武汉大学2019-2020第二学期高等数学A2期末试卷(A卷)
2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题含解析
2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数log (8)a y ax =-(其中0a >，1a ≠)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)2．曲线1y x x =-上一点74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ）．A ．51680x y ++=B ．51680x y -+=C ．51680x y +-=D ．51680x y --=3．由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A ．1212V V =B ．1223V V =C ．12V V =D ．122V V =4．复数2)(1z i i =+(i 为虚数单位)等于（） A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -5．过点(2,0)-且斜率为23的直线与抛物线C ：24y x =交于M ，N 两点，若C 的焦点为F ，则FM FN ⋅=u u u u v u u u v（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++7．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．5(12)(2)x x --的展开式中，3x 的系数是（ ） A ．160B ．-120C ．40D ．-2009．已知集合A ＝{x ｜x ＜1}，B ＝{x ｜3x ＜1}，则A∩B＝（ ） A ．{x ｜x ＜0}B ．（x ｜x ＞0}C ．{x ｜x ＞1}D ．{x ｜x ＜1}10．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ） A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”11．已知等式 ，定义映射，则( )A ．B ．C ．D ．12．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_____________.14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是______．16．已知“x m ≥”是“124x>”的充分不必要条件，且m ∈Z ，则m 的最小值是_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >> 的离心率为22，其中左焦点()2,0F -.（1）求出椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点M 在曲线222x y +=上，求m的值.18．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.()1求证：平面ACG ⊥平面BCE ； ()2若3AB BC =，求二面角B CA G --的余弦值.19．（6分）如图，圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，1C C 是母线，12AC BC CC ===.（1）证明：1//AC 平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.20．（6分）已知函数2()(2)1x xf x te t e =++-，t ∈R .（Ⅰ）当1t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）当0t >时，若函数()()41xg x f x e x =--+在R 上有唯一零点，求t 的值 21．（6分）已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数，求1zi+.（其中i 为虚数单位） 22．（8分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450)，[450,550)，[550,650)金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求m ，n 值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？ 高消费群 非高消费群 合计 男 女 10 50 合计附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P k k …0.100.050.0100.0050k K02.7063.841 6.635 7.879参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围． 【详解】解：函数y ＝log a （8﹣ax ）（其中a ＞0，a ≠1）在区间[1，4]上单调递减， 当a ＞1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减且t ＞0， 故8﹣4a ＞0，求得1＜a ＜1．当0＜a ＜1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减，可得函数y ＝log a （8﹣ax ）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件． 综上，实数a 的取值范围为（1，1）， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题． 2．A 【解析】 【分析】求导利用导数的几何意义求出曲线1y x =-74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可. 【详解】 由题21'y x =-.故4215'|416x y ==-=-.故曲线1y x =-74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是()754416y x +=--. 化简得51680x y ++=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题. 3．C 【解析】【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等． 【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算法则求解. 【详解】()212 2.z i i i i =+==-g 故选B ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 5．D 【解析】分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由点斜式求出直线方程，与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，利用数量积的坐标表示可得结果. 详解：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为324y x =+， 联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得，y y -+=2680，解得122,4y y ==，不仿()()1,2,4,4M N ，()()0,2,3,4FM FN ==u u u u v u u u v，则()()0,23,48FM FN ⋅=⋅=u u u u r u u u r，故选D.