福建师大附中高一数学上学期期末试卷(实验班,含解析)

2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）

A．115°B．120°C．135°D．150°

2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）

A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的

C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的

3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）

A．1 B．2 C．D．

4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）

A． B． C． D．

5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）

A．30° B．45° C．60° D．75°

6．下列命题正确的是（）

A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l

B．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l

C．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α

D．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α

7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）

A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=4

8．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B．C．D．﹣1

9．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）

A． B． C．D．

10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）

A．7 B．6 C．5 D．4

11．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）

A．B．4 C．D．

12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）

A．24 B．48 C．72 D．78

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）

13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．

14．函数f（x）=的最小值为．

15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值范围为．

16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．

17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是

①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165°

其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）

18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；

③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；

④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；

以上命题中真命题的序号为．

三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）

19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．

（Ⅰ）求点A和点B的坐标；

（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．

20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；

（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．

21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；

（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（I）证明：BE∥平面ADP；

（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．

23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．

（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；

（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．

2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）

A．115°B．120°C．135°D．150°

【考点】直线的倾斜角．

【分析】由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，结合题意即可算出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线的斜率为﹣，

∴直线倾斜角α满足tanα=﹣，

结合α∈[0°，180°），可得α=150°

故选：D．

2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）

A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的

C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的

【考点】棱锥的结构特征．

【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上

【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；

（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；

（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；

（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．

故答案选C．

3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）

A．1 B．2 C．D．

【考点】平面图形的直观图．

【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=2，

AC=2A′C′=2，

∴△ABC的面积为=2．

故选：B．

4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）

A． B． C． D．

【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．

【分析】求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．

【解答】解：点P（﹣1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（﹣1，1，﹣1），一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，

遇到平面xoy被反射，到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，

那么光所走的路程是： =．

故选D．

5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，

则：πR=2πr，

∴R=2r，

设母线与底面所成角为θ，

则母线与底面所成角的余弦值cosθ==，

∴母线与底面所成角是60°．

故选：C．

6．下列命题正确的是（）

A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l

B．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l

C．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α

D．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】逐个分析选项，举出反例即可．

【解答】解：对于A，若l?α，则α内存在无数条直线与l平行，故A错误．

对于B，若l?α，则α内存在无数条直线与l垂直，故B错误．

对于C，若α∩β=l，则在α存在无数条直线与l平行，故这无数条直线都与平面β平行，故C错误．

对于D，若β内存在直线l垂直于平面α，则α⊥β，即命题D的逆否命题成立，故命题D成立，故D正确．

7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）

A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=4

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】设BC的中点的坐标，由弦长公式和两点间的距离公式列出式子，化简后可得BC

的中点的轨迹方程．

【解答】解：设BC的中点P的坐标是（x，y），

∵BC是圆x2+y2=25的动弦，|BC|=6，且圆心O（0，0），

∴|PO|==4，即，

化简得x2+y2=16，

∴BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，

故选：C．

8．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B．C．D．﹣1

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【分析】直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．

【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．

当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于=≠=﹣1，

解得m=﹣，

故选：B．

9．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）

A． B． C．D．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．

【解答】解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）2+y2=1

相交于B，C两点，，，，

∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，

∴0，

故选A．

10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）

A．7 B．6 C．5 D．4

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．

【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，

∵圆心C到O（0，0）的距离为5，

∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．

再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，

可得PO=AB=m，故有m≤6，

故选：B．

11．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．

【考点】圆的切线方程．

【分析】作出图象易得sin∠OMB，进而可得cos∠AMB和sin∠AMB=，代入三角形的面积公式计算可得．

【解答】解：如图，由题意可得|OM|==，

由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，

故sin∠OMB===，

∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，

故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，

故选：C．

12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）

A．24 B．48 C．72 D．78

【考点】异面直线的判定．

【分析】可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．

【解答】解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．

分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．

分几种情况考虑

第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有=24

对

第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有=6对

第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对

第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对

最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对

故选D

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）

13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3π．

【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．

【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．

【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，

得到这是一个四棱锥，

底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，

∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC

根据直角三角形的勾股定理知AC==，

∴外接球的面积是，

故答案为：3π

14．函数f（x）=的最小值为2．

【考点】两点间距离公式的应用；函数的最值及其几何意义．

【分析】由配方可得函数表示f（x）表示P（x，0）到两点A（3，2），B（5，2）的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，运用两点之间线段最短，由两点的距离公式计算即可得到．

【解答】解：函数f（x）+

=+，