第11讲巧解圆的周长和面积(一)
推导圆的周长与面积公式
推导圆的周长与面积公式圆是一个非常重要的几何图形，它在很多领域中都有广泛的应用。
诸如物理学、工程学、数学等学科中，都会出现圆的相关问题。
对于圆的周长和面积公式的推导，我将通过几何和代数的方法来进行阐述。
1. 圆的周长公式推导假设有一个半径为r的圆，我们可以通过以下几何推导来得到其周长公式。
首先，想象一个圆被等分成n个扇形，每个扇形的度数表示为θ（度数制）。
由于一个完整的圆共有360度，所以每个扇形的度数为360/n。
接下来，我们可以将这个圆展开，得到一个近似矩形，其长即为圆周长，而宽则为扇形的一边长（弧长）。
矩形的长为圆的周长，记为C，宽为r * θ * π / 180（弧长公式）。
其中，π是圆周率，约等于3.14159。
由于矩形的长即为圆的周长，我们可以得到以下等式：C = r * θ * π / 180考虑到扇形的度数θ与圆的半径r之间的关系，我们有θ = 360/n。
将θ代入上述等式中，得到：C = r * (360/n) * π / 180进一步简化上述等式，我们可以得到圆的周长公式：C = 2 * r * π因此，圆的周长公式为：C = 2 * r * π。
2. 圆的面积公式推导同样假设有一个半径为r的圆，接下来我将通过代数方法推导其面积公式。
首先，我们可以将圆平分成n个等角的扇形，每个扇形的度数为θ。
然后，我们将这个圆内接在一个正多边形，该正多边形有n个边，每个边的长度为s。
这样，我们可以将圆的面积近似为这个正多边形的面积。
正多边形的面积可以通过以下公式计算：A = (1/2) * n * s^2 *tan(180/n)。
其中，A表示面积，n表示正多边形的边数，s表示正多边形的边长。
当我们令正多边形的边数n趋近于无穷大时，正多边形的形状趋近于圆。
因此，我们可以用极限来表示圆的面积。
即：lim(n→∞) A = π * r^2由此，我们得到了圆的面积公式：A = π * r^2综上所述，圆的周长公式为C = 2 * r * π，面积公式为A = π * r^2。
《圆的周长和面积》(运用圆的周长公式解决实际问题)教学课件
教学目标
1、结合具体事例，经历灵活运用圆周长公式解 决实际问题的过程。 2、能灵活运用圆周长公式解决简单的实际问题， 能表达解决问题的思路和方法。 3、了解现实生活中有许多与圆周长有关的问题， 获得运用知识解决问题的成功体验。
1、圆的周长公式是什么？
2、圆周率π一般取值是多少？
3、计算圆的周长。 （1）d=3厘米 （2）r=8分米
一个圆形花坛的周长是17.27米。它的 直径是多少？
说一说，你都发现了哪些信息？
已知花坛的周长，怎样求它的直径？
方法一： 因为C= πd
所以直径=17.27÷3.14 =5.5（米）
答：花坛的直径是5.5米。
方法二：
解：设花坛的直径是 x 米。
练一练
1.一个圆形木桶上3根铁箍的长度一共 是282.6厘米，这个桶地面的直径是多 少厘米？
282.6÷3÷3.14＝30（厘米）
答：这个桶地面的直径是30厘米。
2.杂技演员骑独轮车走钢丝，车轮转动 25周可以前进31.4米。车轮的半径是多 少米？
31.4÷25÷3.14÷2＝0.2（米） 答：车轮的半径是0.2米。
3.王立民骑自行车通过一座长570米的大 桥。如果自行车车轮每分钟转100周，那 么通过大桥大约要用多少分钟？（得数 保留整数）
65厘米＝0.65米 570÷（3.14×0.65×100）≈3（分钟） 答：通过大桥大约要用3分钟。
4.聪聪家餐厅门的形状和尺寸如下图所示。 （1）上面半圆的高度是多少厘米？
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人教版六年级上册数学圆的周长和面积进阶(课件)
36 4 2 7（2 cm2）
36cm 4cm
THANKS
练习7：用一张斜边为30厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为50厘米的蓝
色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形；问：红、蓝 两张三角形纸片的面积之和是多少？
A
C ' E'
30厘米 E
B
50厘米 D 30厘米 C
S△：50×30÷2 = 750（cm²）
例题8：如图，长方形的长是8cm，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
分析：正方形的边长等于圆的半径 S正方形=r2=10（平方厘米）
S圆=πr2=3.14×10=31.4（平方厘米）
练习9：①如图，直角三角形（直角顶点正好在圆心位置） 的面积是20平方厘米，求圆的面积。
