高二数学合情推理与演绎推理1
合情推理和演绎推理
合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； ∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ∙检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b ccc+=+（c ≠0）”D.“nna ab =n（b ）” 类推出“nna ab +=+n（b ）” 3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
合情推理和演绎推理之间的联系和差异-高中数学知识点讲解
合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、 知识讲解推理：由一个或几个事实（或假设）得出一个判断的思维方式前提为真，结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理 称为归纳推理(简称归纳).特征：从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤：已知条件 观察归纳 大胆猜想 检验猜想（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 检验猜想（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 这种推理称为演绎推理．说明：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论可表示为：大前提：M 是P小前提：S 是M结 论：S 是P二、典型例题例 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中 有 个点.例 根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例 证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三：小结思考 设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且 （1）5=2+3，请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g （）,来表示 ；（2）如果（1）中获得一个结论，请你推测能否将其推广.。
合情推理与演绎推理
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型 试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的 性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之 间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们 可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的 迁移．
[典例] 12 ＝ 1
(1)(2013· 陕西高考)观察下列等式
12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 „„
等式左右两边的 项、上下式变化 有什么规律？ 代入求值，观 察归纳解析式
照此规律，第 n 个等式可为________． x (2)已知函数 f(x)＝ (x＞0)． 如下定义一列函数： f1(x)＝f(x)， x＋2
[类题通法]
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三 段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推 理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一 般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这 两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系， 从而产生了第三个判断：结论．
n＋1nn＋1
2
.
x (2)依题意得，f1(x)＝ ， x＋2 x x＋2 x x f2(x)＝ x ＝ ＝ 2 2， 3x＋4 2 －1x＋2 ＋2 x＋2
x 3x＋4 x x f3(x)＝ x ＝ ＝ 3 3，„， 7x＋8 2 －1x＋2 ＋2 3x＋4 x 由此归纳可得 fn(x)＝ n n(x＞0)． 2 －1x＋2
合理推理与演绎推理
【思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成
的区域数
S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
【解析】设平面被n条直线分成
S 1 =1＋1=2； 当n=2时，
S n 部分，则 当n=1时，
S 2 =1＋1＋2=4； 当n=3时，
S 3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。
1.
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一
般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般
的推理，归纳推理简称归纳。
(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理，类比推理简称类比。
完全归纳是指没有办法穷尽 全部被研究的对象，得出的
的特征进行归纳。归纳是指 通过对特例的分析来引出普
陈述，结论是从前提中通过 推理而获得的猜想，是普遍
结论只能算猜想结论的正确 与否有待于进一步证明或举
遍结论的一种推理形式，它 由推理的前提和结论两部分
性的陈述、判断。归纳分为 完全归纳与不完全归纳，不
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2.1 合情 推理与演
绎推理
2023
01 一.推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判 断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分 组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由 已知推出的判断，叫做结论。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征， 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星，也有大气层， 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理， 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！ 不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋ 思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1， ＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么？ 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确， 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 球心与截面（非大圆） 圆心与弦（非直径） 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等， 弦不等，距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为： 圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等， 积不等，距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程
