数列全章复习及练习题精编版
数列基础知识复习题与答案
数列复习（1）1、若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列 (C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{a n }中，a 1=3,a 100=36,则a 3＋a 98等于 ( )(A)36 (B)38 (C)39 (D)423、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)n n 12+ (B)n n 1+ (C)n n 1- (D)nn 21+ 4、设等差数列的首项为a,公差为d ，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是( )(A)a ＞0,d ＞0 (B)a ＞0,d ＜0 (C)a ＜0,d ＞0 (D)a ＜0,d ＜0 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，已知S 10＝4S 5，则da 1是 ( ) (A)21 (B)2 (C)41(D)4 6、设{a n }是公差为－2的等差数列，如果a 1+ a 4+ a 7+……+ a 97=50，则a 3+ a 6+ a 9……+ a 99= ( ) (A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 7、等差数列{a n } 中，S 15=90，则a 8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)128、等差数列{a n }中，前三项依次为xx x 1,65,11+，则a 101= ( ) (A)3150 (B)3213 (C)24 (D)3289、数列{a n }的通项公式nn a n ++=11，已知它的前n 项和为S n =9，则项数n= ( )(A)9 (B)10 (C)99 (D)10010、等差数列{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，求a 2+a 8= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)2412、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)1213、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 14、等差数列{a n }的公差为21，且S 100=145，则奇数项的和a 1+a 3+a 5+……+ a 99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值15、等差数列{a n }中，a 1+a 2+……a 10=15，a 11+a 12+……a 20=20，则a 21+a 22+……a 30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)4516、等差数列{a n }中，a 1=3，a 100=36，则a 3+a 98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)4517、{a n }是公差为2的等差数列，a 1+a 4+a 7+……+a 97=50，则a 3+a 6+……+ a 99= ( ) (A)－50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{a n }中，S 17=102，则a 9= ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 19、夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( ) (A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)1800 20、若x≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么=--31b y xa( )(A)43 (B)34 (C)32(D)值不确定 21、一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是 ( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)2022、等差数列{a n }中如果a 6=6，a 9=9，那么a 3= ( )(A)3 (B)32 (C)916(D)4 23、设{a n }是等比数列，且a 1=32，S 3=916，则它的通项公式为a n = ( )(A)1216-⎪⎭⎫⎝⎛∙n (B)n ⎪⎭⎫⎝⎛-∙216 (C)1216-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙n (D)1216-⎪⎭⎫⎝⎛-∙n 或23 24、已知a 、b 、c 、d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22= ( )(A)1 (B)21 (C)41 (D)8125、已知等比数列{a n } 的公比为q ，若21+n a =m （n 为奇数），则213+n a = ( )(A)mq n －1(B) mq n(C) mq(D)8126、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )(A)60 (B)70 (C)90 (D)12627、若{a n }是等比数列，已知a 4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是 ( )(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－512 28、数列{a n }、{b n }都是等差数列，它们的前n 项的和为1213-+=n n T S n n ，则这两个数列的第5项的比为 ( )(A)2949 (B)1934 (C)1728 (D)以上结论都不对 29、已知cb b a ac lg lg 4lg2∙=，则a ，b ，c ( )(A)成等差数列 (B)成等比数列 (C)既成等差又成等比 (D)既不成等差又不成等比30、若a+b+c ，b+c －a ，c+a －b ，a+b －c 成等比数列，且公比为q ，则q 3+q 2+q 的值为 ( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)231、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) (A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项 32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比后三个数成等差，则二数之和为 ( )(A)2113(B)04111或 (C)2110 (D)21933、数列1，211+，3211++，……，n+⋅⋅⋅++211的前n 项和为 ( )(A) n n 12+ (B)122+n n (C)12++n n (D)12+n n34、设数列{a n }各项均为正值，且前n 项和S n =21（a n +na 1），则通项a n 为 ( ) (A) a n =n n -+1 (B) a n =1--n n (C) a n =12+-+n n (D) a n =12-n 35、数列{a n }为等比数列，若a 1+ a 8=387，a 4 a 5=1152，则此数列的通项a n 的表达式为 ( ) (A) a n =3×2n -1 (B) a n =384×（21）n -1 (C) a n =3×2n -1或a n =384×（21）n -1(D) a n =3×（21）n -1 36、已知等差数{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，则a 1+ a 9= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)30037、已知等比数列{a n }中，a n ＞0，公比q≠1，则 ( )(A)26242723a a a a +〉+ (B)26242723a a a a +〈+ (C)26242723a a a a +=+ (D)的大小不确定与26242723a a a a ++38、在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)639、等比数列{a n }中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)2140、某厂产量第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年增长率为x ，则有 ( ) (A)3r q p x ++=(B)3r q p x ++<(C)3r q p x ++≤ (D)3rq p x ++≥ 二、填空题1、已知等差数列公差d ＞0,a 3a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20=_______2、数列{a n }中，若a 1,a 2,a 3成等差数列,a 2,a 3,a 4成等比数列,a 3,a 4,a 5的倒数又成等差数列，则a 1,a 3,a 5成_______数列3、已知{a n }为等差数列,a 1=1,S 10=100,a n =_______.