点睛：本题考查抛物线的简单性质的应用，平面向量的数量积的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 6．C 【解析】分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：()()()()1111111121321k S k k k k +=+++++++++++L()111123421k k k k =++++++++L ()11111123422121k k k k k k =+++++++++++L ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++L ()1111111123422121k k k k k k k =++++++-++++++L ()112121k S k k =+-++. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【详解】函数2441()2x f x x-+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力． 8．D 【解析】 【分析】将已知多项式展开,将求展开式中3x 的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数;利用二项展开式的通项公式求出通项,令通项中的r 分别取32，求出二项式的含3x 和含2x 的系数． 【详解】555(12)(2)2(12)(12)x x x x x --=---5(12)x -Q 的展开式的通项为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-，令3r =得5(12)x -展开式中3x 的项的系数是35880C -=-, 令2r =得5(12)x -展开式中2x 的项的系数是25440C =,555(12)(2)2(12)(12)x x x x x ∴--=---的展开式中3x 的项的系数是2(80)40200⨯--=-.故选:D . 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,难度较易. 9．A 【解析】 【分析】分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{x|x ＜1}，B ＝{x|3x ＜1}＝{x|x ＜0}， ∴A ∩B ＝{x|x ＜0}． 故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法及指数不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．10．D【解析】【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确综上所述，故选【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．11．C【解析】试题分析：本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简．解：比较等式两边x3的系数，得4=4+b1，则b1=1，故排除A，D；再比较等式两边的常数项，有1=1+b1+b2+b3+b4，∴b1+b2+b3+b4=1．故排除B故应选C考点：二项式定理点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型．12．A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i1i 2i1i1i1iaa+-+=++-()()22i 2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．128 【解析】 【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论. 【详解】x Q 、y 满足组合数方程21717x yC C =，()208y xx ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128. 故答案为：128. 【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 14．283π-． 【解析】试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：，211212333S Sh ππ==⨯⨯=圆锥． 得体积为：283π-考点：三视图与几何体的体积． 15．0.768【解析】 【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．分别求解后根据互斥事件的概率加法公式求解即可． 【详解】至少连续2天预报准确包含3种情况： ①三天都预报准确，其概率为30.80.512=；②第一二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为20.80.20.128⨯=； ③第一天预报不准确，第二三天预报准确，其概率为20.20.80.128⨯=． ∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.5120.1280.1280.768P =++=．即所求概率为0.768． 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率的求法和互斥事件的概率，解答类似问题时首先要分清概率的类型，然后在选择相应的公式求解．某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化． 16．1- 【解析】 【分析】先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围. 【详解】1224x x >⇒>-，则由题意得2m >-，所以m 能取的最小整数是1-． 【点睛】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）22184x y +=（2）32m =或3m =-【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标求出,a b ，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出M 点横坐标，代入直线得到M 坐标；再将M 代入曲线方程，从而求得m . 【详解】（1）由题意得：2c a =，2c =解得：a =2b =所以椭圆C 的方程为：22184x y +=（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y由22184x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2234280x mx m ++-= 由29680m ∆=->，解得：m -<<所以120223x x m x +==-，003my x m =+= 因为点()00,M x y 在曲线222x y +=上所以222233m m ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭解得：32m =或3m =- 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果. 18．()1证明见解析；()27. 【解析】 【分析】()1推出CB AB ⊥，从而CB ⊥平面ABEF ，进而得出CB AG ⊥，再得出AG BE ⊥，从而AG ⊥平面BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE ；()2以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B CA G --的余弦值.