高二数学同步测试：圆锥曲线综合

圆锥曲线、简易逻辑综合

1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b

y a x 的离心率为 （ ）

2．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为______

3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 1

2

,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ）

4．若过原点的直线与圆2

x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）

5．椭圆13

122

2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的____倍

6．动点P （x , y ）

满足|3410|x y +-，且P 点的轨迹是椭圆，则a 的取值范围是 ． 7．双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为5

9

=

x ,则双曲线方程为___________ 8．已知命题p ：若实数y x ,满足022=+y x ，则y x ,全为零。命题q ：若b a >，则

b

a 1

1<，给出下列四个复合命题：①p 且q ②p 或q ③非p ④非q ，其中真命题是 。

9．设点P 是双曲线132

2

=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+2

1|PF |有最小值时，则点P 的坐标是______________________________．

10. 已知p ：| 2x －3 |＞1；q ：1

x 2+x －6>0，则┐p 是┐q 的_________条件

11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为

_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为 ．

以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13

72

2=+y x 的公共点有 个.

13．设12,F F 分别是椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，若在其右准线存在点P ，使线段1PF 的中垂线过

点2F ,则椭圆离心率的取值范围__________________.

14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .

15．如图，F 1，F 2分别为椭圆122

22=+b y a x 的左、右焦点， 点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形， 则b 2

的值是 。

16．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，

且3=AF ，则此抛物线的方程为______________

17已知命题p ：方程022

2

=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2

220x ax a ++≤，

若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．

18、双曲线C 的中心在原点，右焦点为???

?

??0,332F ，渐近线方程为x y 3±=.

（1）求双曲线C 的方程；

（2）设直线l ：1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点

19. 已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的

圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；

（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．

20．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为2

3

，点A 、B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为

5

5

6。 （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知点E(3, 0)，设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求?的取值范围。

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．

1

27

362

2=+y x 12．3022<+

15. 16. x y 32=

17

]22222:20(2)(1)021

021

1,1,||1||1,||1220.22480.02,""||10"""|100a x ax ax ax a x x a a x a a a x ax a y x ax a x a a a p q a a P Q a a a a +-=+-=≠∴=-=

?∈-≤≤∴≥?++≤=++∴?=-=∴=∴≥=∴-<<< 解由，得，

显然或

故或“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或命题或为真命题"时或命题或为假命题

的取值范围为或}

{1< 18（Ⅰ）设双曲线的方程是()001-2222>>=b a b

y a x ，，则332=c ，b a =

又2222,1c a b b =+∴= ， 3

1

2

=

a ， 所以双曲线的方程是1322=-y x .

（Ⅱ）① 由2

2

1,31,

y kx x y =+??

-=?得()

022322=---kx x k ，

由03,02≠->?k 且，得,66<<-k 且 3±≠k . 设()11,y x A 、()22,y x B ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OB OA ⊥， 所以 12120x x y y +=. 又12223k x x k -+=

-，12

22

3

x x k =-， 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=， 所以

22

103

k +=-，解得1±=k .

19. [解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,4

1(的抛物线；（2）当10<

1)1()

1(2

222

2

=-+

---a a y a

a a a

x ，表示焦点在x 轴上

的椭圆；（3）当a>1时，11

)

1()1(22

22

=-----

a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12

2

22=-a

y a x ．

又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222

=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x . （2）由???=-+=1

12

2y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f

∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此?

??

??>--<->?0120120

22

m m m

且，解得21<

,

1(2

2m m m --，

∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=

x m m y ． 令x =0，得817

)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,

1(∈m ，∴)1,22(8

17)4

1(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．

20．解：（1）由离心率e =

2

3=

a c ，得2112

=-=e a b ，所以a = 2b ① 因为原点O 到直线AB 的距离为556，所以55

622=

+b

a a

b ② 由①代入②得b 2

=9，所以a 2

=36，则椭圆C 的标准方程是

19

362

2=+y x （2）因为EP ⊥EQ ，所以EQ EP ?=0，所以2

)(EP EQ EP EP QP EP =-?=?

设P(x , y )，则

193622=+y x ，即y 2

=9–4

2x 所以QP EP ?=6)4(4

3)49(96)3(222

222+-=-++-=+-=x x x x y x EP

因为–6≤x ≤6，所以6≤2

)4(4

3-x +6≤81，所以?的取值范围为[6，81]