令a n =log 2b n ,则的前五项之和S 5′=_______4、已知数列)2)(1(1,,201,121,61++n n 则其前n 项和S n =________.5、数列前n 项和为S n =n 2+3n,则其通项a n 等于____________.6、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为187, 则n 的值为________.7、已知等差数列{a n }的公差d≠0, 且a 1,a 3,a 9成等比数列,1042931a a a a a a ++++的值是________.8、等差数列{a n }中, S 6=28, S 10=36(S n 为前n 项和), 则S 15等于________.9、等比数列{a n }中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a 3+a 6+a 9+…a 99等于________. 10、等差数列{a n }中, a 1=1,a 10=100,若存在数列{b n }, 且a n =log 2b n ,则b 1+b 2+b 3+b 4+b 5等于_____. 11、已知数列1,,3,2,1nn n n n n --- , 前n 项的和为____________. 12、已知{a n }是等差数列,且有a 2+a 3+a 10+a 11=48, 则a 6+a 7=____________.13、等比数列{a n }中, a 1+a 2+a 3+a 4=80, a 5+a 6a 7+a 8=6480, 则a 1必为________. 14、三个数a 1、1、c 1成等差数列，而三个数a 2、1、c 2成等比数列， 则22c a ca ++等于________.15、已知12, lgy 成等比数列, 且x ＞1,y ＞1, 则x 、y 的最小值为________. 16、在数列{a n }中, 5221-=+n nn a a a , 已知{a n }既是等差数列, 又是等比数列,则{a n }的前20项的和为________. 17、若数列{a n }, )1)(2(1,3211+++==+n n a a a n n 且 (n ∈N), 则通项a n =________. 18、已知数列{a n }中, n n a a a )12(,22314-=-=+(n≥1), 则这个数列的通项公式a n =________.19、正数a 、b 、c 成等比数列, x 为a 、b 的等差中项, y 为b 、c 的等差中项, 则a cx y+的值为________.20、等比数列{a n }中, 已知a 1·a 2·a 3=1,a 2+a 3+a 4=47, 则a 1为________.数列复习（2）1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被7整除.2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值.4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S .5、已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{na 1}的前n 项和.6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i =1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 11+n m ,…也成等差数列.7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值.8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ，第n 项等于m(其中m ≠n)，求数列{x n }的前m ＋n 项的和。
数列专题复习题
数列专题复习题数列是数学中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在高中数学中，数列也是一个重要的考点，掌握数列的性质和求解方法对于解题非常有帮助。
本文将通过一些复习题，帮助读者巩固数列的相关知识。
1. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前10项。
解析：根据通项公式，我们可以依次计算出前10项的值：a1 = 2*1 + 1 = 3，a2 = 2*2 + 1 = 5，a3 = 2*3 + 1 = 7，以此类推，可以得到数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21。
2. 已知数列{bn}的通项公式为bn = 3n^2 + 2n，求该数列的前5项的和。
解析：要求数列的前5项的和，我们可以依次计算出前5项的值，并将它们相加。
b1 = 3*1^2 + 2*1 = 5，b2 = 3*2^2 + 2*2 = 18，b3 = 3*3^2 + 2*3 = 35，b4 = 3*4^2 + 2*4 = 58，b5 = 3*5^2 + 2*5 = 87。
将这5个数相加得到的和为5 + 18 + 35 + 58 + 87 = 203。
3. 数列{cn}满足c1 = 1，cn+1 = cn + 2n，求该数列的前6项。
解析：根据给定的递推关系式，我们可以依次计算出前6项的值。
c1 = 1，c2= c1 + 2*1 = 1 + 2 = 3，c3 = c2 + 2*2 = 3 + 4 = 7，c4 = c3 + 2*3 = 7 + 6 = 13，c5 = c4 + 2*4 = 13 + 8 = 21，c6 = c5 + 2*5 = 21 + 10 = 31。
因此，数列的前6项为1，3，7，13，21，31。
4. 已知数列{dn}满足d1 = 1，dn+1 = 2dn + 1，求该数列的前5项的和。
解析：要求数列的前5项的和，我们可以依次计算出前5项的值，并将它们相加。
d1 = 1，d2 = 2*d1 + 1 = 2*1 + 1 = 3，d3 = 2*d2 + 1 = 2*3 + 1 = 7，d4 = 2*d3 + 1 = 2*7 + 1 = 15，d5 = 2*d4 + 1 = 2*15 + 1 = 31。
数列复习题大全
数列复习题大全数列复习题大全数列是数学中的重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数学中，数列有着广泛的应用，涉及到各个领域，如物理、经济学、计算机科学等。
掌握数列的概念和性质对于学习和应用数学都具有重要意义。
本文将为大家提供一些数列的复习题，帮助大家巩固数列的知识。
一、等差数列复习题1. 若等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
2. 若等差数列的前三项分别为3，7，11，求该等差数列的首项和公差。
3. 若等差数列的前n项和为Sn = 5n^2 + 3n，求该等差数列的首项和公差。
4. 若等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，求该等差数列的首项和公差。
二、等比数列复习题1. 若等比数列的首项为2，公比为3，求第10项的值。
2. 若等比数列的前三项分别为3，9，27，求该等比数列的首项和公比。
3. 若等比数列的前n项和为Sn = 5(3^n - 1)，求该等比数列的首项和公比。
4. 若等比数列的前n项和为Sn = 2(3^n - 1)，求该等比数列的首项和公比。
三、递推数列复习题1. 若递推数列的前两项为1，1，且第n项等于前两项之和，求第10项的值。
2. 若递推数列的前两项为2，3，且第n项等于前两项之差，求该递推数列的前10项。
3. 若递推数列的前两项为1，2，且第n项等于前两项之积，求第10项的值。
4. 若递推数列的前两项为1，2，且第n项等于前两项之商，求该递推数列的前10项。
四、特殊数列复习题1. 若数列的前n项和为Sn = n(n + 1)，求该数列的首项。
2. 若数列的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的首项。
3. 若数列的前n项和为Sn = n(n - 1)，求该数列的首项。
4. 若数列的前n项和为Sn = n^2 - n，求该数列的首项。
五、综合复习题1. 若数列的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，求该数列的首项和公差。
2. 若数列的前n项和为Sn = 3(2^n - 1)，求该数列的首项和公差。
精选苏教版数列专题复习答案版(完整版)