分析：直角三角形的底和高等于圆的半径 S三角形=r2÷2=20（平方厘米） r2=20×2=40（平方厘米） S圆=πr2=3.14×40=125.6（平方厘米）
法① S阴 = （S长 - S圆×2）÷2
r：8÷2÷2 = 2（cm）
宽：2×2 = 4（cm）
4cm
8×4 - 3.14×2×2×2 = 6.88 （cm2）
6.88÷2 = 3.44（cm2）
r
8cm
法②
a
a：8÷2 = 4（cm） r：4÷2 = 2（cm）
S阴 = S正 - S圆 = 4×4 - 3.14×2×2 =3.44（cm2）
S圆 : S正方形 (πr 2 ) : (2r 2 ) π ： 2
③以正方形的边长为半径的圆
思考：圆与正方形的联系在哪里？
圆的周长与面积的解题技巧
小学数学︵ 六年级︶人教版六年级数学上册数学思想方法——圆的周长的解题技巧在解答圆的周长的问题时，首先要能熟练地运用公式进行计其次在遇到有关圆的组合图形的周长计算时，要能巧妙地运用“转化”“拼补“分割”“设数”“逆推”“代换”等技巧将不规刚图形转化为规则图形进行解答。
一、经典例题【例】把4个直径是10cm 的圆柱形酒精瓶子捆扎在一起，截面如图所示，捆扎一圈需要绳子多少厘米？（接头处忽略不计）二、分类训练【技巧1：转化】1.如图，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，等边三角形的边长是20cm 。
阴影部分的周长是多少厘米？提示：仔细观察一下图形，你会发现三个扇形正好拼成一个半圆形，阴影部分的周长相当于圆周长的一半。
小学数学︵ 六年级︶人教版2.求阴影部分的周长。
【技巧3：分割】3.如图，求阴影部分的周长。
（单位：cm)【技巧4：设数】4.如图，甲、乙两只小虫同时从A 点出发，分别沿箭头所示的方向爬到B 点。
若甲、乙两只小虫的速度相同，甲、乙两只小虫谁先爬到B 点？小学数学︵ 六年级︶人教版5.一个半圆形的周长是20.56cm ，它的半径是多少厘米？提示：根据公式“πr +2r =半圆形的周长”求半径。
【技巧6：代换】6.下图中圆的周长是20cm ，圆的面积与长方形的面积相等，阴影部分的周长是多少厘米？提示：阴影部分的周长等于一个圆的周长加上圆周长的41。
小学数学︵ 六年级︶人教版圆的面积的解题技巧在解答圆的组合图形面积或求阴影部分面积时，除了正确运用圆的面积公式外，还可以巧妙地运用“重叠”“转化”“旋转”“平移”“整体带入”等技巧化繁为简、化不规则为规则进行解答。
一、经典例题【例】如图所示，正方形的边长是10cm ，在正方形中画了两个四分之一圆，求图中阴影部分的面积。
二、分类训练 【技巧1：重叠】1.求阴影部分的面积。
[提示：阴影部分的面积=两个圆的面积和减去正方形的面积]【技巧2：转化】2.如图，等边三角形的边长是10cm ，阴影部分的面积是多少平方厘米？[提示：将三个扇形转化成一个半圆形，阴影部分的面积就是半圆形的面积]小学数学︵ 六年级︶人教版【技巧3：旋转】3.如图，求阴影部分的周长。
圆的周长面积知识
圆的周长面积知识
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊圆的周长和面积知识，这可真是超级有趣的呀！
你想想看呀，圆那可是无处不在呢！像咱平时吃的大饼，那就是个圆，还有汽车的轮子，不也是圆嘛！你说要是没有圆，这世界得少多少乐趣呀！
先来说说圆的周长吧。
圆的周长就是绕圆一圈的长度哟。
就好比你要围着一个大圆圈跑步，跑一圈的距离就是这个圆的周长啦。
比如说一个呼啦圈，你要是想知道绕着它跑一圈有多远，那就是在算它的周长嘞！我们可以用公式C=2πr 来计算哦，这里的 C 就是周长，π 呢就是那个神奇的圆周率，r
就是圆的半径啦。
你看，这样是不是很清楚呀！我记得有一次我和小伙伴比赛谁能更快算出一个圆的周长，那可真是紧张又刺激呢！
然后呢，就是圆的面积啦。
圆的面积就像是这个圆所占的地方有多大。
好比一个圆形的池塘，你想知道它能装多少水，那就是算它的面积嘛。
这时候公式就是S=πr²啦，S 表示面积哟！举个例子，一个蛋糕是圆的吧，如果要知道能切多少块，是不是就得知道它的面积呀！记得有一次我过生日，妈妈买了个超级大的圆形蛋糕，我就在那琢磨着它的面积有多大呢！
哎呀呀，圆的周长和面积知识真的是太重要啦，生活中到处都用得到呢！咱可得好好掌握呀，不然很多好玩的事儿都搞不定呢！你说是不是？反正我觉得是超级有用的，你们也一定要好好学哦！这样咱才能在遇到和圆有关的问题时，轻松搞定呀！
我的观点就是：圆的周长和面积知识虽然简单，但是真的特别实用，一
定要认真学，好好用！。
圆的面积与周长
圆的面积与周长圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有许多特殊的性质，其中包括面积和周长。
本文将探讨圆的面积和周长的计算方法及其应用。
