常用概率分布
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
常用概率分布-医学统计学
标准正态分布的µ=0，σ=1，则 µ±σ相当于区间(-1，1)， µ±1.96σ相当于区间(-1.96，1.96), µ±2.58σ的区间相当于区间(-2.58，2.58)。
区间(-1,1)的面积：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26% 区间(-1.96,1.96)的面积：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95% 区间(-2.58,2.58)的面积：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%
在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布，粉尘在
观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出
质点数的分布等。Poisson分布一般记作
。
Poisson分布作为二项分布的一种极限情况
Poisson分布可以看作是发生的概率π 很小，而观
察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个
基本条件外，Poisson分布还要求π或1-π接近于0和1。 有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位(时间、
例 3 某年某市调查了 200例正常成人血铅含量 （μg/100g)如下，试估计该市成人血铅含量的95%医 学参考值范围。
分析：血铅的分布为偏态分布，且血铅含量只以 过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。
二、质量控制 为了控制实验中的检测误差，常用 ±2S作上
下但的警影随响机戒某因线一素，指很以标多， ±3S作为上下控制线。这里的2S和 3如S可果该视指为标1的.96随S 和2.58S的约数。其依据是正常情况下 检机误测波差动，误属则差于往是随往服机符从正态分布的。
概率 密度
正态分布的密度函数，即正态曲线的方程为 -∞＜X＜+∞
均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布 称为标准正态分布。
概率论几种重要的分布
概率论几种重要的分布
概率论中有许多重要的分布，包括以下几种：
1. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的分布之一。
它具有钟形曲线，对称，以及均值和方差完全定义。
在许多实际应用中，自然界中许多现象都遵循正态分布。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在固定次数的独立重复试验中成功次数的概率分布。
每个试验有两个可能的结果，成功和失败，并且每次试验的成功概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述稀有事件在固定时间或空间上的发生次数的概率分布。
它假设事件发生的概率相等，且事件之间是相互独立的。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）：也称为矩形分布，是一种概率分布，其中所有可能的结果的概率是相等的。
在定义了一个范围之后，均匀分布将这个范围内的概率均匀地分布。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：用于描述独立事件发生间隔的概率分布。
它假设事件是以恒定速率独立地发生的，即它具有无记忆性。
6. t分布（Student t-Distribution）：用于小样本情况下的统计推断，当样本量较小时，t分布的尾部更加重，与正态分布相比，更容易出现极端值。
以上只是一些重要的分布，概率论还有很多其他的分布，根据实际应用的不同，可以选择合适的分布模型。
常用概率分布
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
常用概率分布
常用概率分布常用概率分布是数学中一个非常重要的概念，它描述了每种特定事件发生的可能性，并帮助我们更好地理解随机事件的性质。
在统计学、工程学、物理学、生物学和金融学等领域，常用概率分布被广泛应用于数据分析和模拟等方面。
接下来，我将介绍一些最常见的概率分布。
1. 二项分布二项分布是一种离散的概率分布，它描述了两种可能结果中每一种结果的概率。
比如说，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能性。
当每次实验仅有两种可能结果，并且这两种结果的概率相等时，可以使用二项分布来计算任意试验中某个结果被观察到的概率。
一般地，二项分布可以用来计算n次独立实验中恰好有k次成功的概率。
2. 正态分布正态分布是一种连续概率分布，也称为高斯分布。
它是自然界中最常见的概率分布之一，用于描述一些连续型变量（例如长度、质量和时间等）的分布情况。
具有正态分布的数据通常呈现出钟形曲线的形状，且均值、中位数和众数相等。
正态分布是许多模型和算法的基础，例如线性回归和神经网络等。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在一定时间内某个事件发生的次数。
该分布适用于低概率事件的发生频率较高的情况，例如在一定时间内接收到的电子邮件数量以及某种疾病的发病率等。
此外，泊松分布还可以用于描述自然生态系统中的物种数量变化、军事战斗中的伤亡人数等。
4. 指数分布指数分布是一种连续概率分布，用于描述一些事件所需的时间间隔。
比如说，等车的时间、电话呼叫之间的间隔时间等都可以用指数分布来描述。
该分布的特点是概率随着时间间隔的增加而逐渐减小，且具有单峰趋势。
5. Gamma分布Gamma分布是一种连续概率分布，广泛应用于工程和自然科学领域。
它可以用来描述诸如距离、强度、能量和粒子次数等连续型随机变量之和的概率分布。
由于Gamma 分布具有特定的形状和参数，因此它可以与其他分布结合使用，用于模拟各种实际场景的数据。
6. 卡方分布卡方分布是一种连续概率分布，用于描述统计独立性检验的结果。
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125.5
121.7 121.8 122.2 126.4 120.3 119.9 125.8 118.3 118.8
120.3
118.8 124.9 122.8 118.4 116.9 122.1 120.1 127.1 127.6
122.3
121.8 130.0 128.6 121.0 126.4 120.4 124.8 122.5 125.2
1. 2. 3.