数列专题复习 (一 )一、填空题1)在等差数列a n 中， a 2 2 ， a 3 4,则a 10 ＝1．（ 2011 年高考重庆卷文科 ．{ a n } 中， a 1＋a 5＝ 10，a 4＝ 7，则数列 { a n } 的公差为 2．【 2012 高考真题福建理 2】 等差数列 ．2 ×a n S n 为其前 n 项和，n ∈ N ，若 a 3＝ 16，S 20＝ 20，则 S 10＝ 110 ． 3．（ 11 年高考天津 )已知 是等差数列， a n 是等差数列，公差 d ＝－ 2，S n 为其前 n 项和，若 S 10＝ S 11，则 a 1＝ 20 ．4．（ 11 高考江西 5)已知a 1b 1 7 ， a 3 b 3 21，则 a 5b 55．【 12 真题】 设数列 {a n },{b n } 都是等差数列，若 _35 。
a 45 则 { a n } { a n } a 21 ， S 5 ＝ 6．【 2012 高考真题重庆理 1】 在等差数列 中， 的前 5 项和 ．1515)S n 为等差数列 S 2＝S 6，a 4＝ 1，则 a 5＝ － 1 ． { a n } 的前 7．（ 2011 年高考辽宁卷文科 n 项和， 24 ，则 a n ＝ 2n 1a 1＝ 1， a 3 a28．【 2012 高考真题广东理 11】 已知递增的等差数列 { a n } 满足 9．（ 11 年全国卷 )设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d 2 ，S A S n 24 ， 则 k 52 a 4＋a 8＝ 16，则该数列前 11 项和 S 11＝ ．10．【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列 { a n } 中，已知 (A)58(B)88(C)143( D)176a n ﹜的前 n 项和，则下列命题错 7】设 S n 是公差为 d （d ≠ 0）的无穷等差数列﹛ 11．【 2012 高考真题浙江理 误的序号是③① .若 d ＜0，则数列﹛ S n ﹜有最大项*② .若数列﹛ S n ﹜有最大项，则 d ＜ 0③.若数列﹛ S n ﹜是递增数列，则对任意 n N ，均有 S n*N ④ . 若对任意 n ﹜是递增数列n，均有 S 0 ，则数列﹛ S n1S n ， a 5＝ 5， S 5＝ 15，则数列 { 12．【 2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 } 的前a n a n ＋ 1100 101100 项和为13．(2011 年高考江苏卷 13)设 1 a 1a 2a 7 ，其中 a 1 , a 3 , a 5 , a 7 成公比为 q 的等比数列， a 2 ,a 4 ,a 63成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是．【答案】 3的 等 差 数 列 ，{ a n } 是公 14 ．【 2012 高 考 真 题 四 川 理 12 】 设 函 数 f ( x)2 x co sx ， 差 为 813 1622[ f ( a 3 )]a 1a 5f (a 1 ) f (a 2 )f (a 5 ) 5 ，则 ．【答案】二、解答题17)已知等差数列 { a n } 中，a 1＝ 1， a 3＝－ 3. 15．（ 2011 年高考福建卷文科（ I ）求数列 { a n } 的通项公式；（ II ）若数列 S k ＝－ 35，求 k 的值 .{ a n } 的前 k 项和 1 1 1 1 S n ，且 3S 3 与4S 4 的等差中项1，而 3S 3 与 S 4 的等比中项是16．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 4 1 32-12n5 S 5，求 a n 的表达式．【答案】 a n =1 或a n = 5 17．【 2012 高考真题湖北理 18】 已知等差数列 { a n } 前三项的和为3，前三项的积为 8 .（Ⅰ）求等差数列 { a n } 的通项公式； （Ⅱ）若 a 2 ， a 3 ， a 1 a 1 成等比数列，求数列 {| a n |} 的前 n 项和 . 【答案】 （Ⅰ）设等差数列 { a n } 3, 的公差为 d ，则 a 22,3,d ， a 34,3. a 1 2d ，3a 1 a 1( a 13d a 1 da 1d 由题意得或解得d)(a 1 2d) 8. 所以由等差数列通项公式可得 a n（Ⅱ）当 2 3(n 1)3n 5 ，或 a n4 3(n 1 ， 1) 3n 7 .故 a n3n 5 ，或 a n3n 7 .3n 3n 5 时， a na 2 ， a 3 ， a 1 分别为 4 ， 2 ，不成等比数列； 当 a n7 时， a 2 ， a 3 ， 3n 7, a 1 分别为 n 1,2, n 3.S n .1 ，2 ， 4 ，成等比数列，满足条件 .故 | a n | |3n 7 |3n 7,记数列 {| |} 的前 n 项和为 a n 当 n 当 n S n1 时， 3 时， S2 | a3 |4 ；当 2 时， | a 2 |5 ；S 1 | a 1 | S 2 | a 1 | n | a 4 | | a n 7)]| 5 (3 3 7) (3 4 7)(3n 7)(n 2)[2(3n 3 2 1122 10 . 当 n 2 时，满足此式 5n n . 24,n 1,综上， S n3 2 1122 n n 10, n 1. 18．（ 2011 年高考湖南卷文科 20)某企业在第 1 年初购买一台价值为 万元的设备 M ， M 的价值在使用120 过程中逐年减少，从第2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年a 1 a 2a n初 M 的价值为上年初的 75%．（ I ）求第 n 年初 M 的价值 a n 的表达式；（ II ）设 A n,n若 A n 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新． n6 时，数列 { a n } 解析：（ I ）当 10 的等差数列．是首项为 120，公差为 a n 120 10( n 1) 130 10n;3 4n6 时，数列 { a n } 当 为等比数列，又 a 6 为首项，公比为a 670 ，所以是以 3 ( ) 4n 6a n70 ;120 10( n 1) 130 10n, n 6因此，第 n 年初， M 的价值 a n 的表达式为 a n3 n 6a n70 ( ) , n 47n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 ( II )设 S n 表示数列 { a n } 的前 当 1n 6 时， 120 n 5n ( n 1), A n 120 5(n 1) 125 5n ;S n 3 4( 3 n ( 3 n 6 ] 6S S (a a a ) 570 70 4 [1 ) 780 210 ) n6 78 n4 4 n 7 时，因为 { a n }当 210 ( 3 )n4 n6780 A . n{ A n} (3 )84 是递减数列，所以 是递减数列，又( 3)94 66780 210 780 210 82 47 64更新．7679 96A 80, A 80, 89 89 年初对 M 9所以须在第 a 为首项， n 项和. 20)已知﹛ a n ﹜是以 S n 为它的前 19．（ 2011 年高考四川卷文科 q 为公比的等比数列， （Ⅰ）当 S 1 , S 3 , S 4 成等差数列时，求 q 的值(Ⅱ )当 S m ， S n ， S i 成等差数列时，求证：对任意自然数 k 也成等差k ,a m k , a n k , a i (Ⅱ )当S m , S n , S i 成等差数列，则 2S nS m S i .当 q 1 时，由 2 S nS i ，得 2na ma ia ，即 2n m i S m . a m a i 2a na a 2a 0 ；kkknm ia(1 1 q )qa(1 1 q ) qa(1 1 q ) q当 q 1 时，由 2 S n，S mS i ，得 2qmqi2q n0 . 化简得m k 1i k 1n k 1k 1 ( min ) a ma i2 a n aqaq2aqaq qq2q 0 ，kkkk , a m ,a nk , a i综上，对任意自然数 k 也成等差数列.k 数列专题复习 (二 )一、填空题a n a 2010 8a 2007 ，则公比 q 的值为q 21．（ 2010 重庆理数 1） 在等比数列 中， ．a n 2．（ 10 福建理数） 在等比数列中，若公比 q=4 ，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 a n4n - 1S 5 S 23．（ 2010 浙江理数）（ 3）设 S n 为等比数列a n 的前 n 项和， 8a 2 11．a 5 0 ，则辽宁文数） （ 3）设 S n 为等比数列 a n 的前 n 项和，已知 3S 3a 4 2 ， 3S 2a 3 2 ，则公比4．（ 2010 a 4a 3q3a 3 a 4 a 3 ， a 44a 3 , q4 .． 两式相减得， 北京）（ 2）在等比数列a n 1 ，公比 q 1 .若 a ma 1a 2a 3a 4a 5 ，则 m ＝【答案】 a 1 5．（ 2010 中， 11a 9 a 7 a 10 a 8 1 7.