中考专题复习利用隐形圆求圆的最值
巧用隐圆 妙解最值-2024年中考数学重难热点(学生版)
巧用隐圆妙解最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB的长度固定不变(定弦)，∠ABC=α不变(定角)。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB为三点所在圆的直径。
(可以解决动点轨迹。
)隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。
(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。
隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以AO中点M为圆心的圆。
(P 为“主动点”，点Q为“从动点。
)典例分析如图1-1，点P (3,4)，圆P 半径为2，A (2.8,0)，B (5.6,0)，点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．【点睛】图1-2，M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．图1-3：当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．实战训练一、单选题1如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-22如图，⊙O 的半径是6，P 是⊙O 上一动点，A 是⊙O 内部一点，且AO =3，则下列说法正确的是()①PA 的最小值为6-3；②PA 的最大值为6+3；③当∠OAP =90°时，△PAO 是等腰直角三角形；④△PAO 面积最大为32．A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④3如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，△ACE的面积为( )．A.6B.62C.9D.924正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为()B.2C.213-6D.213-4A.3256已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =8，tan ∠ABC =32，点N 是边AC 的中点，点M 是射线BC 上的一动点(不与B ，C 重合)，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折得△EMN ，连接BE ，CE ，当线段BE 的长取最大值时，sin ∠NCE 的值为()A.35B.55C.235D.2557如图，边长为1的小正方形网格中，点A ,B ,C ,E 在格点上，连接AE ,BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则tan ∠AED 的值是()A.255B.2C.55D.12二、填空题8如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．9在Rt △ACB 中，∠BAC =30°,CB =2，点E 是斜边AB 的中点，把Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转，得Rt △AFD ，点C ，点B 旋转后的对应点分别是点D ，点F ，连接CF ，EF ,CE ，在旋转的过程中，△CEF 面积的最大值是．10如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D 是AC 上一点，且CD =3，E 是BC 边上一点，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 落在点F 处，连接BF ，则BF 的最小值为．11如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在射线BC 上，则PD PA 的最小值为．12如图，已知△ABC ，外心为O ，BC =18，∠BAC =60°，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是．13如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为边AD 上一个动点，点F 在边CD 上，且线段EF =4，点G 为线段EF 的中点，连接BG 、CG ，则BG +12CG 的最小值为．14如图，在锐角△ABC 中，AB =2，AC =6，∠ABC =60°．D 是平面内一动点，且∠ADB =30°，则CD 的最小值是15如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．16如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，AF的长为．17如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为．18如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC=6，CD=5，则线段AE的长为．三、解答题19在△ABC中，∠ACB=90°，CA=2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，若BC=2，求DE 的长；(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：AB=CE+BE；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ACF沿AC翻折得到△ACF ，M为直线AD上一个动点．连接BM，将△BDM沿BM翻折得到△BMD ．当D F 最小时，直接写出F D的值．FF20已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O 处．(1)如图①，当∠OAM=30°时，求点O 的坐标；(2)如图②，连接CO ，当CO ∥AM时．①求点M的坐标；②连接OB，求△AO M与△AOB重叠部分的面积；(3)当点M在线段OC(不包括端点)上运动时，请直接写出线段O C的取值范围．21如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，E为BC的中点，F为CE的中点，连接AF，DF，AD．(1)若AB=4，求AD的长度；(2)若将△BDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明AF=DF，AF⊥DF；(3)如图③，在△BDE绕点B旋转的过程中，再将△ACF绕点A逆时针旋转60°到△AC F ，连接BF ，若AB=4，请直接写出BF 的最大值．22如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．23如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC，DE=DF，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若BC=32，AF=655，tan∠BAF=2，求线段BF 的长；(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：2AF=2BE+EF；(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若AB=62，请直接写出线段AP的最大值．24在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像过点C0,-4，与x轴交于点和点D2,-6A、B(点A在点B的左边)，且点D与点G关于坐标原点对称．(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N 恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；(3)若第四象限有一动点E，满足BE=OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为t,0，0<t<4，△BEF 的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．25如图，抛物线y=ax2-2ax-3a(a为常数，a<0)与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK=2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．26如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．27如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE=90°(1)证明：△ABF∽△FCE；(2)当DE取何值时，∠AED最大．28已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．29问题背景如图(1)，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C 两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小(取最小旋转角度)．尝试应用如图(2)，△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA=∠AEC=60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图(3)在问题背景的条件下，若AB=2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．30如图，在等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，AE=CF，BE与AF交于点P，连接CP.(1)设AB=a，直接写出等边ΔABC外接圆的半径长为，内切圆的半径长为．(2)求∠APB的度数．(3)若AB=6，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由．四、典例1如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为．。
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 (含答案)
