x －3，则f(x)的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(3)(2020·河南名校联考)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0，则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是( A )A ．5B ．4C ．3D ．6[解析] (1)由已知得y ＝f(x)＋3x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x≤0，1＋1x＋3x ，x>0.令x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.令1＋1x ＋3x ＝0(x>0)可得3x 2＋x ＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x 2＋x ＋1＝0无实根．所以y ＝f(x)＋3x 的零点个数是2.(2)f(x)＝e x＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－52<0，f(1)＝e －2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C ．(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝23和f(x)＝2的根．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0的图象如图所示，由图可得方程f(x)＝23和f(x)＝2共有5个根，即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有5个零点． 考向3 函数零点的应用——多维探究 角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝x －log 12x ，h(x)＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 2>x 1>x 3C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f(x)＝2x＋x ＝0，g(x)＝x －log 12x ＝0，h(x)＝log 2x －x ＝0，得2x＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0，0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( C ) A ．[－1，0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)[解析]令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点．由图知－a≤1，∴a≥－1.名师点拨 MING SHI DIAN BO 1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x ，g(x)＝log 3x ＋x ，h(x)＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．a>b>cD ．c>a>b(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x≤0，2x －1，x>0(a∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1，0)D ．(0，1][分析] (1)解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可．[解析](1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1，∴a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＋13＝－23，g(1)＝1，∴b∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，显然c ＝0，∴a<c<b，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a<c<b ，故选B ．解法三：由概念知b>0，a<0，c<0，∴b 最大，选B ．(2)∵当x>0时，f(x)＝2x －1， 由f(x)＝0得x ＝12，∴要使f(x)在R 上有两个零点， 则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]． 故所求a 的取值范围是(0，1]．考点二 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈(0，0.5)，第二次应计算f(0.25)．(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2． (3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7．[解析] (1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0，0.5)；第二次应计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f(0.25)．(2)区间(1，2)的中点x 0＝32，令f(x)＝x 3－2x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. (3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64，27＝128，知n ＝7. 名师点拨 MING SHI DIAN BO1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数零点的综合问题例6 (2021·山西五校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x≤0－x 2＋x ，x>0，若函数g(x)＝f(x)－a 恰有三个互不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 [解析] 解法一：显然x≤0时，－2x ＝a ，有一根不妨记为x 1，则x 1＝－a 2(a≥0)，当x>0时－x 2＋x＝a 即x 2－x ＋a ＝0有两个不等正根，不妨记为x 2，x 3，则Δ＝1－4a>0，即a<14，从而－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0且x 2x 3＝a.∴x 1x 2x 3＝－a 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0，故选A ．解法二：作出y ＝f(x)及y ＝a 的图象，显然0<a<14，不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0，x 2>0，x 3>0，∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ，又当x 2趋近x 3时，x 2x 3趋近14，x 1趋近－18，故x 1x 2x 3趋近－132.故选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．〔变式训练3〕(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x≤0，|lg x|，x>0.若f(x)＝a(a∈R)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围． 设四个根依次为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)， 则－2≤x 1<－1，－1<x 2≤0，x 1＋x 2＝－2， 由|lg x 3|＝|lg x 4|，得－lg x3＝lg x4，则lg x3＋lg x4＝lg(x3x4)＝0，∴x3x4＝1，∴x1x2x3x4＝x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0，1)．故选B．。
2013年全品人教版中考夺分 第三单元 函数与图像
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
11．下列图象不是函数图象的是( C
)
A
B 图9－2
C
D
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
考点4
பைடு நூலகம்
函数图象的应用
函数图象 作函数图 象的一般 步骤 把一个函数的自变量x和函数的值y分别作 为横、纵坐标，描出点，所有这些点所组 成的图象就是函数图象
列表 作函数图象的一般步骤为_______、 连线 _______和________ 描点