已知等比数列 { a m } 中，各项都是正数，且 a 1 ， a 3 , 2a 2 成等差数列，则26．（ 2010 湖北文数） 3 2 2 【答案】 a n 为等比数列， a 4 a 7 2 ，a 5a 68 ，则 a 1 01a7．【 2012 高考真题理 5】已知【答案】 ．38．【 12 高考真题】 公比为 2 等比数列 { a n } 的各项都是正数，且 a 3a 1116 ，则 log 2 a 16 ＝ 【答案】 5S n ．若 S 2＝ 3a 2＋ 2，S 4＝ 9．【 2012 高考真题浙江理 13】 设公比为 q （ q ＞0）的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 3 3a 4＋2，则 q ＝ 【答案】．2a n s n 是 a n 9s 3s 6 ，则数列10．（ 2010 天津理数）（ 6）已知是首项为 1 的等比数列， 的前 n 项和，且1 a n31 16的前 5 项和为 【答案】22(a k ，a k a k ＋ 1，k 为正 11．（ 2010 江苏卷） 8、函数 y ＝ x (x ＞0)的图像在点 )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 整数， a 1＝ 16，则 a 1＋ a 3＋ a 5＝．a k 222【答案】在点 (a k ， a k ) 处的切线方程为： y a k2a k ( x a k ), 当 y 0 时，解得 x，a k 2所以 a k, a 1 a 3 a 5 16 4 1 21 ．12a n ｝为递增数列，且 a 5a 10, 2( a n a n 2 ) 5a n 12．【 2012 高考真题辽宁理 14】 已知等比数列｛ 1 ，则数n列｛ a n ｝的通项公式 a n 2＝ 【答案】 2429na5a 1 ,0( a 1q )a 1 q,a 1,q n aq ,1222n5q, 解得q 2或q ( 舍去）， 2(a n a n 2 ) 5 a n 1 , 2a n (1 q ) 5a n q, 2(1 q ) a n 28 7 1(1 )13． 【 2012 高考真题上海理 6】 有一列正方体，棱长组【答案】 n 812， ， ， ， ，则 成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 V 1 V 2 V n V 1 V 2V n．14．【 2012 高考真题湖北理 7】定义在 ( ,0) (0, ) 上的函数 f (x) ，如果对于任意给定的等比数列{ a n } ，{ f ( a n )} 仍是等比数列，则称f (x) 为 “保等比数列函数 ”.现有定义在 (,0)(0,) 上的如下函数：2x ；① ③x2 ； ① f ( x) ② f ( x) ③ f (x)| x | ； ④ f (x) ln | x | .则其中是 “保等比数列函数 ”的 f ( x) 的序号为2 22 2 2 2【解析】 等比数列性质，a n a nan f a n f a n a n an an f a n 1 ，① ；22211 2 a n2a n2a na n22 a n2221② f a n f a n f a n ；21 22③ f a n f a n a n a na n f a n ；2211 22④ fa n f a nln a n ln a n ln a n f a n .选 C2211 二、解答题1 3 1317) ）已知等比数列 a n 中， a 1, q15．（ 2011 年高考全国新课标卷文科， 1 a n2前 n 项的和，证明： （ 1）s n 为数列 a n s n （ 2）设 b nlog 3 a 1 log 3 a 2 log 3 a n ，求数列 b n 的通项公式；(2) b n2log 3 a 1 n)1) log 3 a 2log 3 a n1 3 ( 1 )n 31 1 a n21(1 解：（ 1） a , s nnn3n( n 21a 1 1a 2为a ( a R )，且，，0 的等差数列 { a n } 的首项 a 1 16．（ 2011 年高考浙江卷文科 19)已知公差不为 1 a 21 a2 21 a n21 a 41a 1 *{ } 成等比数列． （Ⅰ）求数列 ... 的大小 a n 的通项公式（Ⅱ）对 n N . ，试比较与 1 a21 a 1 1 a 42 ( a d )2【解析】：（Ⅰ）aa a a ( a 3d ) d a a21 4 11 1 12数列 { a n } 的通项公式 a n a 1 ( n 1)d a 1 (n 1)a 1na1 [12 1( 1)n ] 2 1 21 a 21a221 an21 a 1 1 12 1 n（Ⅱ）记 T ... 因为 a 2 a ，所以 T ( ...)n2nn2 na 2 21 [1 a (1 ) n] 从而当 a 21 a 11 a 10 时， a0 时， T T ；当 n na n n 项和为 S n ，且 a 5 , a 3 , a 4 成等差17．【 2012 高考真题陕西理 17】 设的公比不为 1 的等比数列，其前 数列． 1）求数列 a n 1 成等差数列．2）证明：对任意 k N ， S k 2 , S k , S k 的公比； 【答案】18．（ 2011 年高考湖北卷文科 17)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上 2、 5、 13后成为等比数列 中的 b 2、 b 4、 b 5 { b n } (Ⅰ )求数列 的通项公式；{ b n } 54(Ⅱ )数列 { b n } 的前 n 项和为 S n ，求证：数列 } 是等比数列 { S n . 解：（ 1）设成等差数列的三个正数分别为a － d ， a ， a ＋ d.依题意，得 a － d ＋a ＋ a ＋ d ＝ 15，解得 a ＝ 5.所以 {b n } 中的 b 3 , b 4 ,b 5 依次为 7－ d ，10， 18＋d. 依题意，有（ 7－ d ）（ 18＋ d ）＝ 100，解得 d ＝2 或 d ＝－ 13（舍去） . 54 31 2 1 2故 { b n } 的第 3 项为 5，公比为 2.由 b2 ，即 5 2 ，解得 b b b 1. 5 45 4n 1n 3所以 为首项， 2 为公比的等比数列，其通项公式为{ b n } 是以 .b n25 25(1 41 2n) 545 4n 2n 2（ 2）数列 { b n } 的前 , 即 n 项和 S n5 2S n 5 2 .254 5 4S n n 2 n 15 45 2 1 5 5 5 52所以 2. 因此 为首项，公比为 2 的等比数列 . S 1,是以 { S n}224 S na 1 2 ， a 3a 2 4 ．19．（ 2011 年高考重庆卷文科 设{ a n } 是公比为正数的等比数列， 16) （Ⅰ）求 { a n } 的通项公式；的前 n 项和 （Ⅱ）设 { b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 { a n b n } s n ．2q 为等比数列 { a n } a 2 4得2q解：（ I ）设 a 12, a 32q 4 ，的公比，则由 2q即 2或qq 2 0 ，解得 q 1 （舍去），因此 q 2.n 1n*所以 { a n } a n2 22 (n N ).的通项为 n2(1 1 2 ) 2n( n 1) 2n 12 2n （ II ） S n 12. 2.n数列专题复习 一、填空题(三)2a n 2n ＋ 1 a 1＝1， a n ＋1＝，则通项 a n ＝答案： 1．数列 { a n } 满足 a n ＋ 2 2－2n a 1＝1，a n ＞ 0，且 na (n ＋ 1)a ＋ a ＝ 0．则 a ＝ _答案： 1 2．数列 { a n } 满足 n ＋1a n ＋ n 1n n ＋ 1a 1＝1， a n ＋ 1＝ 2a n ＋ 3(n ≥1)，则数列的通项 a n ＝ _答案： 2 － 33．在数列 { a n } 中，若 1 1 1 1＋ 2＋3 11＋ 2＋ 2nn ＋ 14．求和： S n ＝1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 答案：1＋2 ＋n n － 1S n ＝ 1－ 5＋ 9－ 13＋ 17－ 21＋ ＋ (－1) 5．数列 { a n } 的前 n 项和 (4n － 3)，则S 15＋S 22－ S 31 的值是答案： 46 x9 1 2007 2 3 2006 2007，求 f( 6．设 f( x)＝ )＋ f ( ) ＋f( )＋ ＋ )的值为 答案： 1003 f( x ＋ 3 2007 2007 92S nn ） 设数列 { a n } 的前 n 项和 ，则 a 8 的值为 答案： 157．（ 2010 安徽文数 5 3＋23＝（ 1＋ 2） 2， 13＋ 23＋ 33＝（ 1＋ 2＋ 3） 2， 13＋ 23＋ 33＋ 438．（ 2010 陕西文数） 11.观察下列等式： 1＝（ 1＋ 2＋3＋ 4） 2， ，根据上述规律，第四．个．等．式．． 为 .答案： 第 i 个等式左边为 1 到 i ＋ 1 的立方和，右边为 1 到 i ＋1 和的完全平方3 3 3 3 3 2 2所以第．四．个．等．式． 