2024成都中考数学二轮微专题利用隐形圆解决最值问题专项训练模型一定点定长作圆模型分析如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A 为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．模型应用1.如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF 所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法)第2题图模型二直角对直径模型分析(1)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．模型应用3.如图，已知线段A B.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.第3题图4.如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.第4题图模型三定弦对定角(非90°)模型分析固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧．(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；(2)如图②，若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O 的ACB ︵上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则点C 在优弧上运动；等于90°，则点C 在半圆上运动；大于90°，则点C 在劣弧上运动)模型应用5.如图，已知线段AB .(1)请在图①画出线段AB 上方使∠APB ＝60°的所有点P ；(2)请在图②中画出线段AB 上方使∠APB ＝45°的所有点P .第5题图6.如图，已知四边形ABCD .(1)如图①，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠APB ＝30°的所有点P ；(2)如图②，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝60°的所有点P ；(3)如图③，在正方形ABCD 中，请在正方形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝45°的所有点P ；(4)如图④，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝45°的所有点P .第6题图模型四四点共圆模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．模型应用7.在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误．．的是()A.CD＝2MEB.ME∥ABC.BD＝CDD.ME＝MD8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值．第8题图模型五点圆最值模型分析已知，在平面内一定点D和⊙O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示DE的最大值________________________此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值________________________此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合连接OD交⊙O于点E模型应用9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．第9题图10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．第10题图模型六线圆最值模型分析1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．(1)如图①，点C在优弧AB︵上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB最大；的最大距离，此时S△ABC(2)如图②，点C在劣弧AB︵上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．2．如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d ＋r(如图④)．推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．模型应用11.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB︵上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB ＝60°，求△ABC面积的最大值．第11题图12.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求△CDF面积的最小值．第12题图参考答案1.解：如解图所示：第1题解图2.解：如解图所示：第2题解图3.解：如解图，⊙O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点．第3题解图4.解：如解图，点P1、P2即为所求点．第4题解图5.解：(1)如解图①，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；(2)如解图②，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)．第5题解图6.解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求；(4)如解图④所示，点P1、P2即为所求．图①图②图③图④第6题解图7.A【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB ＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(选项C正确)，∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM ＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(选项D正确)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(选项B正确)．假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵无法确定∠DCM的大小，故选项A错误．第7题解图8.解：如解图，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，∴A、P、B、C四点共圆，∵AB为⊙O直径，圆心为AB的中点O，∴点P在⊙O上运动，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∠A ＝∠CPB ，∴△ABC ∽△PQC ，∴QC PC ＝BC AC ＝34，∴CQ ＝34PC ，要使得CQ 最大，只需PC 最大，当PC 为⊙O 的直径时，PC 取得最大值，∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∴PC 的最大值为5，∴CQ 的最大值为154.第8题解图【模型分析】d ＋r ，2r ，d ＋r ，r －d ，0，d －r9.6【解析】如解图，在⊙O 上任取一点E ，连接OE 、CE ，则CE ≤CO ＋OE ，当C 、O 、E 三点共线时，CE 取得最大值，即要求CE 的最大值，则求CO 的最大值．连接AC ，∵CO ≤AC ，∴当点O 与点C 重合时，CO 取得最大值时．在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，∴OC 最大＝5，∴CE 最大＝OC 最大＋OE ＝6.∴点C 到⊙O 上的点的距离的最大值为6.第9题解图10.13【解析】如解图，连接OC ，OM ，∵∠AOB ＝90°，AB ＝10是定值，M 是AB 的中点，∴A 、O 、B 三点一直在以点M 为圆心，AB 长为直径的圆上，∵在△OMC 中，OM ＋CM ≥OC ，∴当O 、M 、C 三点共线时，即OC 过圆心M 时，OC 的长度最大．∵AB ＝10，∴OM ＝12AB ＝5，又∵CM ＝8，∴当OC ＝CM ＋OM ＝8＋5＝13时，OC 取得最大值，即点C 到点O 的最大距离为13.第10题解图11.解：如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE 、BE ，则AE ＝BE ，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12AB ·h ，易得当C 与E 重合时，h 取得最大值，即DE 的长，此时△ABC 的面积也取得最大值，即△ABE 的面积．∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°，∴△ABE 为等边三角形．∴∠EAB ＝∠AEB ＝60°.∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∴DE ＝OE ＋OD ＝4＋2＝6.此时S △ABE ＝12AB ·DE ＝12×43×6＝123.第11题解图12.解：由折叠的性质可知，MF ＝BM ，∵点M 是AB 的中点，AB ＝10，∴BM ＝5，∴点F 在以点M 为圆心，5为半径的AB ︵上运动，如解图，过点F 作FG ⊥CD 于点G ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ，则MH ≤MF ＋FG ，∴当点M 、F 、G 三点共线，即点G 与点H 重合时，FG 取得最小值，最小值即为MH －MF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴MH ＝AD ＝12，∴FG 最小＝MH －MF ＝7，∴S △CDF 最小＝12CD ·FG 最小＝12×10×7＝35.第12题解图。
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。
该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。
以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。
在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。
求这个圆的最大半径。
解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。
根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。
根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。
由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。
代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。
在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。
通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。
重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。
隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。
中考数学复习 寻找隐圆,求解最值
隐隐圆圆条条件件：： OA∠ABDO＝＝B2＝O(定1C线3＝5)°5(定为角定)值
发现模型 —— 模型三 四点共圆
例3 如图 ，等边△ABC 中，AB =6，P 为 AB 上一动点， 若∠AEP ＋∠BDP＝ 180°，求DE 的最小值.