【详解】解：()1证明：Q 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥， 平面ABCD I 平面ABEF AB =.∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥.在菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，可知ABE △为等边三角形，G 为BE 中点，∴AG BE ⊥.Q BE CB B =I ，∴AG ⊥平面BCE .Q AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .()2由()1知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG ，AF ，AD 两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系. 设2AB =，则23BC =，()0,0,0A ，()3,0,0G ，233,1,C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，()3,1,0B -.设(),,m x y z =u r为平面ABC 的法向量，由00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得302330x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取()1,3,0m =u r ，同理可求平面ACG 的法向量()0,2,3n =r，∴2321cos ,27m n m n m n ⋅===⨯u r ru r r u r r ，即二面角B CA G --的余弦值等于217.【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）43. 【解析】 【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD ，利用三角形中位线定理证明1//OD AC ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用面面垂直的性质证明CD ⊥平面11ABB A ，可得点C 到平面11A DB 的距离为CD ，由11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆==⨯，结合棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（1）如图，连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .Q 四边形11BCC B 是矩形，O ∴是1BC 的中点.∴点D 为AB 的中点，1//OD AC ∴.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1//AC ∴平面1B CD . （2）AC BC =Q ，AD BD =，CD AB ∴⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =，CD \^平面11ABB A ，∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin24CD AC π==.11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆∴==⨯111111422223263A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、以及棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20．（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞.极大值是34-，无极小值.（Ⅱ）1 【解析】 【分析】（Ⅰ）把1t =-代入2()(2)1xx f x tet e =++-，令()0f x '=，求出极值点，再求出()f x 的单调区间，确定函数的极值；（Ⅱ）函数()()41xg x f x e x =--+在R 上有唯一零点，等价于()g x 的极小值等于0，列出等式，可求得t. 【详解】解：（Ⅰ）当1t =-时，2()1xx f x ee =-+-，则()2()2ee e 12e xx x x f x '=-+=-，令()0f x '=，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞. ∴()f x 的极大值是3(ln 2)4f -=-，无极小值. （Ⅱ）当0t >时，()()41xg x f x e x =--+2e (2)e xx t t x =+--，由2()2e(2)e 1xx g x t t '=+--()()e 12e 10x xt =-+=，得ln x t =-，∴()g x 在(,ln )t -∞-上单调递减，在(ln ,)t -+∞上单调递增， ∴()g x 的极小值是(ln )g t -，∴只要(ln )0g t -=，即1ln 10t t-+=， 令1()ln 1F t t t =-+，则211()0F t t t '=+>，∴()F t 在(0,)+∞上单调递增. ∵(1)0F =， ∴t 的值是1. 【点睛】本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.21【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义出复数z ，再代入目标式子利用复数的运算法则、模的计算公式即可得到答案． 【详解】复数3i()z b b =+∈R ，且(1)3i z +⋅为纯虚数．即(13)(3)33(9)i bi b b i +⋅+=-++为纯虚数，330b ∴-=，90b +≠， 解得1b =．3z i ∴=+．∴3(3)(1)42211(1)(1)2z i i i i i i i i i ++--====-+++-，|||2|1zi i∴=-=+ 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查对概念的理解、考查基本运算求解能力，属于基础题．22．（1）0.0025,0.0035m n ==，470x =（2）没有90%的把握 【解析】分析：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+，得,m n ，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；（2）由题知数据完善2×2列联表，计算2K ，查表下结论即可. 详解：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+ 解得0.0025,0.0035m n == 所求平均数为：3000.154000.355000.256000.157000.10470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：根据上表数据代入公式可得()22100154035101001.332.7062575505075K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式1122···n n x x p x p x p =+++计算.其中n x 代表第n 个矩形的横边的中点对应的数，n p 代表第n 个矩形的面积.。
2019-2020学年高数下试卷4及答案