为 1 ＋2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝（ 1＋2＋ 3＋ 4＋5） （或 15 ）. a nna n a 133, a n a n2n, 则 的最小值为 .9．（ 2010 辽宁理数）（ 16）已知数列 满足 1 212 a 2a n ＝ (a n － a n － 1)＋ (a n － 1－ a n － 2) ＋ (a 2－ a 1 )＋ a 1＝2[1＋ 2＋ (n － 1)] ＋ 33＝ 33＋ n － n 【答案】＋ 33 n33 nn nf ( n)所以n 133 设 在( 33, ) 上是单调递增， 在 (0, 33) n 1 ，令 f (n)1 0 ，则 f (n) 上是2n递减的，因为 n ∈ N ＋，所以当 n ＝ 5 或 6 时 f (n) 有最小值． a 5 553 5a 6 663 621 2a n na 21 26 的最小值为又因为，，所以，610．（ 2010 浙江文数）（ 14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第 n 行第 n ＋1 列的数是．2n答案： nn7) 若数列a n a n ＝(－ 1) (3 n －2)，则 a 1＋ a 2 ＋... ＋ a n ＝ 【答案】 15 11． (2011 年高考安徽 的通项公式是 n πa n ＝ncos ＋ 1，前 n 项和为 S n ，则 S 2012＝ . 12．【 2012 高考真题福建理 14】数列 { a n } 的通项公式 2 因为函数 y cosx 的周期是2【答案】 3018．4，所以数列 { a n } 的每相邻四项之和是一个常数6，2012 46 3018 所以 S 2012.1 n n 25a n ，在 13．【 12 高考真题】 设 a n sin S n a 1 a 2 S 1, S 2 , , S 100 中正数的个数是 (100)【解 析】当 1≤ n ≤ 24 时， a n ＞ 0，当 26≤ n ≤49 1≤ n ≤24 时相应的值，当 n ≤74 时相应的值，∴当 a n ＜ 0，但其绝对值要小于 时， 51≤ n ≤ 74 时， a n ＞ 0，当 76≤ n ≤ 99 时， a n ＜ 0，但其绝对值要小于 51≤ 1 ≤ n ≤ 100 时，均有 S n ＞ 0．记[ x] x 的最大整数，例如， [2] 2 ， [1.5] 1 ， [ 0.3]1 设 a 为正14．【 2012 高考真】 为不超过实数 ax nx n [ ]整数，数列 { x n } x n [ ]( n N ) 满足 x 1 a ， ，现有下列命题：12a5 时，数列 { x n } 的前 k ，当 n k 时总有①当 { x n } 3 项依次为 5， 3， 2；②对数列 都存在正整数 x n x k ；③当 n 1时， x na 1 ；④对某个正整数 k ，若 x k x k ，则 x n [ a] ．1其中的真命题有 _【答案】①③④．（写出所有真命题的编号）二、解答题a n 2b n bn， nN * ，、15. 【 2012 高考江苏 20】已知各项均为正数的两个数列{ a n } 和 { b n } 满足： a n 12 an2b n a nb n a n设 ， n N * ，求证：数列是等差数列．b1n 1 2b n a na nb nb nb nb n a n b n a n11【答案】 解：∵ ，∴ ． ∴．b1a =1n 1n 1 22 2a n1b n 1a n222222b n a n b n a nb n a nb n a nb n a n1 ∴是以 1 为公差的等差数列．11 n N *∴数列1S n ，{ b n } 是等比数列，且 { a n } 16．【 2012 高考真题天津理 18】 已知 是等差数列，其前 n 项和为 a 1b 12,a 4b 427 ， S 4 b 410 .Ⅰ）求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式；**（Ⅱ）记 T na nb 1a n 1b 2a 1b n nN T n122a n 10b n （ n N ，证明 ）. ，1 22， 的最大值为n 项和 S n n kn k N * 17．【 2012 高考真题江西理 17】已知数列 { a n } 的前 ，且 S n 8.9 2a nn（ 1）确定常数 k ，求 a n ；（ 2）求数列 } 的前 n 项和 T n ． { 2n 1﹡，且 a ，2 S n 21 ， n ∈ N S n ，满足 a n 18．【 2012 高考真题广东理 19】设数列 { a n } 的前 n 项和为 1 1 a 2 ＋5，a 3 成等差数列． 1 a 11 a 21 a n3 2求 a 1 的值； 2)求数列 { a n } 的通项公式． 2)证明：对一切正整数 n ，有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论学习必备欢迎下载证能力，难度一般.精品资料精品学习资料第 11 页，共 11 页。
数列基础练习精编版
数列基础练习1．在等差数列中，若 ，是数列的前项和，则（ ）A. 48B. 54C. 60D. 1082．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ）A. 6B. 7C. 10D. 93．在等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若481,4S S ==，则910112a a a a+++的值为（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11 4．已知各项都为正的等差数列{}n a 中， 23415a a a ++=，若12a +， 34a +， 616a +成等比数列，则11a =（ ）A. 22B. 21C. 20D. 195．已知{}n a 是公差为1的等差数列， n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A. 172B. 192C. 10D. 12 6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n(n ∈N *)，则a 100的值为( )A. 5 050B. 5 051C. 4 950D. 4 9517．已知数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 11＝24，a 4＝3，则数列{a n }的公差等于( )A. 1B. 3C. 5D. 68．一个正项等比数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为（ ）A. 18B. 12C. 9D. 69．设等差数列{}n a 满足27a =， 43a =， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得{}n S 取得最大值的自然数n 是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 710．是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和=（ ）A. B. C. D.11．若数列{}n a 为等差数列， n S 为其前n 项和，且1323a a =-，则9S =（ ）A. 25B. 27C. 50D. 5412．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时， n 的值等于（ ）A. 7B. 6C. 5D. 413．已知数列的前项和满足：，且，，则（ ）14．等差数列的前项和为，且，则（ ）A.B.C. D. 415．已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ）A.64B.100C.110D.12016．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和为分别是,n n A B ，且1n n A n B n =+，则44a b 等于（ ） A ．34 B ．45 C ．78 D ．6717．已知等比数列{}n a 满足375a a +=，则2446682a a a a a a ++等于A. 5B. 10C. 20D. 2518．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（ ）A.B.C.D. 19．已知公差不为0的等差数列{}n a 与等比数列{}12,2,n n n b a b a ==，则{}n b 的前5项的和为（ ）A. 142B. 124C. 128D. 14420．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的值为 A. 2 B. 3C. D. 421．已知数列{}n a 是递增的等比数列， 13521a a a ++=， 36a =，则579a a a ++=（ ） A. 214 B. 212C. 42D. 84 22．已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（ ）A.B. C. 3 D. 123．