2018届杨浦区中考数学一模及答案
杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研
初三数学试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位
置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（）
（A ）:6:5x y =； （B ）:5:6x y =； （C ）5,6x y ==； （D ）6,5x y ==． 2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（） （A ）都含有一个40°的内角；（B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角；（D ）都含有一个70°的内角．
3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（） （A ）BC ∶DE =1∶2； （B ）△ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；
（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2； （D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.
4．如果2a b =（,a b 均为非零向量）,那么下列结论错误的是（）
（A ）//a b ； （B ）20a b -=； （C ）12
b a =； （D ）2a b =． 5．如果二次函数2y ax bx
c =++（0a ≠）的图像如图所示，那
么下列不等式成立的是（） （A ）0a >； （B ）0b <； （C ）0ac <； （D ）0bc <．
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列
四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（） （A ）
EA ED
BD BF
=； （B ）
EA ED
BF BD
=； （第6
题图）
B
C
F
（C ）
AD AE
BD BF
=； （D ）
BD BA
BF BC
=. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．抛物线23y x =-的顶点坐标是. 8．化简：112()3()2
2
a b a b --+=.
9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为mn （填“<”或“>”）． 10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式. 11．如图，DE 12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是. 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13
，那么AB =.
14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，
那么该斜坡的坡度是1∶. 15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交
于点O ，如果AB =12，那么CO =.
16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点
的坐标是.
17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，
-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第象限．
18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C
落
在点D 处，如果sin B =2
3
，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30???-????+?
20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =3
5
，点D 、E 分别在边AB 、BC
上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC .
（1）求∠DCE 的正切值；
（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .
21．（本题满分10分）
甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B
两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路
A
B
C D E （第20题图）
A
B C
（第18题图）
D A B C O
E
F （第11题图） （第12题图） （第15题图） H A B
C M O A B C
D
E F
G （第21题图）
． H
A （O ）
B
C D x
y
E
线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.
22．（本题满分10分）
如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6.求灯杆AB 的长度． 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 已知：梯形ABCD 中，AD （1）求证：△
（2）当EF 24．（本题满分12分，第（1第
（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中2221y x mx m m =-+--+交y 轴于点为A 称
轴与x 轴交于点H . （1）求顶点D 的坐标（用含m （2）当抛物线过点（1，-2）平移此抛物线到抛物线22y x x =-+向和距离； （3）当抛物线顶点D AHO ，求m 的值.
25．（本题满分14分，第（1）、（2（3）小题2分）
已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在
边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上.
（1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；
（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.
杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议 一、 选择题：（本大题共
6题，每题4分，满分24分） 1、A ；2、C ；3、D ；4、B ；5、C ；6、C
（第24题图）
（备用图）
（图1）
A
B C
D N P M E
（图2） A B
C D
N P M E （第25题图）
A B
C
D
二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、()0,3-；8、142
a b -；9、<；
10、24y x =-+等；11、12；12、36； 13、27；14、；15、4； 16、()1,4；17、二、四；18、4
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
解：原式
=12231122
?+?
--------------------------------------------------（6
分）
=
1222
-
----------------------------------------------------------------（2分）
=
1
4
.--------------------------------------------------------------（2分）
20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）
解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =3
5
，∴35
AC AB
=.-------------------------（1分）
∴设AC =3a ，AB =5a .则BC =4a . ∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，
∴AC
DE BD AC AB =,CE AD
CB AB =
. ∴335DE a a a =,245CE a a a =
.∴95DE a =，85
CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9
tan 8
DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）
（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:（1分）
∵AB a =，CD b =，∴25
AD a =.DC b =-.--------------------（2分）
∵AC AD DC =+，∴2
5AC a b =-.-----------------------------------（2分） 21．（本题满分10分）
解：由题意得：C （0，1），D （6，），抛物线的对称轴为直线x =（3分）
设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）
则据题意得：4
21.53661
b
a a
b ?-=??
?=++?.----------------------------------------------（2分） 解得：
124
13a b ?=-
??
?
?=??
.-------------------------------------------------------------------（2分）
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为211
1243
y x x =-++.------（1分）
∵()
2
154243y x =-
-+，∴飞行的最高高度为53
米.------------------------（1分）
22．（本题满分10分）
解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）
过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ．
∵∠E =45°，∴EF =AF =x ．
在Rt△ADF 中，∵tan∠ADF =AF
DF
，-----------------（1分）
∴DF =
tan tan 6
AF x x
ADF α==∠.--------------------------（1
分）
∵DE =，∴6
x x +=（1分）
∴x =（1分）
∴AG =AF ﹣GF =﹣10=（1分）
∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分）
∴AB =2AG =（1分） 答：灯杆AB 的长度为米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，
∠BEC =∠BEF+∠FEC ，
A B C D E
F
G
又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠（1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠（1分） ∴∠FEC=∠（1分）
∵AD △AEB ∽△（1分）
∴AE
BE
DE CE
=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD AE
DE
CE BE
=---------------------------------------------------------------（1分）
∴AE AE
BE DE
DE CE CE BE
?=?.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴AE =（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m ,1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分）
（2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），
∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=.---------------------------（1分）
∴2m =或1
m =-（舍去）.------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）.
∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），
∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位.-------------------------（2分）
（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.
情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1）， ∴H （,0m ），G （2,1m m m --+） ∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH =tan ∠AHO ，
∴AG AO
DG HO
=.∴22
11(1)m m m m m m m ---+=----+-. 整理得：2
0m m +=.∴1m =-或0m =（舍）
情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1）， ∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）
∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH =tan ∠AHO ， ∴AG AO
DG HO
=.∴22
11(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220m m +-=.∴2m =-或1m =（舍） x x
∴1m =-或2m =-. 25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分） 解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME .∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC .
∵EP ⊥BC ，∴AB ∴∠AME =∠PEM .∴∠AEM =∠AME .∴AM =（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB AM AE
CN CE
=.∴CN =（1分） 设CN =CE =x .
∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5.∴PE=AE=5-x . ∵EP ⊥BC ，∴
4sin 5EP ACB CE =∠=.∴54
5
x x -=.---------------------（1分） ∴
259
x =，
即
25
9
CN =
.------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME .∴AE=PE ，AM=PM .
∵EP ⊥AC ，∴
4tan 3EP ACB CE =∠=.∴4
3AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴20
7
PE =.---------------------（2分）
∵EP ⊥AC ，∴25
7
PC ===. ∴254
377
PB PC BC =-=
-=.--------------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224
()(4)7AM AM =+-.∴100
49
AM =.--------------------------------------（2分） （
3
）
05
CP ≤≤,当CP 最大时
MN
.--------------------------------------------------（2
分）