确定录取分数线 在能力分组或等级评定时确定人数 将能力、品行等的等级评定转化为数量 化分数
1.确定录取分数线
例题：某项职业录取考试，在参加考试 的1600人中准备录取200人，考试分数接近 正态分布，平均分为74，标准差为11，问 录取分数是多少？
计算步骤 根据参考人数和录取人数确定录取比率； 将录取比率视为正态曲线上端（右侧） 的面积，找出相应的Z值； 根据公式Z=X-/ 计算出原始分数X X= +Z
inferential statistics
sample probability population
由样本所推论的总体情况是否可靠? 推论正确的可能性有多大?犯错误的可能性又 有多大?
概率 如果知道某一样本在总体中出现的概率大， 就可以认为该样本是来自总体，能反映总体 的情况，反之，就不能反映总体的情况。
116.8
116.3 126.1 123.5 120.4 127.8 120.5 124.1 112.3 122.6
121.6
124.0 131.3 116.3 115.2 123.0 120.0 127.2 121.3 134.5
120.2
119.0 123.8 126.1 118.0 117.4 122.8 120.0 127.0 118.3
二、概率分布类型
（一）根据随机变量的取值是否具有连续性
连续分布—— 正态分布
离散分布—— 二项分布
（二）根据分布的来源
经验分布（样本分布）
理论分布（总体分布）
（三）根据概率分布所描述的数据特征
基本随机变量分布
抽样分布
例
某市1995年110名7岁男童的身高(cm)资料如下
121.4 119.2 124.7 125.0 115.0 112.8 120.2 110.2 120.9 120.1
一次试验只有两种可能结果，即“成功” 和 “失败” ( 只说明两种结果或状态而 已)； 各次试验中“成功” （失败）的概率相 等 成功概率：p 失败概率：q=1-p 各次试验相互独立，互不影响； 凡是满足以上条件的试验称为二项试验。
随机抽查2个婴儿中男婴的概率分布 X =2 男 女 X=0 X =1
3. 将能力、品行等的等级评定转化为数量化分数
计算步骤： 计算各等级人数的概率； 求各等级中点所对应的Z值
求各等级中点以下（上）的累加概率，并 求出其与0.5的差； 根据计算出的概率查找相应的Z值，该值 就是各等级的数量化分数；
练习题
某年高考平均分500，标准差100，考分呈 正态分布，某考生得到650分。设当年高 考录取率为10％，问该生能否被录取？ 录取分数线：500+1.28*100=628
第一节
一、概率基础
概率与概率分布基础
先验概率
后验概率 概率的性质
概率的加法和乘法定理 小概率事件
P < .05 P < .01
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次试验 中出现的可能性很小，不出现的可能性很大 ，以 至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计学 上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可 能发生的事件称为小概率原理。小概率原理是统 计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
概率分布
第四章
概率分布
第一节 第二节 第三节 第四节
概率与概率分布基础 正态分布 二项分布 抽样分布
教学目的与要求：了解概率的基础知识；
掌握正态分布的特点及其应用；掌握二项分 布的性质与应用；掌握常见抽样分布的主要 特点及性质
教学重点与教学难点：重点——正态分布、
二项分布和抽样分布；难点——二项分布与 抽样分布
几个常用概率值
双尾概率值︱Z0.05/2︱ = 1.96，︱Z0.01/2︱ = 2.58， 这里下标中的0.05和0.01表示的是两端概率之和，斜 杠2表示双尾概率。单尾概率值︱Z0.05︱ = 1.645， ︱Z0.01︱ = 2.33
3.根据Z值或概率P查找纵线高度Y值
（三）正态分布在实践中的应用
2 0 1 0 0 2 (p q)2 C2 p q C pq C 2 2 2p q
p 2 2pq q 2
3 0 2 2 1 1 2 0 0 3 (p q)3 C3 p q C p q C p q C 3 3 3 3p q
p 3 3p2q 3pq2 q 3
X轴上用标准分Z代替原始分数，则根据 标准分的性质，该分布的平均数为0、 标准差为1 标准正态分布
（二）正态分布表的使用
根据Z值求概率P 根据概率求Z值 根据Z值或概率P查找纵线高度Y值
1.