已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前2016项之和24．已知{}n a 为等比数列且满足623130,3a a a a -=-=，则数列{}n a 的前5项和5S =（）A. 15B. 31C. 40D. 12125．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,8S a ==，则6a =A. 16B. 32C. 64D. 12826．已知等比数列{}n a 的前项和1n n S p q +=+（01p p >≠且），则q 等于（ ）A. 1B. 1-C. pD. p -27．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S =， 12130S =，则8S =（ ）A. 30-B. 40C. 40或30-D. 40或50-28．在等比数列{}n a 中， 14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于（ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3-29．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =， 2144n n a S n -=+（2n ≥）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求25889a a a a +++⋯+的值．30．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和： 13521n b b b b -+++⋯+．参考答案1．B 【解析】等差数列中2．B 【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴()7820a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.考点：等差数列的前n 项和．3．A【解析】843S S -=，由于484128,,S S S S S --成等差数列，公差为312-=，故原式128325S S =-=+=.4．B【解析】各项都为正的等差数列{a n }中，∵23415a a a ++=,12a +， 34a +， 616a +成等比数列，∴()1213{ 24a a d ++=，由d >0,解得1a =1，d =2，∴11a =1+10×2=21.故选：B.5．B【解析】试题分析：，因为，所以，而，故选B.考点：等差数列6．D【解析】由于a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，以上各式相加得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝()12n n -，即a n ＝()12n n -＋1，所以a 100＝100992⨯＋1＝4 951，故选D ． 7．B 【解析】 设等差数列的公差为d ，由311424,3a a a +==，所以1121224{33a d a d +=+= ，解得3d =，故选B. 8．C【解析】{}n a 是等差数列， 232n n n n n S S S S S ∴--，， 也成等差数列，()()32323212n n n n n n n S S S S S S S ==∴-=+-，，， ，解得29n S =故选C【点睛】本题考查等查数列前n 项和性质的应用，利用232n n n n n S S S S S --，， 成等差数列进行求值是解决问题的关键9．B【解析】设等差数列{}n a 公差为24,7,3d a a ==， ∴117{ ,33a d a d +=+=解得12,9.d a =-= ∴()921211n a n n =--=-+，∴数列{}n a 是减数列,且56560,0a a a a >>+=， 于是5566910112290,100,110222a a a a S S S +=⋅>=⋅==⋅<， 故选：A.10．C【解析】设{}n a 的公差为()0d d ≠ ，由22224567a a a a +=+ 有222264750a a a a -+-= , ()()()()646475750a a a a a a a a +-++-= ，所以有()456720d a a a a +++= ，因为0d ≠ ，所以456750,0a a a a a a +++=+= ，故前10项和()()110105610=502a a S a a +=+= ，选C.点睛：本题主要考查了等差数列的有关计算，属于中档题. 关键是已知等式的化简，移项，利用平方差公式化简，求出560a a += ，本题考查了等差数列的性质，前n 项和公式等.11．B【解析】设数列的公差为d ，由题意有： ()11223a a d =+-，即5143a a d =+=，则： 1959529992722a a a S a +=⨯=⨯==. 本题选择B 选项.12．B【解析】以5a 为变量， ()()255526a a a =+-得， 53a =-，则6711a a =-=，，所以6S 最小，故6n =,故选B.13．C 【解析】∵数列的前 项和Sn 满足：，∴数列是等差数列． ∵，，则公差． 故选：C.14．A【解析】试题分析：因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，所以（1），∵，∴，设，则，所以（1）式可化为，解得.故选A ． 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和． 【方法点睛】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，根据等差数列中也成等差数列，及，设，建立关系即可求出结论．本题主要考查等差数列的性质的应用，在等差数列中，也成等差数列是解决问题的关键．属于基础题．15．B【解析】试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002S a d ⨯∴=+= 考点：等差数列通项公式及求和16．C【解析】试题分析：17741747777271872a a A a b b b B +⨯====++⨯,故选C. 考点：等差数列的性质.17．D【解析】()2222446683377372225a a a a a a a a a a a a ++=++=+=,故选D. 18．A【解析】试题分析：由题意得，因为，所以，又因为，所以，则，故选A.考点：1.等比数列性质；2.等比数列的前项和.19．B【解析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等比数列{}n b 的公比为q .等比数列{}n b 中， ()()()2222134281111372b b b a a a a d a d a d d a =⇒=⇒+=++⇒==，()112n a a n d n =+-=，4122424,8,2a b a b a q a ====∴== {}n b 的前5项的和为()()5511412124112b q q --==--.故选B. 20．A 【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d (d ≠0)， 因为成等比数列， 所以,即a 1=−4d ， 所以， 故选：A.21．D【解析】由1353216a a a a ++==，得22122q q ==，（舍去），∴()457913584a a a a a a q ++=++=，故选D ． 22．C【解析】当 时， 两式作差可得： ， 据此可得，当时，的最大值为323．C 【解析】由等比数列的性质可得，又，且数列是递增的，可得，即，则．故本题答案选．24．B 【解析】因为{}n a 为等比数列且满足623130,3a a a a -=-=， 51121130{3a q a q a q a -=∴-= ，可得515112{,312,12a S q =-===- ，数列{}n a 的前5项和531S =,故选B. 25．C【解析】 由题意得，等比数列的公比为q ，由3314,8S a ==，则()21231114{8a q q a a q ++===，解得12,2a q ==，所以55612264a a q ==⨯=，故选C . 26．D【解析】等比数列前n 项和的特点为： n n S Aq A =- ，题中： n n S p p q =⨯+ ，据此可知： q p =- .本题选择D 选项.27．B【解析】解：由等比数列的性质可知： 484128,,S S S S S -- 成等比数列，故：()()2881010130S S -=⨯- ，整理可得： ()()8830400S S +-= ，又数列的各项为正数，故： 840S = .本题选择B 选项.28．C【解析】由题意，得212324,246,2446S S q S q q +=+=++=++，因为数列{}2n S +也是等比数列，所以()()22466446q q q +=++，即()230q q -=，解得3q =；故选C. 