复合函数的黎曼可积
黎曼可积的周期函数的性质
即
kf x c kf x T * c .
所以kf x c也是集M上以T *为周期的周期函数. 现假设T *不是kf x c的最小正周期, 则必存在T ' 0 T ' T * 是kf x c的周期,
则有
kf x T ' c kf x c ,
有界,它在每个 i 上存在上、下确界：
M i sup f x , mi inf f x , i 1,2,, n.
x i x i
4
作和
S T M i xi , sT mi xi ,
i 1 i 1 n n
分别称为 f x 关于分割 T 的上和与下和. 定义 2.4.2 定理 2.4.1 设 i M i mi ,称为 f x 在 i 上振幅. 对任给的 0 ,总存在相应的一个分割 T ,使
设 T1 为区间 kT, k 1T 的任意分割,有 T1 x0 , x1 ,, xn , 对 i xi1 , xi , i 1,, n . T1 maxxi , xi xi xi1 ,
1in
由于
lim
T1 0
f i xi lim
黎曼可积的周期函数的性质
高远
摘要: 函数一直都在数学研究领域扮演着重要角色,而周期函数与黎曼可积函数又是函 数中两类特殊的函数，掌握这两类函数的定义、性质与判别方法是十分重要的.在本文中就 先介绍了周期函数的定义与判定方法， 之后又介绍了黎曼可积函数的定义与判定方法， 并对 其中较难理解的判定方法给予了证明.最后，主要就是来研究黎曼可积的周期函数的性质， 并相应的给与了详细证明. 关键词: 周期函数 黎曼可积 性质
复合函数的几个性质及其应用
复合函数的几个性质及其应用2复合函数的性质及其应用有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。
由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。
复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P ，而函数u=g(x) 的定义域为M ，值域为C ，并且C 包含在P 内，那么对于M 内的每一个值x 经过中间变量u ，相应地得到唯一确定的一个值y ，于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为：y=f[g(x)]。
这种函数称为复合函数。
（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。
y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。
一、 定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属于y=f(u)的定义域的部分。
例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(2x )的定义域解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤2x ≤4， 即-2≤x ≤2∴f(2x )的定义域为 [-2，2]二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。
例2 求函数)32(log 25.0+-=x x y 的值域解：∵ 44)1(3222≥+--=+-x x x 又0322>+-x x∴43202≤+-<x x345得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≥+-=≤-≤>-045)1(01)0(1230023k g k g k k k 解得：0≤k ≤54若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;2、若f(x)≠0则y=f(x)与)(1x f y =的单调性相异; 3、若f(x)＞0则y=f(x)与)(x f y =的单调性一致. 例5 讨论 21x xy += 的单调性 解：∵21x xy += 是奇函数∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x ＞0时2111x y +=2x y = 递增 ⇒ 21x y =递减 ⇒211x y +=递减⇒2111x y +=递增。
复合函数的可积性及应用
, ) , ) Δ x h( x) x) d x, i) i) i ＝ f( g( f( g( ξ ξ ðh(
ʏ
l i m
T
ң０ i＝１
, ) , ]Δ x －h( f( g( f( g( ξ) η) ξ) ξ) ð [h(
, )．因 f 和g 为 [ 证 ㊀ 记 F( 因此有界 ．不妨设 x)＝ h( x) x) a, b]上可积 , f( g(
h( x, x ᶄ, ᶄ) | －h( |＜η ． y) y ] 由假设 f 和g 在 [ 可积 , 及文献 [ 则对任给的ε＞０ 及上述的δ＞０ , 存在某一分 a, b] ５ P ２ ３ ８ 定理 ９． １ ６,
f ,g 割T , 使得在 T 所属的小区间中 , ω k ᶄ ω k ᶄ ȡδ 的所有小区间Δ k ᶄ 的总长
F F f ,g 在 T 中的小区间Δk 至多在小区间 Δ 而这 Δ ω x), ω ＜δ ．对函数 F( k ᵡ 上ω ᵡ 上, k ᵡ ＜η , k ᶄ 上ω k ᵡ ȡη , k ᵡ k ᵡ
������, 设 L 为光滑曲线 , 在 L 上依次取分点 , 得 L 的分割 TL ＝ { 且 P０ , P１ , Pn },
１ɤ i ɤn
T
s
与分割 TL 对应得到区间 [ a x Δ s α, ＝m i ．因此 , β]的一个分割 １ɤ i ɤn
Tp : α ＝t ０ ＜t １ ＜ ������ ＜t n ＝β ．