（3）求在旋转过程中点P的纵坐标的最大值
P
P P P
1、基本模型：
课堂小结
PAmin PA1
PAmax PA2
当PA与⊙O相切时， ∠APO最大
一定一动点，动点在圆上
2、注意挖掘隐圆的条件
模型一 定点定长定圆 模型二 定线定角定圆 模型三 四点共圆
走进中考（课后作业）
在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边上的中点，N
OM＝2(定线) ∠ADM＝90°(定角)
• 隐圆模型二 定线定角定圆
在圆O中，若AB为直 径，则∠ACB=90°
若AB是固定的线段，且总 有∠ACB=90°， 则C在以AB为直径的圆上.
• 隐圆模型二 定线定角定圆
在圆O中，若弦AB长度固定， 则弦AB(同侧)所对的圆周角相等.
若有一固定线段AB及AB 所对的∠C角度不变， 则C在以AB为弦的圆上.
易证△ABE≌△DCF △DAG≌△DCG
隐圆条件：∠AHB=90°
挑战自我
A（4，0）、B（0,2），点F为AB上一点且AF=2， 将线段AF绕点A旋转，在旋转过程中，点P始终为 BF中点，求线段OP的最大值
发现模型 —— 隐圆模型一 定点定长定圆
例1 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将 △ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△MNC，P、Q 分别是 AC、MN 的中点，AC＝2，连结PQ，求旋转时PQ 的最
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
24/5
DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证
中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之点圆线圆最值问题
中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之点圆线圆最值问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1B．1.2C．3D．5评卷人得分二、填空题2．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为____，OB长的最小值为____，AC长的最大值为____，AC长的最小值为____，AB长的最大值为____，AB长的最小值为____．3．如图，M的半径为2，圆心M的坐标为()3,4，点P是M上的任意一点，PA PB⊥，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，点A的坐标为______．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线2y=上的一个动点，P的半径为1，直线OQ切P于点Q，则线段OQ的最小值为______．5．如图，AB为△O的一条定弦，点C为圆上一动点．（1）如图△，若点C在优弧AB上，当CH△AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C 到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．如图△，若点C在劣弧AB上，当CH△AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．（2）如图，△O与直线l相离，点P是△O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，△O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是（如图△），点P到直线l的最大距离是（如图△）．评卷人得分三、解答题6．（1）如图，木杆AB靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也沿着水平方向向右滑动．你能用虚线画出木杆中点M随之运动的轨迹吗？（2）在（1）的基础上，若AB＝4，以AB为作等边△ABC，如图所示，连接OC，当木杆AB在下滑过程中，试求OC的最大值．7．如图，O的半径是5，点A在O上．P是O所在平面内一点，且2AP=，过⊥．点P作直线l，使l PA（1）点O到直线l距离的最大值为；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为．参考答案：1．B【解析】【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ△AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用三角函数的知识求解即可．【详解】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ△AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，△sin△A=FQAF，sin△A=BCAB，△FQAF=BCAB，△AC＝6，BC＝8，CF＝2，△AB=10，△8410FQ，△FQ=3.2，△FP0=2，△P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理、三角函数、圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2． 8 2 9 1 12 0【解析】【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：,,O C B 位于一条直线上时，当点C 在点B 左侧时，OB 最大，最大值为：8OC BC +=，当点C 在点B 右侧时，OB 最小，最小值为：2OC BC -=，,,O C A 位于一条直线上时，当点A 在点O 左侧时，AC 最大，最大值为：9OC OA +=，当点A 在点O 右侧时，AC 最小，最小值为：1OC OA -=，,,,A O C B 在一条直线上时，且A 位于O 点左侧，B 点位于C 点右侧，此时，AB 最大，最大值位：12AO OC CB ++=，当点,A B 重合时，AB 最小，最小值为：0，故答案为：8，2，9，1，12，0．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出相应的位置是解本题的关键．3．3,0【解析】【分析】连接OP ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP =12AB ，当OP 最短时，AB 最短，连接OM 交△M 于点P ，则此时OP 最短，且OP =OM －PM ，计算即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接OP ．△P A △PB ，OA =OB ，△OP =12AB ，当OP 最短时，AB 最短．连接OM交△M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM=22342+-=3，△AB的最小值为2OP=6．△点A、点B关于原点对称，△OA=OB=3，△点A的坐标为3,0，故答案为：3,0．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．4．