《约束优化问题》PPT课件

• 在可行域内。
•
点所在位置可能有三种情况
x s k k k
• （1）在可行域内
x • （2）在容许k 的约束边界上
• （3）已越出可行域，落入非可行域
• 如发生情况（3），则通过计算取得新的步长，使其迭代点 返回至可 行域前的边界上。于是三种情况可归结为两种
xk
• 情况：一种是 点在可行x域k内 部，另一种 点在可行域边界上。
第四章 约束优化问题
• 前面讲了常用的无约束优化方法，这些方法是优化方法中最基本、最核心的 方法，但机械设计中的优化问题大多数属于有约束问题。有约束问题的研究 还不断完善及深入。
• 但目前约束优化问题处理方法： • 直接法与间接法
• 直接法：是设法使每一次迭代产生的新迭代点限制在可行域内，且一步 一步地降低目标函数的值，直到获得一个在可行域内的约束最优解。
R • 用min f x min f xk f xk T x x k x n
g u
xk
gu
xk
T
x x k
0
u 1,2 m
X X S k1
k k k
• 代替上式x则上式为，求解
•
x min f k
受约束于
k f xk sT k
• 三、最有利适用可行方向的确定 • 线性规划法 • 通常用此法对线性和非线性都适用，但不包
括等式约束条件此法是将具有一阶连续偏导数 的原目标函数和约束条件在 xk 点用Toglor展
• 或展开线性近似函数，并用这些线性近似函数代替非线性目标函数和约 束函数，使问题线性化，变为求解：
•
• 受约束于
可行。若
或近似等于零的点是起作用约束，此点满足可行性要求
X X S x 的探索k1方 向 k k k
k 1
• 一定是指向起作用约束函数值的增大方向。也可用方向导数来表示。
g xk 0
sk
• 既有
g x g x g x g
k
k
x j
s x x x k
• 每一迭代点
均要符合两个条件：可行性和适用性
• 可行性：是指新迭代点
必须在可行域内即满足：
xk 1
g xk1 0 u
xk 1
u 1,2,.....p.
• 适用性：是指新迭代点 • 即满足：
x 的目标函数值较前一k 点1是 下降的。
• 例题中
为全局解
• 所以全局解一定为局部解。
f (x(k1) ) f (x(k) )
§4.2约束坐标轮换法
可行方向法
• 在有约束优化问题中，可行方向法求解大型约束优化问题的主要方法， 并且收敛速度快、效果好，但程序较复杂，它解决具有不等式约束优化 问题，也是用梯度法求解约束非线性最优问题的直接方法之一。
• 数学模型
求 min s.t.
F(X) X D Rn
gu(X ) 0
u 1,2,... p
• 因为
为常数
g x g x s •
•
故问题就变k 成求线性k 规划问题
u
u
k T k 0 u 1,2 , m
x g x f k ,
k , k
u
min f xk sT k
s R k n
• 同条时件变，量引入条仍件必余s须度k满 足（2则）需所满示足的适用可行性数学条件，对于适用性
j
1
cos
k
j
cos
1
2
k
j cos
2
n
0
n
• 取探索方向的单位矢量为
cos
1
cos 2
sk
•
cos
n
• •
g j xk sT k 0
•
g
j
xk
sT k 0
（1）
g x s 90 , k k
• 如 点J个约束边界的相交处，并均起作用既有
k
k
X X S k1
k
k k
• 方向 sk若 取 是k 在 s方k 向上的一个适当大
小的步长，则有
X X S k1
k k k
• 使点 xk1仍在可行域内，且目标函数值下降，
一般情况探索是沿着起作用约束的边界以割线
方式逐步逼近最优点。
• 3 可行下降方向的产生方法
• 在第（2）种情况时可行下降方向是怎样产生 的，方法有：
• 2、探索路线
• （1）x如k果 点是在可行域内部，则下一迭代仍沿 点的负梯度
方向进行一维搜索。 为最优步长，其迭代式为
直至迭
代点落在约束边界上或越出某约束边界为止。
x • （2）当迭代点在约束边k 界上或在外回到约束边界上的点，则下一次不再 采用负梯度为探索方向，而采用一个适用可行
xk
X f
了可行方向k则（1）式为 j
xk
gj xk 0 j 1,2,...J
既得到
gj xk sT k 0 j 1,2,...J
• （3）适用可行方向的数学条件
• 为使探索方向 sk成为适用可行方向其数学条 件为同时满足不等式
•
f xk sT k 0
（2）
gj xk sT k 0 j 1,2,...J
• 对于可行性条件引入方向 偏离系0数
•
则f应为xk sT k
• 偏离系数 ，线性约束 非线性
j j 0
sk
g j
xk
• （1）随机法
• 在 xk点 产生N个随机单位方向向量 • s j ( j 1,2,.....N则) 可行下降方向
•
•
为（2：）线性f规划x法k sT k min f xk sT j
(j 1,2...p)
• （3）投影法
• 二、适用可行方向的数学条件
• （1）适用性条件：
• 一、基本思想：从任一可行点 xk 出发，寻 找一个恰当的方向 sk和一个合适的步长因
子 k， 于是产生新的迭代点为
• 使其满足
x x s k1 k k k
gu ( X ) 0 u 1,2,... p
X X f
k 1 f
k
• 1、可行方向法求优过程的基本要求
• 探索方向必须是可行的既
• 探索方向 满足适用条件是目标函数
• 沿该方向是下降的，若用方向导数的概念来描述即 点的目标函数 沿
• 的方向导数应小于零。
sk
f x
xk
f x
sk
• （2）可行性条件
• 是指沿该方向一定有可行点存在，即由
• 点出发，沿 方向，取适当步长 则
xk
•
必在可行域内。
• 可行点与非可行点的标s志k是 该点的约束函数值大于零的可行点，否k 则不