一、圆的面积计算方法圆的面积是指圆所占据的平面的大小，通常用单位面积来表示。
要计算圆的面积，我们需要用到圆的半径或直径这两个参数。
1.1 圆的半径计算方法圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的直线段长度，通常用字母r表示。
我们可以利用已知的圆的半径来计算圆的面积。
圆的面积公式如下：S = πr²其中，S表示圆的面积，π是一个无理数，约等于3.14159。
例如，若已知一个圆的半径r为5cm，我们可以计算其面积：S = 3.14159 × 5² ≈ 78.54 cm²1.2 圆的直径计算方法圆的直径是指通过圆心并且同时与圆周上两个点相连的线段的长度，通常用字母d表示。
知道圆的直径可以直接计算出圆的面积。
我们知道圆的直径和半径之间存在以下关系：d = 2r因此，圆的面积也可以用直径来计算：S = π( d/2 )²例如，若已知一个圆的直径d为10cm，我们可以计算其面积：S = 3.14159 × (10/2)² = 78.54 cm²二、圆的周长计算方法圆的周长是指圆周上的线段的长度，也可以理解为圆上任意两点间的弧长。
同样地，我们可以利用圆的半径或直径来计算圆的周长。
2.1 通过半径计算周长已知半径的圆的周长计算公式如下：C = 2πr例如，若已知一个圆的半径r为5cm，我们可以计算其周长：C = 2 × 3.14159 × 5 ≈ 31.42 cm2.2 通过直径计算周长已知直径的圆的周长计算公式如下：C = πd例如，若已知一个圆的直径d为10cm，我们可以计算其周长：C = 3.14159 × 10 ≈ 31.42 cm三、面积和周长的应用圆的面积和周长是在许多实际情况中经常被应用的概念。
初中数学复习如何快速解决圆的面积与周长问题
初中数学复习如何快速解决圆的面积与周长问题圆是我们数学学习中的一个重要概念，涉及到圆的面积与周长的计算也是我们必须掌握的基本技能。
本文将介绍一些快速解决圆的面积与周长问题的方法，帮助初中生复习数学知识。
一、圆的面积公式及其应用圆的面积公式是数学教科书中最基础的公式之一，被广泛应用于各个领域。
圆的面积公式如下：\[\text{面积} = \pi \times r^2\]其中，\(\pi\)是一个常数，近似取值为3.14，\(r\)是圆的半径。
在解决圆的面积问题时，我们通常需要根据已知条件确定半径的值，然后将半径代入公式中进行计算。
下面是一个例子：例1：一个圆的半径为5cm，求解其面积。
解：根据面积公式，将半径代入可得：\[\text{面积} = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.5 \, \text{cm}^2\]所以该圆的面积约为78.5平方厘米。
除了直接使用面积公式进行计算外，我们还可以利用一些简化计算的技巧。
例如，当半径是整数时，可以利用整数半径对应的面积关系进行计算。
当半径是分数时，可以将分数化简为最简形式，进一步简化计算过程。
通过灵活运用这些技巧，可以更加快速地解决圆的面积问题。
二、圆的周长计算方法圆的周长是指圆形边界的长度，也称为圆的周长或圆周长。
圆的周长公式如下：\[\text{周长} = 2 \pi r\]在解决圆的周长问题时，我们也需要根据已知条件确定半径的值，然后将半径代入公式中进行计算。
下面是一个例子：例2：一个圆的半径为8cm，求解其周长。
解：根据周长公式，将半径代入可得：\[\text{周长} = 2 \pi \times 8 = 16\pi \approx 50.3 \, \text{cm}\]所以该圆的周长约为50.3厘米。
与圆的面积计算类似，我们也可以利用一些简化计算的技巧来快速解决圆的周长问题。
例如，当半径是整数时，可以直接通过半径乘以2再乘以\(\pi\)得到周长的近似值。
圆的周长和面积知识点总结
圆的周长和面积知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠圆的周长和面积那些事儿。
咱先说说圆的周长哈。
圆的周长，那就是绕着圆走一圈的长度。
就好比你围着一个大圆圈跑步，跑一圈的距离就是它的周长啦！那咋算圆的周长呢？那就要用到一个超厉害的公式：C=2πr（这里C 表示周长，π就是圆周率，约等于，r 就是圆的半径啦）。
比如说，有个圆的半径是 5 厘米，那它的周长就是2××5= 厘米呀！你想想，要是不知道这个公式，那想知道圆的周长得多难呀，是不是？
接着就是圆的面积啦！圆的面积就好像是圆所占的那一块地方有多大。
你可以把圆想象成一块大饼，这个大饼的大小就是它的面积哟！算圆的面积有个公式：S=πr²（S 表示面积哟）。
假如有个圆的半径是 3 厘米，那面积就是×3²= 平方厘米呢！你说神奇不神奇？
