基本不等式完整版(非常全面)

根本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、根本不等式原始形式

〔1〕假设R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+

〔2〕假设R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

2、根本不等式一般形式〔均值不等式〕

假设*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、根本不等式的两个重要变形 〔1〕假设*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

〔2〕假设*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=〞

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等〞

5、常用结论

〔1〕假设0x >，则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕 〔2〕假设0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取

“=〞〕

〔3〕假设0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取

“=〞〕

〔4〕假设R b a ∈,，则2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ 〔5〕假设*

,R b a ∈，则

22111

22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=〞 6、柯西不等式 〔

1

〕

假

设

,,,a b c d R

∈，则

22222()()()a b c d ac bd ++≥+

〔2〕假设123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

〔3〕设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有

二、题型分析

题型一：利用根本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥

b

a 112+

2、

c

b a ,,为两两不相等的实数，求证：

ca bc ab c b a ++>++222

3、1a b c ++=，求证：222

13

a b c ++≥ 4、,,a b c R

+

∈，且

1a b c ++=，求证：

abc c b a 8)1)(1)(1(≥---

5、,,a b c R

+

∈，且

1a b c ++=，求证：

1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、〔2013年新课标Ⅱ卷数学〔理〕选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、〔2013年卷〔数学〕选修4—5：不等式选讲

0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域

1、求以下函数的值域

〔1〕22

21

3x x y +

= 〔2〕)4(x x y -= 〔3〕)0(1>+=x x x y 〔4〕)0(1

<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 〔一〕〔凑项〕

1、2>x ，求函数4

24

42-+-=x x y 的最小值；

变式1：2>x ，求函数424

2-+=x x y 的最小值；

变式2：2

24

2-+=x x y 的最大值；

练习：1、5

4x >，求函数14245

y x x =-+-的最小值； 2、5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值； 题型四：利用不等式求最值 〔二〕〔凑系数〕

1、当时，求(82)y x x =-的最大值；

变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

3

0<

变式：假设40<

3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=x x x y 的最大值；

〔提示：平方，利用根本不等式〕

变式：求函数)4

1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；

题型五：巧用“1〞的代换求最值问题

1、12,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

法一： 法二：

变式1：22,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值； 变式2：28

,0,

1x y x y

>+=，求xy 的最小值； 变式3：0,>y x ，且

11

9x y

+=，求x y +的最小值。 变式4：0,>y x ，且19

4x y

+=，求x y +的最小值； 变式5：

〔1〕假设0,>y x 且12=+

y x ，求11x y

+的最小值；

〔2〕假设+

∈R y x b a ,,,且1=+y

b

x a ，求y x +的最小

值；

变式6：正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，假设存

在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求

n

m 4

1+的最小值； 题型六：别离换元法求最值〔了解〕

1、求函数)1(110

72-≠+++=

x x x x y 的值域； 变式：求函数)1(1

8

2>-+=

x x x y 的值域； 2、求函数5

22

++=

x x y 的最大值；〔提示：换元法〕

变式：求函数9

41

++=

x x y 的最大值；

题型七：根本不等式的综合应用

1、1log log 22≥+b a ，求b

a

93+的最小值

2、〔2009**〕0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；

变式1：〔2010〕如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式

)

(112b a a ab a -++

的最小值； 变式2：〔2012诊断〕，当1,0≠>a a 时，函数

1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，假设点A 在直线

0=+-n y mx 上，求n m 24+的最小值；

3、0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值； 变式1：0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 围；

变式2：〔2010〕0,>y x ，

3

1

2121=+++y x ，求xy 最大值；〔提示：通分或三角换元〕

变式3：〔2011〕0,>y x ，12

2

=++xy y x ，求xy 最大值；

4、〔2013年〔理〕〕设正实数z y x ,,满足

04322=-+-z y xy x ,则当

z

xy

取得最大值