3【解析】【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ△OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【详解】解：连接PQ、OP，如图，△直线OQ切△P于点Q，△PQ△OQ，在Rt△OPQ中，OQ=22OP PQ－=2OP－1，当OP最小时，OQ最小，当OP△直线y=2时，OP有最小值2，△OQ的最小值为=221－=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．5．（2）d-r，d+r【解析】【分析】（2）根据“点P到直线l的距离的最大值=圆心O到直线l的距离+△O的半径，最小值=圆心O到直线l的距离-△O的半径”即可解决问题．【详解】解：（2）点P到直线l的距离的最小值=圆心O到直线l的距离-△O的半径=d-r；点P到直线l的距离的最大值=圆心O到直线l的距离+△O的半径=d+r；故答案为：d-r，d+r．【点睛】本题考查了圆心到直线的距离，本题也是求最值问题，利用数形结合是解题的关键．6．（1）M的运动轨迹是以O为圆心，OM为半径的圆弧，作图见详解；（2）OC取得最大值为232+．【解析】【分析】（1）根据题意可得：M是AB的中点，AOB∆为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得OM为定值，运动轨迹为以O为圆心，OM为半径的圆弧；（2）作CM AB⊥于点M，连接OM，根据等边三角形的性质可得12OM AB=，利用勾股定理得32CM AB=，由此确定OM CM+为定值，然后根据三角形中三边关系即可确定当点O 、M 、C 三点共线时，OC 取得最大值，求出即可．【详解】解：（1）如图虚线为点M 的运动轨迹，理由如下：∵M 是AB 的中点，AOB ∆为直角三角形，∴12OM AB =为定值， ∴M 的运动轨迹是以O 为圆心，OM 为半径的圆弧；（2）如图中所示：作CM AB ⊥于点M ，连接OM ，∵ABC ∆为等边三角形，∴M 为AB 的中点，∴12OM AB =， 在Rt ACM ∆中，2232CM AC AM AB =-=， ∴312322OM CM AB ++==+，为定值， ∵在ODC ∆中，两边之和大于第三边，∴OM CM OC +>，∴当点O 、M 、C 三点共线时，即点M 在OC 上时，OC 取得最大值，最大值为232+．【点睛】题目主要考查直角三角形中斜边上的中线性质、等边三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、点、线、圆的位置关系等，熟练掌握综合运用这些知识点是解题关键． 7．（1）7；（2）21．【解析】【分析】（1）当点P 在圆外且,,O A P 三点共线时，点O 到直线l 距离的最大，由此即可得；（2）先确定线段MN是O的直径，画出图形，再在Rt AOP△中，利用勾股定理即可得．【详解】解：（1）如图1，l PA⊥，∴当点P在圆外且,,O A P三点共线时，点O到直线l距离的最大，此时最大值为527AO AP+=+=，故答案为：7；（2）如图2，,M N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直径，l PA⊥，90APO∴∠=︒，2AP=，5OA=，2221OP OA PA∴=-=，故答案为：21．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．。
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将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C
长度的最小值是_______．
D
C
M A
AN
B
知识储备一:圆的概念
圆的定义：在一个平面内，线段OA
A
绕它固定的一个端点O旋转一周另
一个端点A所形成的图形叫做圆。r Nhomakorabea·
通过上述画圆的过程可以看出：到定点的距 离等于定长的点都在同一个圆上。
课前及课上要求
1、请同学们课前试着做一下类型一和类型二中 的例题和变式训练； 2、准备好双色笔，课上认真听讲，及时梳理、 改错。
1
初四数学 数学专题1：***************
利用隐形圆求最值问题
类型一：点圆最值
例1：（2019年通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝
1
60°，M是AD边上的一点，且AM＝ 3 AD，N是AB边上的一动点，
类型二：线圆最值
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， BC＝8，点F 在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点 P处，则点P 到边AB 距离的最小值是________．
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变式训练2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D， P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP 面积的最大值为________．
拓展：定弦定角型
如图1⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任 一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如 图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ 为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
练习1：如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝ 4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP， 则线段CP的最小值为________．
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练习2：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是 △ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为_________
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练习3：如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为____。
类型一：点圆最值
例1：（2019年通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝
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60°，M是AD边上的一点，且AM＝ 3 AD，N是AB边上的一动点，
将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C
长度的最小值是_______．
D
C
M A
AN
B
变式训练1： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∠C＝30°，AB＝1，点D在AC边上运动，点E为AC的 中点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点F，则 在点D从C到A的运动过程中，线段EF的最小值为___.