评阅人
解：
所求方程为
即
得分
评阅人
解：设过已知直线的投影平面方程为
即
于是
因此
投影平面方程为
投影直线方程为
得分
评阅人
解；
或
得分
评阅人
解：
或
得分
评阅人
解：令 ，
则
法线方程为
或法线方程为
得分
评阅人
解：因为
所以 ，
得分
评阅人
四、综合题(每题9分，共18分)
得分
评阅人
积分与路径无关
得分
评阅人
解：
五、证明题(8分)
得分
评阅人
证
一
二
三
四
五
总分
1
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
9
9
8
，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
二、选择题(每题3分，共15分)
得分
评阅人
三、计算题(每题7分，共49分)
2019—2020学年第二学期考试卷4
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
《高等数学(A)Ⅱ》课程(工科本科级)课程类别：必
闭卷（√）考试日期：
题号
2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题含解析
2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 2．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．3．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记x 表示该自由职业者平均每天工作的小时数，y 表示平均每天工作x 个小时的月收入.假设y 与x 具有线性相关关系，则y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点( ) A ．()3,3 B ．()3,4C ．()4,4D ．()4,5【答案】C 【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果. 详解：因为23456 2.534 4.564,455x y ++++++++====，所以线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点()4,4, 选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .4．已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A ．0.75 B ．0.6C ．0.52D ．0.48【答案】A 【解析】 【分析】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年， 则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===，故选A. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】A 【解析】由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -===-∴=+++-，故选A. 7．对于函教,以下选项正确的是( )A ．1是极大值点B ．有1个极小值C ．1是极小值点D ．有2个极大值【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点,再逐项判断即可． 【详解】当当，故1是极大值点,且函数有两个极小值点故选：A 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 8．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=++++，则20191222019222a a a ++⋯+的值为（ ） A ．2 B ．0C ．1-D ．1【答案】C 【解析】【分析】分别令0x =和12x =即可求得结果. 【详解】()201922019012201912x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+令0x =，可得：01a = 令12x =，可得：2019122201901222a a a =+++⋅⋅⋅+201912220191222a a a ∴++⋅⋅⋅+=- 故选C 【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.9．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误 B ．大前提是错误的 C ．小前提是错误的 D ．结论是真确的【答案】B 【解析】分析: 指数函数xy a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。
高等数学A(二)(答案及得分详解)
高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。
(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。
(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。
(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。
(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。
(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。
(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。
2019-2020学年武汉市数学高二(下)期末统考试题含解析
2019-2020学年武汉市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，向量2a b +v v 与b v 垂直，则a v 与b v 的夹角为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°【答案】B 【解析】∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ，∴2||2b a b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒． 故选B ．2．已知随机变量~(,)B n p ξ，若() 4.8,() 2.88E D ξξ==，则实数n p ，的值分别为( ) A ．4，0.6 B ．12，0.4C ．8，0.3D ．24，0.2【答案】B 【解析】 【分析】由~(,)B n p ξ，可得(),()(1)E np D np p ξξ==-，由此列出关于n p ，的方程组，从而得出结果。
【详解】 解：据题意，得 4.8(1) 2.88np np p =⎧⎨-=⎩,解得120.4n p =⎧⎨=⎩，故选B 。
【点睛】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键。
