金老师教育培训备战高考文科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点21 等差数列及其前n项和
专题21 等差数列及其前n 项和
（1）理解等差数列的概念.
（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数的关系.
一、等差数列 1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即1n n a a d +-=，d 为常数． 2．等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b
A +=． 3．等差数列的通项公式及其变形
以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-．
公式的变形：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*
N ．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-． 令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．
（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列． （2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均
匀分布的一群孤立的点． 二、等差数列的前n 项和 1．等差数列的前n 项和
首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)
==22
n n n a a n n S na d +-+． 令2d p =
，12
d q a =-，可得2
n S pn qn =+，则 ①当0p ≠，
即0d ≠时，n S 是关于n 的二次函数，点(,)n n S 是2
=y px qx +的图象上一系列孤立的点； ②当0p =，即0d =时，n S 是关于n 的一次函数(0q ≠，即10)a ≠或常函数(0q =，即10)a =，点
(,)n n S 是直线y qx =上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题． 2．用前n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}n a 的前n
项和2
n S an bn c =++，那么当且仅当0c =时，数列{}n a 是以a b +为首项，2a 为公差的等差数列；
当0c ≠时，数列{}n a 不是等差数列． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：
（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*
N ． （2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*
N ． 特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*
N ；
②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*
N ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=
（3）下标成等差数列的项2,,,
k k m k m a a a ++组成以md 为公差的等差数列．
（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．
（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列．
（6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质： 设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ， （1）数列{
}n S n
是等差数列，首项为1a ，公差为1
2d ．
（2）232(1),,,
,,
k k k k k mk m k S S S S S S S ----构成公差为2k d 的等差数列．
（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，
1
n n S a
S a +=奇偶． （4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，
(,1n S n S na S n ==-奇奇
偶(1))n S n a =-偶． （5）2121n n n n S a T b --=，21212121m m
n n
S a m T n b ---=?-．
考向一 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的方法：
①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈?*N {}n a 是等差数列； ②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；
③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈?*
N 为等差数列；
④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)?{}n a 为等差数列； ⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)?{}n a 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
典例1 已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若数列{}n a 是等差数列，设其公差为1d ，则()()1121212n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=， 所以数列{}n b 是等差数列.
若数列{}n b 是等差数列，设其公差为2d ，则()()112122n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=，不能推出数列{}n a 是等差数列.
所以“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A ．
【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列{}n a 为等差数列”能推出“数列{}n b 为等差数列”，“数列{}n b 为等差数列”不能推出“数列{}n a 为等差数列”，从而可得结果.
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若{}n a 为等差数列，求证：1()
2
n n n a a S +=； （2）若1()
2
n n n a a S +=
，求证：{}n a 为等差数列. 考向二 等差数列中基本量的求解
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项1a 和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．
2．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
典例2 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6
【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，∴4136a a d -==-，解得2d =-，
∴616156615(2)6S a d =+=?+?-=，故填6． 典例3 在等差数列{}n a 中，a 1＝1，S 5＝－15. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 的前k 项和S k ＝－48，求k 的值．
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d -=+. 由a 1＝1，S 5＝－15，可得5＋10d ＝－15，解得d ＝－2， 故1123()()2n a n n +-?=-=-. （2）由（1）可知a n ＝3－2n ，所以2(132)
22
n n n S n n +-=
=-.
令2248k k -=-，即k 2－2k －48＝0，解得k ＝8或k ＝－6. 又*k ∈N ，故k ＝8.
2．在等差数列{}n a 中，已知13a =，公差2d =，若12345m a a a a a a =++++*()m ∈N ，则m = A ．19 B ．18 C ．17
D ．16
考向三 求解等差数列的通项及前n 项和
1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解.
在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列{}n a 的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：
,2,,,,2,
a d a d a a d a d --++；当等差数列{}n a 的项数为偶数时，可设中间两项分别为
,a d a d -+，再以公差为2d 向两边分别设项：
,3,,,3,a d a d a d a d --++.
2．递推关系式构造等差数列的常见类型：
（1）转化为211()(n n n a a a +++--)n a -=常数，则{}1n n a a +-是等差数列；