1．[2012· 宿迁]在平面直角坐标系中，点M(－2，3)在( B A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
)
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
2．如图9－1，已知棋子“車”的坐标为(－2，3)，棋子 “馬”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为( A )
A．(3，2) C．(2，2)
第10讲┃ 一次函数的图象与性质
考点2
一次函数的图象与性质
(1)图象 正比例函数 一次函数
图象关系
是经过点(0，0)和点(1，k)的一条直线 b －k b 是经过点(0，________)和(________，0) 的一条直线 一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数 y＝kx的图象平移得到，b>0，上移b个单 位；b<0，下移|b|个单位
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
15．星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅 游，匀速行驶1.5小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人 在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原速继续前行，行 驶1小时到达目的地．请在图9－7的平面直角坐标系中画出符合他 们行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数图象．
第9讲-平面直角坐标系及函数
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数 Nhomakorabea3．在如图 9－ 12 所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近 似地刻画如下 a， b 两个情景： 情景 a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返 回家里找到了作业本再去学校； 情景 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以 更快的速度前进．
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
11． [2012· 杭州] 如图 9－10，平面直角坐标系中有四个点， 它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移 动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并 且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后点 A 的坐标为 (－1，1)，(－2，－2)，(0，2)，(－2，－3) ． ____________________________________________
数 学
新课标（RJ）
第9讲 平面直角坐标系及函数
第10讲 一次函数 第11讲 反比例函数 第12讲 二次函数
第9讲
平面直角坐标系及函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 平面直角坐标系
1．在平面直角坐标系中，已知点 P(2，－3)，则点 P 在 ( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知 y 轴上的点 P 到 x 轴的距离为 3，则点 P 的坐标为( C ) A．(3，0) B．(0，3) C．(0，3)或(0，－3) D．(3，0)或(－3，0)
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
[ 解析] 因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快，所 以容器下面粗，上面细．只有选项 B 符合题意，故答案选 B.
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
┃考题自主训练与名师预测┃
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点的坐标先读横坐标(x 轴)， 再读纵坐标(y 轴).
( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：
2. 点 的 坐 标
特征
点 P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；
点 P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；
（1）坐标轴上的点不属于任
点 P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；
何象限.
点 P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.
诀是过点向 x 轴、y 轴作垂 线，从而将其割补成可以直
M（x,y）
M1(x+a,y)
接计算面积的图形来解决.
M2(x+a,y+b)
3. 坐 标 点 的
距离问题
（1）点 M(a,b)到 x 轴，y 轴的距离：到 x 轴的距离为|b|；)到 y 轴的距离为|a|． （2）平行于 x 轴，y 轴直线上的两点间的距离： 点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点 M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
进一步寻找求这个图形面积
（4）点 P（a,b）的对称点的坐标特征：
的因素，若找不到，就要借
①关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为(a，－b)；②关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为(－a，b)； 助割补法，割补法的主要秘
③关于原点对称的点 P3 的坐标为(－a，－b)． （5）点 M（x,y）平移的坐标特征：
点 M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点 M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．
平行于 x 轴的直线上的点纵 坐标相等；平行于 y 轴的直 线上的点的横坐标相等.
知识点二：函 数
4.函数的相关
概念
失分点警示 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量
（2）பைடு நூலகம்面直角坐标系中图形
（2）坐标轴上点的坐标特征：
的平移，图形上所有点的 坐标变化情况相同.
①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.
（3）平面直角坐标系中求图
（3）各象限角平分线上点的坐标
形面积时，先观察所求图形
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
是否为规则图形，若是，再
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第 9 讲 平面直角坐标系与函数
一、 知识清单梳理 知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次 y= x 3 中自变量的取值范 x5
根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 围是 x≥-3 且 x≠5.
5.函数的图象
（1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
个区间上的函数图象是一条 平行于 x 轴的线段.
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（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为 t（或线段长为 x），找因变量与 t(或 x)之间存在的函数关系，用含 t(或 x)的
读取函数图象增减性的技 巧：①当函数图象从左到右 呈“上升”（“下降”）状态时， 函数 y 随 x 的增大而增大（减 小）；②函数值变化越大，图 象越陡峭；③当函数 y 值始 终是同一个常数，那么在这
函数解析式，同时有几个代 叫做变量．
数式，函数自变量的取值范 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确
围应是各个代数式中自变量 定的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．函数的表示方法有：列表法、
的公共部分. 例：函数 图像法、解析法.