3．若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．4．已知0.22x =，2lg 5y =，7525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别求得,,x y z 的范围，利用临界值可比较出大小关系. 【详解】0.20221x =>=；2lg lg105y =<=；7522155z ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0z > y z x ∴<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分. 5．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ）A ．()± B ．()±C ．()±D ．()±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标． 【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x轴上，所以焦点坐标为()±．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题． 6．已知i 为虚数单位，则复数1z ii=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.详解：：由于复数，1i z i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-， 在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．若集合{}A x R ==∈，{}1,B m =，若A B B ⋃=，则m 的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D或2【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A ，由A B B ⋃=，得出A B ⊆，于此可得知实数m 的值. 【详解】=22x x =-，得220x x --=，由于0x ≥，2x ∴=，则{}2A =，A B B =Q U ，A B ∴⊆，2m ∴=，故选：A.【点睛】本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。
2019—2020学年第二学期期末考试试卷和答案
收敛收敛收敛 =-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4 则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、 ；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解： -==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。
2019-2019学年第二学期高等数学试题(A卷)共3页
命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内）1.下列积分中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A. ⑴B. ⑴⑶C. ⑴⑷D. ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性， 正确的有（ ）A. ⑴B. ⑵C. ⑶D. ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜发散，则（ ）A. 原级数绝对收敛B. 原级数发散C. 原级数敛散性不定D. 原级数条件收敛 4.设⎰⎰2=DdxdyI ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I（ ）A. πB. π2C. π6D. π155.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是 （ ） A.π7128B.π596 C. π564 D.π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得共6页第1页4.微分方程0=3+'4+''y y y 满足初始条件2=0=x y，6='0=x y 的特解为三、解答题（每小题6分，共12分）： 1.设yzz x ln =确定函数),(y x f z =，求xz ∂∂.2.设v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂. 四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3n nn n .六、解答题（7分）： 级数∑∞1=1-11-n n n)(是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解. 八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：共6页第4页九、解答题（7分）： 将函数2--=2x x xx f )(展成x的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy，其中D 是由直线xy =和圆1=1-+22)(y x 所围成且在直线xy =下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰0-+=x x dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
2019-2020学年高数下试卷5及答案
2019—2020学年第二学期考试卷5高等数学(A)Ⅱ课程 工科 类别：必 闭卷（√）试卷编号： (A)卷考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
3、考试独立完成，发现雷同试卷一律按零分处理。
一、填空题（共6题，每题2分，共12分）ln 1x x yzx z y y=∂∂=则，设、)d (d d ) (d 2 1 01 02⎰⎰⎰⎰=yyxx x y x f yy y x f x，，交换积分次序、34d 1 3222π==++Ω⎰⎰⎰Ωv z y x 则围成，由球面设、 41d )1 1()0 0( 42==⎰Cx xy A O x y C 则，，到，从点为曲线设、∑∞=+-=+=012)1( )(21)( 5n n n n x x f x x x f 的幂级数为展开成函数、 044 2 6=+'-''y y y 则该方程为，的实根方程的特征方程有相同设二阶常系数线性齐次、二、计算题（58分）1、多元函数微分学应用（共2题，每题6分，共12分）切平面方程处的，，在点求曲面)2 1 1()1(32-+=y x z 的极值求函数x y xy x y x f 3),( )(222++-=23 2 y z x z y x ='='，解：Θ y x f y x f y x 2 32 +-='+-='，解： }1 3 2{ --=∴，，法向量n ρ )1 2( 02032--⎩⎨⎧=+-=+-，得解y x y x 0)2()1(3)1(2 =---++-z y x 故切平面方程为2 1 2 =''-=''=''yy xy xxf f f ，，又 0332 =++-z y x 即 02 03C 2>=<-=-A A B 且，故 3)1 2(-=--，因此所求极小值为f2、重积分（共2题，每题6分，共12分）围成和由抛物线其中，利用直角坐标求2 d d )1(x y x y D y x y xI D===⎰⎰⎰⎰=xx y y x xI 1 02d d 解： ⎰⎰=yy x y x yI 12d d⎰-=1 0343)d (32x x x x ⎰-=14)d (21y y y y556)51114(32105411=-=x x556)11252(211021125=-=y y围成、及平面由柱面其中，利用柱面坐标求1 04 d )2(2222===+Ω+=⎰⎰⎰Ωz z y x v y x I⎰⎰⎰=122 0 2 0d d d z r rI πθ解：⎰⎰=2 022 0 d d r r πθ⎰=πθ2 0d 