梁婉婉 , ㊀ 刘继成
[ ( ) 中图分类号 ]O 文献标识码 ]C㊀㊀ [ 文章编号 ]１ １ ７ ２． ２㊀㊀ [ ６ ７ ２ Ｇ １ ４ ５ ４ ２ ０ １ ７ ０ ５ Ｇ ０ １ １ ８ Ｇ ０ ５
１㊀ 问题的提出
复合函数积分运算法则
复合函数积分运算法则复合函数积分运算法则可以分为两种情况，一是基本函数的复合函数积分，二是一般复合函数积分。
【情况一】基本函数的复合函数积分基本函数指的是常见的三角函数（sin, cos, tan等）、指数函数（e^x）和对数函数（ln x）等函数。
sin(mx)、cos(mx)的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)cos(mx)dx= sin(mx) · F(x) / m + C，∫f(mx)sin(mx)dx = -cos(mx) · F(x) / m + C。
e^mx 的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)e^(mx)dx = F(x) · e^(mx) / m + C。
ln(mx)的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)ln(mx)dx = F(x) · ( ln(mx) - 1 ) / m + C。
【情况二】一般复合函数积分一般复合函数积分指的是涉及到链式法则的复合函数积分，如f(g(x)) Multiply g'(x)。
一般复合函数积分的求法是采用反链式求导法。
设h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)。
因为∫f'(g(x)) · g'(x)dx 是可以积出来的，所以可以先将h'(x)中的f'(g(x)) · g'(x) 提取出来再将提取出来的f'(g(x)) · g'(x)转化为∫(f o g)'(x)dx。
对f o g(x)进行积分即可。
需要指出的是，复合函数积分运算法则较为繁琐，掌握好积分公式的同时，应该多加练习、深入理解，才能更好地掌握积分的技巧和方法。
复合函数的黎曼可积性
｛ 厂 ｝ ＜Ｍ ， Ｆ ｛ ） ｛ （ Ｍ为常数 ， 且对 ［ ，］ ０ ６ 上任意分割 Ｔ ０＝ ， 。＜ ＜ ：＜… ＜
△ ＝ 一
一
＜ ＝６ 记 ．
ｌ，
△ ＝ ［ ｌ ］ｉ＝１２ … ，．凡 ， ， ，， ｎ ｒ ＝ ｉ ｛ ） ， ｎ ｝Ｍ ＝ｓＰ ） ， ＝Ｍ 凡 ． “｛ ｝０ ９ 一ｒ 则对
的作 用． 文提 出和证 明 了复合 函数黎 曼可积 的 两个充分 条件 ， 给 出 了应 用． 本 并 ［ 关键词 ］ 复合 函数 ； 曼可积 ； 续性 ； 黎 连 可导性 ［ 图分 类号 ］ ５ ． ［ 中 Ｏ１３ ３ 文献标识 码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］ ６ ３— ０ ２ ２ ０ ）４— ０ ６— ３ １７ ８ １ （ ０ ８ ０ ０ ２ ０
复合 函数 的相关 性质 在几何 学 、 理学 以及数 学 分 析等 学科 中都有 着 重要 的作用 ． 历 史 上 ， 物 在 人 们对 复合 函数的可 导性 、 微性 等研 究较 多 ， 对复 合 函数 的可 积 性研 究得 却 较 少． 可 但 随着 数学 本 身 以 及复合 函数性质 在其 他学科 中的应用 ， 要求 我们 对复 合 函数 的可积 性进行 进 一步 的研 究 ¨ 在研 究 。． 生入 学考试 中 ， 及复合 函数可积 性 的题 目也 越来越 受 到命 题者 的青 睐 ． 涉 在华 中师范 大学研 究 生入 学
存在某一分割 使∑∞ ｉ ． ， ＜
定理 １ 若 函 数 ）在 ［ ， ］上 黎 曼 可 积 ， （ ）是 一 个 具 有 连 续 导 数 的 函 数 ， 复 合 函数 ｎ６ Ｆｘ 则 （ ） ）在 ［ ， ］ 也黎曼 可积 ． ｏ６ 上
证明 因 为 Ｆ （ ）是 一 个 具 有 连 续 导 数 的 函 数 ， （ － 厂 ）在 ［ ，］上 黎 曼 可 积 ， 可 设 ｏｂ 故
什么是黎曼几何？
什么是黎曼几何？黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。
是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。
黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。
与欧氏几何注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。
数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。
欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。
物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。
而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。
以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。
欧氏几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。
因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。
两点之间的距离也是直的。
但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。
在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。