点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“1q =”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.29．（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2730.【解析】试题解析:(1)将已知等式中的n 用n-1代换,所得等式与原式作差,可得12n n a a --=（3n ≥），再验证21a a -的值,可得{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列,进而写出通项公式;(2) 25889,,a a a a ⋯可构成一个新的等差数列,利用等差求和公式即可求得.试题分析:（Ⅰ）因为()21442n n a S n n -=+≥，① ()()2124413n n a S n n --=+-≥,②所以-①②得， 221144n n n a a a ---=+，即()2212n n a a -=+， 因为0n a >，所以12n n a a -=+，即12n n a a --=（3n ≥），又由12a =， 2144n n a S n -=+，得2214816a S =+=，所以24a =， 212a a -=，所以{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，所以()2122n a n n =+-⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n a n =，所以2588941016178a a a a +++⋯+=+++⋯+ ()41783027302+⨯==．30．（1）a n =2n −1.（2）312n - 【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10.……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 7 解得d =2.所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q .因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以2212113n n n b b q---==. 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=. 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
高中数学数列基础100题精编练习
1. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为_____ 。
2. 已知数列中，且，则_____ 。
3. 已知两个等差数列和的前项和分别为，，若，则_____ 。
4. 数列的前项和（），则数列的通项公式是_____。
5. 计算：_____。
6. 设是等差数列的前项和，已知，，则数列的前项的和为_____。
7. 若等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则数列的公比为_____。
8. 设公比不为的等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前项和为_____。
9. 等比数列中，，，则_____。
10. 已知等比数列的前项和为，，，则的值为_____。
11. 在数列、、、、中，按此规律，是该数列的第_____项。
12. 在等差数列中，若，，则_____。
13. 若在等比数列中，，则_____。
14. 已知数列的前项和，那么数列的通项公式为_____。
15. 在等比数列中，已知，则_____ 。
16. 已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是_____。
17. 已知等比数列中，若其前项的和为，则_____。
18. 在数列中，，，是其前项和，则的值是_____。
19. 已知等比数列的前项和为，则常数_____。
20. 设等差数列的前项和为，，，，则_____。
21. 数列中，若，，则_____。
22. 等比数列的各项均为正数，且，则_____。
23. 设等比数列的各项均为正数，若，。
则_____。
24. 已知为等差数列，公差为，且是与的等比中项，则_____ 。
25. 等差数列中，_____。
26. 数列是公比为的等比数列，其前项和为。
若，则_____；_____。
27. 数列中，若，（），则通项公式_____。
28. 如果，，，，成等比数列，那么_____。
29. 若数列满足，（），则该数列的前项的乘积_____。
30. 已知等差数列的前项和为，若，则_____。
31. 已知数列满足，，则_____。
32. 若数列的前项和为，则的值为_____。
等差数列的前n项和复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版
三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列，公差为2k d ．★（4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．练习题：D．9答案解析：11 | 1312 | 1313 | 13当12n <时，n S 很明显都是小于0的 故n S 取到最小正数时的n 为12． 答案：1231解析：由1020S S =知对称轴为15n =，故最大值为前15项之和． 答案：A 32解析：41434442S a d ⨯=+=，81878562S a d ⨯=+=两式联立解得114a =，2d =- 故2(1)14(2)152n n n S n n n -=+⨯-=-+ 对称轴为7.5，故当7n =或8n =时取最大值27715756S =-+⨯=．答案：最大值为7856S S ==33解析：根据对称性，由67S S =可知58S S =，49S S = 由中间到两端以此减小，所以985S S S <=，C 选项错误． 答案：C34解析：由条件可知函数零点在18与19之间，又函数过原点则对称轴应介于182与192之间，即大于9小于9.5 数列的下标只能取正整数，离对称轴最近的正整数为9，故9S 最大． 答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。
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数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做_________.2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的__________.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2 项，…，第______项，….3.数列的一般形式：，或简记为_________，其中_______是数列的第n 项 ⒋数列的通项公式：如果数列的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的___________.注：数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 5．数列的表示方法①通项公式法 ②图象法 ③递推公式法 ④数列的前n 项和 6．高中数列主要研究的问题：巩固练习1．下列解析式中不．是数列，的通项公式的是（）A. B. C. D.2的一个通项公式是（）A.B. C.D.3．已知数列，，那么是这个数列的第（）项.A. B. C. D. 4．数列，，，，…的一个通项公式是（） A ．B ．C ．D ．5．上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A ．B ．C ．D ．,,,,,321n a a a a {}n a n a 1,1,1,1,1--(1)n n a =-1(1)n n a +=-1(1)n n a -=-{11n n a n =-，为奇数，为偶数，n a n a =n a =n a {}n a 1()(2)n a n N n n +=∈+112091011121-85157-249()()1121nn n n a n +=-+()()211nn n n a n +=-+()()21111nn n a n ++=-+()22121nn n na n +=-+21n a n n =-+()12n n n a -=()12n n n a +=()22n n n a +=6．已知数列，，，且，则数列的第五项为（） A. B. C. D. 7．在数列，，，，，，，，中，应等于（） A ．B ．C ．D ．8．在数列中，对所有的正整数都成立，且，则（） A ． B ． C ．D ．9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1 000＝( ) A ．5 B ．－5C ．1 D ．－1 10．若，则与的大小关系是（） A ．B ．C ．D ．