根据Z值求概率P P(0—Z）
P(Z—±∞)
P（Z—Z）
计算步骤:
If you are beginning with a raw score, first convert it to a Z score. Draw a picture of the normal curve, where the Z score falls on it, and shade in the area for which you are finding the probability. Find the exact probability using the normal curve table.
第三节 二项分布
一、定义：重复进行n次二项试验后不同 “成功”次数的概率分布称为二项分布。
例1：一名学生作答2道三择一的选择题，每作 答1题正确的概率为1/3，错误的概率为2/3，问 该生作答正确1题的概率是多少？ 例2：一 名儿童对 10个记忆项目进行再认，每 个项目再认正确的概率为1/2，错误的概率为 1/2，问该生再认正确6个项目的概率是多少？ 。 例3：设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中 “男孩”的个数，求X的概率分布。
118.2
124.5 123.5 122.0 119.1 114.2 124.8 122.7 116.3 121.5
116.7
121.7 128.1 132.5 116.9 127.2 122.1 119.4 125.1 122.5
121.7
122.7 119.7 122.0 131.1 118.3 114.4 128.2 124.4 129.1
男 女
可能结果 次数x 概率p
0
1
2
3
4
1 4 6 4 1 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
P178
二项展开式的通式就是二项分布函 数，运用这一函数式可以直接求出 在n次二项试验中成功事件恰好出 现X次的概率 n! X X n X X n X P ( X ) Cn p q p q X !(n X )!
122.0
124.5 116.7 119.2 122.4 123.2 116.8 122.7 113.5 132.8
次数分布图与概率密度曲线
(1)
(2)
(3)
0.4
(4)
0.0
0.1
0.2
0.3
-2
0
2
f (x)
o 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度。
课堂练习题
问：若从中随机抽取一人，其智商高于125 的可能性有多大? 低于95的可能性有多大?
例题：如果已知其智商处于总人群中的前5%, 问:其智商至少是多少?如果已知其智商处于 总人群中的后1%,其智商最高不超过多少?若 已知其智商处于中间50%，其智商得分应处在 什么范围内？
2.根据概率求Z值
x
第二节 正态分布（normal distribution）
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概
率分布。心理与教育研究中有许多变量是服从或
近似服从正态分布的,如智商、学业成绩、能力、
心理健康水平等，许多统计分析方法也都是以正 态分布为基础的。因此正态分布无论在理论研究 上还是实际应用中，均占有重要的地位。
德莫佛
高斯
高斯分布
高斯(Gauss 1777-1855) 德国数学家、天文学家和物理学家， 他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是 近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称。其祖父是农民， 父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿。高斯幼时家境贫困， 但聪敏异常，表现出超人的数学天才。1795～1798年在格丁 根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数 基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格 丁根天文台台长直至逝世。高斯的成就遍及数学的各个领域， 在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及 椭圆函数论等方面均有开创性贡献。
2.在能力分组或等级评定时确定人数 例如：假设对100名报考研究生的学生按
能力分为甲、乙、丙、丁四个组，问各组 应有多少人才能使分组构成等距量尺？