若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。
在有界闭区间上复合函数的黎曼可积性
在有界闭区间上复合函数的黎曼可积性有界闭区间上复合函数的黎曼可积性是数学中一个重要的概念。
它是指在有界闭区间上存在一个复合函数，该函数具有正确的黎曼可积性。
说得更通俗易懂些，一个复合函数就是由一个函数和另一个函数组成。
在二维空间中，它可以表示为f(x, y) = f1(x) + f2(y)。
这里，f1(x)和f2(y)分别是x和y的函数，而f(x,y)就是两者的和。
黎曼可积性是指这样一种复合函数的连续性和可积性。
当一个函数的偏导数不断变化时，黎曼可积性就会发生变化。
换句话说，当函数的偏导数使f(x,y)连续而不断变化时，复合函数就是黎曼可积的。
这也就是说，只有当复合函数的偏导数恒定，而不会发生变化时，它才是黎曼可积的。
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性是指，在有界闭区间上的某一点处，复合函数的变化率是黎曼可积的。
它是端点连续函数的泛化概念，可以用来描述复合函数在有界闭区间上的可积性。
它的特点是可以通过求解连续的偏导数来求解复合函数的变化率。
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性在数学中有着重要的作用。
它可以用来解释复合函数在有界闭区间上的变化情况。
此外，它还可以应用到实际问题中，如分析复杂函数的变化率等。
此外，它还可以用来解决无边界问题、分析函数不变型以及建立抽象函数空间等问题。
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性有一些重要的结果。
例如，可以利用它来证明势的连续性。
根据它的定义，可以证明复合函数在有界闭区间上的存在性。
此外，它还可以用来证明Riemann积分的性质，以及定义黎曼积分的基本性质。
总的来说，有界闭区闭上复合函数的黎曼可积性是一个重要的数学概念，可以用来解释复杂函数的变化情况，并可以应用到实际问题中。
它还可以用来证明一些重要的数学定理，可以比较容易地推导出复合函数的变化率。
黎曼积分和勒贝格积分
是
E
i 1
Ei
(
Ei可测且两两不交）
上非负简单函数，定义(L)E
(
x)dx
n
ci
mE i
i 1
为 (x) 在E上的Lebesgue积分.
例：对Dirichlet函数
D(x) 1 x[0,1]Q 0 x[0,1]Q
有(L)E D(x)dx 1 0 01 0
上述过程反之也成立。
2. Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)
定理：若f(x)在[a,b]上有界且Riemann可积， 则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且
b
(L) f (x)dx (R) f (x)dx
[ a ,b ]
x [2n ,(2n1) ]
不连 续点零测度 (R) n0
(2n1) sin xdx
2n
x
(R)
n0
sin(2n t)dt 0 2n t
(R)
sin t dx
1
sin tdt
n0
0 2n t
从而
b
(x)dx
f (x)dx
b
f (x)dx 0，
[a,b]
a
a
又(x) 0 a.e.于[a,b],
故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
又(x) 0 a.e.于[a,b], 故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集，
0, 分割T，使得 ixi i 1
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复合函数的黎曼可积
黎曼可积（Riemann integrable）是一个重要的数学概念，用来描述
复合函数是否可积。
它及其应用最常用于计算无穷离散量的近似值。
黎曼可积性质是Rudolf Loren名字的由来，它在板块概念中很详细，
表明函数是否可以精确表示无穷多离散量，而不用费力气计算这些量，从而识别函数的极限特性。
要理解黎曼可积，首先需要明白什么是可积的函数，也就是函数的一
部分可以积分为一个定值，这样可以获得整个函数的值。
黎曼可积确
保函数至少是在某种意义上可积，用积分的方法说明。
也就是说，如
果把函数分成小段，然后用积分计算该函数在每个小段上的取值，就
可以求出整个函数的值：
下面来看一个例子，为了给函数f（x）= x2 + 2x +1在[0，2]上满足黎
曼可积要求，可以表示为函数值单调连续，且满足黎曼可积要求的研
究对象的函数形式：
f(x)=[x2+2x+1]c[0,2]=[x2+2x+1]c[0,1]+[1+2+1]c[1,2]
上面公式表示，根据黎曼可积的规则，在[0，2]上函数f（x）= x2 + 2x +1可以表示为两个小段，分别为[0，1]和[1，2]，积分结果分别为
[x2+2x+1]c[0,1]=4/3和[1+2+1]c[1,2]=4，从而总积分值为8/3，也就是
要求函数在[0，2]上的值。
可以看到，通过给定分段，以及该分段中函
数的特定值，可以简单地求出可积函数的值，而不必逐一积分计算每
一段函数的值，从而大大简化了工作繁琐度。
此外，黎曼可积还提供了另外一项很重要的功能，即限定函数分段表示，除此之外，还要求每一段函数在连续和单调方面是可行的，也就是要求函数要连续单调，不能有突变点等情况发生，而连续性也不能被乱搞。
如果函数满足了这些条件，就会成为一个黎曼可积函数。
总之，黎曼可积是一个重要的概念，可以帮助我们简化复杂的函数的积分计算，它的准确性对于函数的表示非常重要，而它的应用也进一步拓展了函数的可积研究和应用。