不能确定11．数列，，，…，的项数是（） A ．B ．C ．D ．12．已知数列，，它的最小项是（）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项 13．数列，是一个函数，则它的定义域为（） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或14．下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（） A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④15．数列中，，那么是其第____________项．16．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.{}n a 13a =26a =21n n n a a a ++=-63-12-6-12358x 213455x 11121314{}n a 122n n n a a a +=+n 712a =5a =011-22n na n =+n a 1n a +1n n a a +>1n n a a +<1n n a a +=11131521n +n 3n -4n -5n -{}n a 22103n a n n =-+{}n a ()n a f n ={}1,2,3,4,,n *N {}n a 276n a n n =-+150等差数列(第一部分)1．定义：若数列_____________________________________, 则称为等差数列；2．递推公式：____________________________；3．通项公式：___________________________；4. 前n 项和公式：___________________________； 5．求通项公式和前n 项和公式的过程中用到的方法:基础练习1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________________2. 在等差数列中已知，a 7=8，则a 1=_______________3. 等差数列8，5，2，…的第20项为_____________.4. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是545．等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为 （）A ．B ．C ．D ．6．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．517.在等差数列{}n a 中，则的值为（）A.84B.72C.60 .D.48 8.数列 中，，，前n 项和，则＝＿，＝；9. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+2)1(2)(11d n n na a a n S nn -+=+=13d =-{}n a 1,1,23x x x -++21n a n =+21n a n =-23n a n =-25n a n =-31140a a +=45678910a a a a a a a -+++-+{}n a *11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈32n a =152n S =-1a n等差数列（第二部分）等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的___________．即：___________或 （2）等差中项：数列是等差数列 等差数列的性质： （1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 所以通项公式可写为:____________________. 前和是关于的二次函数且常数项为0. 所以前n 项和公式可写为:____________________.（2）当时,则有____________，特别地，当时，则有______________.注：， 基础练习题1．在等差数列{}n a 中,若，则的值等于 （ ）A.45B.75C.180D.3002. 等差数列{}n a 中,,则此数列前20项的和等于 （ ）A.160B.180C.200D.2203. 在等差数列{}n a 中，前15项的和 ，为 （ ）A.6B.3C.12D.44．在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝ （ ） A ．40 B ．45C ．50D ．555．在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为 （ ）A ．18 B. 17C ．16D ．156．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于 （ ）A ．－20．5B ．－21．5C ．－1221D ．－20 7．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A ．22B ．21C ．19D ．188．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0B.a 7＝0C.S 9＞S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值a Ab A a b b a A +=2{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 0d ≠11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d n 211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-n m n p q +=+2m n p +=12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅34567450a a a a a ++++=28a a +12318192024,78a a a a a a ++=-++=1590S =8a {}n a d 174a a +20642a a a a ++++9．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A.130 B.170C.210D.26010．与的等差中项是________________-11．在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -=.12．已知数列 的前n 项和，求数列的前项和.等比数列（第一部分）1．定义：若数列____________________________________________, 则称为等比数列；2．递推公式：___________________或___________________；3．通项公式：_______________________；4. 前n 项和公式：____________________或_____________________；基础练习题1．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）．B ．2()a b +2()a b -{}n a 212n S n n =-{||}n a n n T {),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+2)1(2)(11d n n na a a n S nn -+=+=3．已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ( )A.B.C. D.24. 如果成等比数列，那么（）A. B. C. D.5. 若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4C ．8D ．166. 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ） A ． B ． C ． D ．7. 各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =8.设等比数列的公比，前项和为，则．9. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．等比数列（第二部分）1. 设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的__________中项. 可得：________.2.若数列为等比数列，当m n p q +=+时，则有___________n a a a a =_________， 特别地，当2m n p +=时，则有____________m n p a a a =____.3.若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列,,n n n n nS S S S S --, ______，________…也是等比数列。