小明有次就问我：“嘿，这圆的周长和面积到底有啥用呀？”我就告诉他：“你想想看呀，咱盖房子的时候，要围个圆形的花园，那不得知道周长好去准备材料呀，面积能让我们知道这个花园有多大地方能种多少花呢！”他一听，恍然大悟！
圆的周长和面积的知识真的超重要呢！它们就像是打开数学世界大门的钥匙呀！所以呀，大家可得好好记住这些公式和概念哦，以后肯定用得上呢！不管是在生活中还是学习里，圆的周长和面积都有着不可或缺的作用呀！相信我，没错的！。
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才子教育
小学奥数系列
第11讲 巧解圆的周长和面积（一）
本节研究圆与各种图形的组合图形。
一般的组合图形都是有一些基本图形拼合或重叠而成的。
细心观察，识别图形是解这类题的关键。
（1） 常用技巧：确定弧的长度，弧所对的圆心角大小。
（2） 圆心角分别为60°，90°，120°，270°，···的扇形可以看 作是6
1，4
1，3
1，4
3…的圆来计算面积。
例1 如右图，四根直径相同的管子 别一根金属带紧紧的捆在一起，一直阴影部分的面积是0．615平凡米，试问：金属带的长度是多少
米？
分析与解 阴影部分的面积是以4个圆心为顶点的正方形的面积减去一个圆的面积。
设管子的直径为d ，则
d 2-π×（2
1
d ）2=d 2 ×（1-4
π）=0.615，d=1
金属带的长度正好是直径的4倍和一个圆的周长总和：
1×4+π×1=4+3.14=7.14（米）
答金属带的长度是7.14米。
才子教育小学奥数系列做一做1 有7根直径2分泌的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，问：最短需要多少米长的绳子？（打扣用的绳子不计）
例2、用两根都是6.28米长的铁丝，分别为成一个正方形和一个圆形，问：哪一个的面积大，大多少？
分析与解围成的正方形边长是
6.28÷4=1.57（米）
这个正方形的面积为
1.572=2。
4649（米）2
围成的圆的半径是
6.28÷（2π）=1米）
这个圆的面积为
π12=3.14（米2）
所以圆的面积比正方形的面积大。
3.14-2.4649=0.6751米2。
做一做、用两根长都是12.56厘米的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，问：哪一个面积大？大多少？
才子教育小学奥数系列
例3、如右图，三角形S1的面积是是24平方厘米，斜边长10厘米。
将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是多少？（π≈3.14）
分析与解 S
，可见
扫过的面积=S2+扇形面积
=24+10×10×3.14
=102.5（厘米2）
答：三角形扫过的面积是102.5厘米2。
做一做、右图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。
设A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点（见图），那么，
图中阴影部分的面积是多少？
例4、如右图，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米。
问：阴影部分的面积是多少？
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分析与解 以AB 为轴作出扇形ABCD 的对称图形（如图），那么所求阴影部分的面积等于半径为AC 的圆面积的4
1
减去直角三角形ACC ＇的面积所得差的一半，即所求阴影部分的面积为
［3.14×（62+62）×4
1-（62+62）÷2］÷2=10.62（厘米2） 答：阴影部分的面积是10.62厘米2。
做一做、计算右图阴影部分的面积。
（单位：厘米）
例5、如图，∠BOA=90°，若以OA 为直接画半圆交OD 于K ，且∠AOD=450，又图中①的面积为1厘米2，求阴影部分的面积。
分析与解：设OA=R 则扇形AOB 的圆心角是90°，半径为R 。
因为S 扇形AOB =41πR 2=2S 扇形AOD ，S 扇形AOD =8
1πR 2
S 扇形AKO=21错误！未找到引用源。
π×（2R ）2=8
1πR 2 又因为S 半
圆AKO
=S 扇形AOD
所以S 阴影=S ①=1（厘米2）
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答：阴影部分的面积是1厘米2。
做一做、右图中阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大28平方厘米直径AB 长40厘米，求BC 的长。
例6、草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。