38316π=3、曲线积分（共2题，每题6分，共12分）的一段弧，与，上点为抛物线其中，求曲线积分)2 2()0 0( 2 d )(12A O x y C s y C=⎰y x y x y ='∴= 22，解：Θ xy 21='⎰⎰+=22d 1dy y y s y C故⎰⎰+=2d 2112d x xx s y C22322 0 22)1(31)d(1121y y y y +=++=⎰ ⎰++=2 0 )2d(12121x x 2023)21(31x +=)155(31-= )155(31-=所做的功，，求此过程力，，，移动到点，，从点：一质点沿曲线} { )1 1 1()0 0 0( )2(32x y z F A O tz t y t x L -=⎪⎩⎪⎨⎧===ρ⎰+-=Lz x y y x z W d d d 解：⎰⋅+⋅-=1223d )32(t t t t t t2121d 210413===⎰t t t4、无穷级数（共2题，第(1)题4分，第(2)题6分，共10分）的敛散性判断级数∑∞=+151)1(n n n2/3511 nn n <+Θ解：收敛又∑∞=12/31n n收敛∑∞=+∴1511n n装 的收敛域求幂级数∑∞=121)2(n n x n1)1(lim /1)1/(1lim 2222=+=+=∞→∞→n n n n n n ρΘ解： 1 =∴R收敛级数时，当∑∞=--=12)1( 1n nn x 收敛级数时，当∑∞==1211n nx 订 ]1 1[，故收敛域为-5、微分方程（共2题，每题6分，共12分）的通解求微分方程xyx y y 2)1(+='xyu =令解： x x u ud 1d 21 =则原方程化为C x u +=ln 两边积分得 2)(ln lnC x x y C x xy+=+=即，所求通解为线 的通解求微分方程x y cos )2(=''' 1sin d cos C x x x y +==''⎰解：211cos d )(sin C x C x x C x y ++-=+='⎰3221212sin d )cos (C x C x C x x C x C x y +++-=++-=⎰通解、三、综合题（共2题，每题10分，共20分）的通解求微分方程、1234 1+=+'+''x y y y034 2=++r r 特征方程为解： 3 1 21-=-=⇒r r 、 x x C C Y 321e e --+=故齐次方程的通解为 b ax y +=*设特解 12343 *+=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧=+=⇒13423b a a 95 32-==⇒b a 、 9532*-=⇒x y9532e e 321-++=--x C C y x x 故通解为)1 1(2)0 0(d )e (d )2e ( 222，到点沿曲线，从点其中，求曲线积分、A x y x O C y y x x x I Cy y =++++=⎰y x Q x P yy+=+=e 2e ，令解：，y y xQy P e e =∂∂=∂∂，则无关故曲线积分与积分路线， yP x Q ∂∂=∂∂⇒ ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d 因此 ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d⎰⎰+++=10 1 0d )e (d )21(y y x x y⎰⎰++=110 d )2e (d x x y y102102)21e ()(y x x y+++= 102102)e (21x x y ++= 23e += 23e +=四、证明题（共2题，第1题6分，第2题4分，共10分）z yz y x z x u f x y f x z -=∂∂+∂∂= )( )(1 1证明：可导，其中，设、f xy f x x z '--=∂∂321 Θ证： ， f x y z '=∂∂21z f x f xy f x y f x y z y x z x -=-='+'--=∂∂+∂∂∴11 22发散证明级数，常数收敛，设级数、∑∑∞=∞=+≠11)( 0 2n nn n a u a u0lim 1=∴∞→∞=∑nn n n u u 收敛，证：Θ发散故，∑∞=∞→+≠=+=+⇒1)( 00)(lim n nn n a ua a a u。
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武汉大学2019-2020学年
第二学期期末《高等数学A2》考试试卷（A 卷）
一、试解下列各题(每小题5分，共50分)1.讨论二重极限00
11lim()sin x y x y x y →→+的存在性。
2.设级数11()n n n a
a ∞-=-∑收敛，1(0)n n n
b b ∞=≥∑收敛，证明：1n n n a b ∞
=∑绝对收敛。
3.设(,,)u f x y z =有连续偏导数，函数(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，函数()y y x =由0sin x y
x t e dt t -=⎰确定，求du dx
.4.设2[,()]z f x y xy ϕ=-,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,)(u ϕ二阶可导,求y
x z ∂∂∂2.5.已知全微分()()y y xy x x y xy x y x f d 2d 2),(d 2222--+-+=，求),(y x f 的表达式。
6.设曲面方程为0),(=--by z ax z F （b a ,为正常数）,(,)F u v 具有一阶连续的偏导数，且02
2≠+v u F F ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量。
7.求22(,)f x y x y y =++在区域222
22:4,12x D x y y +≤+≥上的平均值。
8.求2(,,)F x y z yzi z k =+ 穿出曲面∑的通量，∑为柱面：221,0y z z +=≥被平面
0,1x x ==截下部分。
9.计算积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰ ，其中∑为球面：2222x
y z R ++=的外侧。
10.设∑
为半球面z =(23)x y z dS ∑++⎰⎰.
二、(10分)已知空间曲线Γ：22223620
x y z x y z ⎧+-=⎨--=⎩，且空间曲线Γ在xoy 坐标面的投影曲线为L ,若取L 为顺时针方向，求曲线积分22
223L ydx xdy x y -+⎰．三、(8分)考察两直线111:
213
x y z l +-==-和2:42,3,24l x t y t z t =+=-+=-，是否相交？如相交，求出其交点，如不相交，求出两直线之间的距离d .
四、(本题24分，其中（1）8分，（2）8分，（3）4分，（4）4分，)已知某座小山的表面形状曲面方程为2275z x y xy =--+，取它的底面所在的平面为xoy
坐标面。
(1)设点00(,)M x y 为这座小山底部所占的区域D 内的一点，问高函数(,)h x y ，在该点沿平面
上什么方向的方向导数最大？记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试求00(,)g x y 的表达式。
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚寻找上山坡度最大的点作为攀岩的起点,试确定攀岩起点的位置。
(3)试用多元函数积分式表示山体的体积V （只需给出二重积分式，不用计算积分）。
(4)设山的表面分布着某种物质，其质量面密度为(,,)x y z ρ=，试用重积
分表示分布在山体表面的物质质量（只需给出重积分式，不用计算积分）。
五、（8分）求数项级数201(1)(1)2n
n n n n ∞=--+∑的和。