如图所示， 例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则， 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片； （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测： 个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次？ 针，最少需要移动多少次？
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银行对银行账户的使用要求： 患者男性，20岁。昨日进食海产品，今日开始较频繁腹泻，水样便，继之呕吐，但无腹痛，不发热，口渴，腓肠肌疼痛，体查：体温36℃，BP60/40mmHg，脱水，呼吸平稳，心肺正常，腹平软、无压痛，四肢微凉。血象：WBC20.0×10/L，粪便镜检：WBC0～2/HP。抢救该病人，最紧急措施是A.大量 驾驶台组织总的原则应包括：A.委派给驾驶员合适的任务B.班组成员成员尽职尽责C.消除成员中任何一人的失误D.以上均对 河南位于中国中东部、黄河___，因大部分地区位于黄河以南，故称河南。A.上游B.中游C.中下游D.下游 多发性骨髓瘤患者出现咳嗽，咳痰，气急，胸片检查发现病变后行CT检查如图，最可能的诊断为()A．肺部感染B．两肺结核C．骨髓瘤转移肺部D．肺淀粉样变性E．肺转移瘤 目前液压防喷器的通径尺寸共有种规格。A、8B、10C、12 [单选,案例分析题]某地区拟建一座500kV变电站，站地位于Ⅲ级污秽区，海拔高度不超过1000m，年最高温度为40℃，年最低温度为-25℃。变电站的500kV侧，220kV侧各自与系统相连。3kV侧接无功补偿装置。该站远景规模为：主变压器4×750MVA，500kV出线6回，220kV出线14回，500kV电 属于碘对人体的作用A.构成骨骼和牙齿的主要成分B.抗过氧化C.对生殖功能的维护作用D.导致细胞凋亡E.甲状腺素合成的原料 者建立了静脉通道并进行输血治疗。因时间紧迫，从血库取回血后，为了尽早将血输给患者，护士便将血袋放在热水中提温，5分钟后为患者输入。当输入15分钟左右，患者感到头部胀痛，出现恶心呕吐，腰背部剧痛。此反应的产生最可能的原因是()A．输入了对患者致敏的物质B．输入了异型血 循喉咙、夹舌本的是。A.手少阴心经B.手太阴肺经C.足少阴肾经D.足太阴脾经E.足厥阴肝经 球墨铸铁QT400-18中的18表示铸铁的（％）A、含石墨量B、含碳量C、伸长率D、截面收缩率 待生催化剂 [单选,A2型题]某70岁女患者，因尿路感染于天前开始服用氨苄青霉素。现出现腹泻。取便标本，培养出大量革兰阳性葡萄球菌。试问腹泻发生机制是A.菌群失调B.肠毒素使腺苷环化酶活性增加C.细菌侵袭肠黏膜所致D.内毒素作用于肠黏膜E.肠蠕动加快 小儿时期中性粒细胞与淋巴细胞两次比例相近发生在什么时间A.1～2天与1～2岁B.2～4天与2～4岁C.4～6天与4～6岁D.6～8天与6～8岁E.8～20天与8～10岁 婴儿每日需摄入水分量为A.120ml／kgB.140ml／kgC.150ml／kgD.160ml／kgE.180ml／kg 患儿，女性，7岁，左下第一恒磨牙由于龋坏而充填，右下第一恒磨牙未发现龋，窝沟深窄，探针可探入，最恰当的处理是。A.应用含氟牙膏B.预防性树脂充填C.局部涂氟D.窝沟封闭E.观察不需处理 砌筑砂浆主要的材料是A、水泥B、砂子C、石灰膏D、水 地球绕太阳逆时针旋转是，其轨道平面为。 鼠染色体对数为A、20对B、21对C、22对D、23对 形名参同 难复性疝应为。A.所有不能还纳的腹外疝B.所有疝发生后可导致肠梗阻的腹外疝C.疝内容物长期不能还纳但无血运障碍D.疝内容物突然突出不能还纳但无血运障碍E.疝内容物突然突出不能还纳且有血运障碍 有关脑转移瘤，下列描述错误的是A.脑实质转移B.硬脑膜转移C.软脑膜转移D.室管膜转移E.所有转移瘤均伴有水肿 社区党组织的主要职责是什么？ [单选,共用题干题]患者女，58岁，因“做家务过程中突发意识丧失10分钟”来诊。患者入院时呼吸和脉搏均消失，心电监护显示为心室颤动，立即行心肺复苏20分钟及2次电除颤后，患者恢复自主心律，呼吸仍未恢复，行气管插管后送入重症监护室继续治疗。患者既往有冠心病史。进入重症监护 患者，男性，20岁，左眼视力渐进性下降。查远视力：右眼为0.8，左眼为0.2。检查无斜视，裂隙灯、眼底镜检查未见有明显器质性病变。帮助进一步明确诊断最好的方法是()A．滴用阿托品后验光B．小瞳孔验光C．电脑验光D．测近视力E．做角膜地形图测定 以下为肺血增多的X线征象，但除外A.肺野内肺血管增多B.肺动脉段膨凸C.肺门舞蹈D.肺门血管增粗、扭曲E.肺野透亮度增高，血管纹理纤细 在9月20日全国“爱牙日”社区口腔健康咨询中人们提出了不少问题，口腔预防保健人员进行了认真分析，策划在不同人群中开展口腔健康教育活动。为了提高中小学生口腔健康水平，在中小学生中提倡A.学习使用牙线和牙间刷B.学习窝沟封闭的操作知识C.德智体美全面发展D.学习口腔健康保健 葡萄糖是？ 将等物质的量的SO2、H2S于常温下在定容的密闭容器中充分反应后恢复到常温，容器内是原压强的。A、1/2B、1/4C、<1／4D、>1／4 二甲双胍的机制A.抑制α-葡萄糖苷酶B.促进胰岛α细胞释放胰岛素C.促进组织利用葡萄糖D.减少胰岛素对抗物的释放E.降低胰岛素的代谢速度 简述天沟的做法。 在判断甲状腺结节良恶性时，下列哪项不正确。A.单发结节恶性机会较多发结节大B.囊性结节也有可能是恶性的C."冷结节"都是恶性的D.实性结节的恶性率较高E.儿童单发结节的恶性概率较大 直径＞300～600制动轮安装后允许端面轴向跳动量应＜。A、1mmB、0，2mmC、0.25mmD、0.5mm 灌肠时压力宜低的情况为A.做乙状结肠镜检查前灌肠B.做胆囊切除术前灌肠C.10%水合氯醛灌肠D.高热患者降温灌肠E.行子宫切除术前的灌肠 ()是调整商事法律关系主体和商事活动的法律规范的总称。A.经济法B.商法C.社会法D.民法 川芎茶调散中长于治疗少阳、厥阴经头痛药物是A.细辛B.荆芥C.川芎D.白芷E.羌活 磨牙修复体邻面接触点的位置应恢复在A.邻面颊1/3处B.邻面中1/3处C.邻面颊1/2处D.邻面舌1/2处E.邻面龈1/3处 巴比妥类药物与碱溶液共热，水解释放出氨基，是由于()A．分子结构中含有硫元素B．分子结构中含有丙烯基C．分子结构中含有苯取代基D．分子结构中含有羰基E．分子结构中含有酰亚胺基团 阀门垫片泄漏的预防和排除方法有哪些？ 针对Internet上的安全问题，我们的对策一般为___。A.安装杀毒软件B.安装防火墙C.A、B项都安装D.不上网