问：这只羊能够活动的范围有多大？
分析与解 如右上图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的43个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的4
1个圆。
所以羊活动的范围是
π×302×4
3
+202×4
1+π×102×41=π×（302×43+202×41+102×4
1）
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=3.14×（675+100+25）=2512（米2）
做一做、已知狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见下图），绳子长是4米，求狗所能到的地方的总面积。
例7、下图中的圆是以O 为圆心，半径为10厘米的圆，求阴影部分的面积。
分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出，要想得到阴影部分S 1的面积，就必须想办法求出S 2和S 3的面积。
=2
1πr 2=2
1πr102=50π（厘米2）
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S 3的面积又要用下图的基本思路是：
S 5=2
1 r 2×2=r 2=102=100（厘米2）
要想求出S 4的面积，必须求出半径R 。
因为S 5的面积也等于2
1 R 2，因此得到2
1 R 2=100，即R 2=200。
可见，现在还是无法求出R 。
联想扇形的面积公式S 扇=πR 2×360
a
，只要得到R 2即可使用此公式。
由此得到 S 4=πR 2×
360a =200π×360
90=50π（厘米2） 现在就可以求出S 3的面积，进而求出阴影部分的面积了。
S 3= S 4-S 5=50π-100（厘米2）
S 1= S 2- S 3=50π-（50π-100）=100（厘米2）
做一做、如图，在以AB 为直径的半圆上取一点C,分别以AC 和BC 为直径在△ABC 外作半圆AEC 和BFC ，当C 点在什么位置时，图中两个弯月形（阴影部分）AEC 和BFC 的面积和最大？
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巧练习——温故知新（十一）
1、如右图所示，已知大圆O的半径为20厘米，求a、b、c、d四个小圆的周长之和。
2、如图1、图2所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
3、如下图所示，已知△OAB为等腰直角三角形，面积为20厘米2，
求阴影部分的面积。
4、如下图所示，已知长方形ABCD中，CD长为10厘米，BC宽为6厘
才子教育小学奥数系列米，DCE为扇形，求两块阴影部分的面积之差。
5、如下图所示，已知正方形边长为20厘米，求阴影部分的面积。
6、如下图所示，大圆半径为6，求阴影部分的面积。
7、已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将边中点用直线连接起来，得到下图。
那么，图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
才子教育小学奥数系列8、如下图所示，正方形ABCD的吗为200厘米2，求内切圆的面积。
（π去3.14）
9、如下图所示，已知圆的面积为3140厘米2，求内接正方形ABCD的
面积。
（π取3.14）
10、如下图所示，已知大正方形的面积为100厘米2，小正方形的面积为50厘米2，求阴影部分的面积。
11、如下图所示，已知在圆O中，线段AB和CD将圆分成S1，S2，S3，S4四部分，而且圆心O到AB和CD的距离分别为3厘米和2厘
才子教育小学奥数系列米，S1和S4的面积和为180平方厘米，求圆的面积。
12、下图所示是一个古座钟的图形，如果内圆的半径为12厘米，求阴影部分的面积。
13如下图所示，已知三个圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积是多少？
14、如下图所示，有一卷透明胶，每层厚度为0.05厘米，求将这卷
透明胶全部展开以后的长度。
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15、如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米，现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针旋转90度，那么，AB边旋转时所扫过的面积是＿＿＿平方米。
（π取3.14）。