第7讲 三角恒等变换与解三角形

第7讲 三角恒等变换与解三角形
第7讲 三角恒等变换与解三角形

第7讲 三角恒等变换与解三角形

[考情分析] 三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的内容.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:(1)边和角的计算;(2)三角形形状的判断;(3)面积的计算;(4)有关边、角的范围问题;(5)实际应用问题.

热点题型分析

热点1 三角恒等变换及求值

三角恒等变换“四大策略”:

(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2

θ+cos 2

θ=tan45°等; (2)项的分拆与角的配凑,如:

sin 2

α+2cos 2

α=(sin 2

α+cos 2

α)+cos 2

α, α=(α-β)+β等;

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦.

1.若sin ? ????π6-α=13,则cos ? ??

??2π3+2α的值为( )

A.-1

3

B .-79

C.13

D.79

答案 B

解析 ∵sin ? ????π6-α=cos ??????π2-? ????π6

-α

=cos ? ????π3+α=13,∴cos ? ??

??2π3+2α=

2cos 2? ????π

3+α-1=2×? ??

??132-1=-79.

2.若α,β都是锐角,且cos α=55,sin(α-β)=1010

,则cos β=( ) A.2

2

B.2

10 C.22或-2

10

D.22或210

答案 A

解析 ∵α,β都是锐角,∴-π2<α-β<π

2,

又cos α=

55,sin(α-β)=10

10

, ∴sin α=255,cos(α-β)=310

10

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =

55×31010+255×1010=22

.故选A.

研究三角函数式的求值问题,解题的关键是找出条件中的角与所求角的联系,依据函数名称的变换特点,选择合适的公式求解.第1题易错点有二:一是不善于发现

π6-α与π

3

+α两角的互余关系;二是二倍角公式的正确记忆及应用.第2题易忽略角的配凑技巧,而利用两角和与差公式直接展开,结合同角基本关系式1=sin 2

θ+cos 2

θ而错选C.

热点2 正弦定理、余弦定理

1.利用正、余弦定理解三角形的思路

(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到;

(2)关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.

2.利用正、余弦定理判断三角形形状的两种常用途径

(1)角化边:通过正弦、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;

(2)边化角:通过正弦、余弦定理化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.

3.与三角形面积有关问题的解题思路

(1)先转化:根据条件,利用三角变换公式化简已知条件等式,再利用正、余弦定理化

边或化角;

(2)再选面积公式:根据条件选择面积公式,多用三角形的面积S =12ab sin C =1

2ac sin B

=1

2

bc sin A ; (3)后求值:若求值可根据条件直接求出,若求最值,注意根据条件常利用基本不等式求最值.

1.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为

a 2+

b 2-

c 2

4,则C =( )

A.π

2 B.π

3 C.

π

4

D.π6

答案 C

解析 由题可知S △ABC =12ab sin C =a 2

+b 2

-c

2

4,

所以a 2

+b 2

-c 2

=2ab sin C .

由余弦定理a 2

+b 2

-c 2

=2ab cos C ,所以sin C =cos C . 因为C ∈(0,π),所以C =

π

4

,故选C. 2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形状为( )

A.等腰三角形 B .直角三角形 C.等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形

答案 D

解析 ∵c -a cos B =(2a -b )cos A ,C =π-(A +B ),由正弦定理得,sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,

∴sin(A +B )-sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A , 得2cos A sin B =2sin A cos A ,

∴cos A =0或sin B =sin A ,∴A =π

2或B =A 或B =π-A (舍去),∴△ABC 为等腰或直角

三角形.故选D.

3.(2018·浙江高考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =7,

b =2,A =60°,则sin B =________,

c =________.

答案

217

3 解析 由正弦定理a sin A =b sin B ,得732

=2sin B

,所以sin B =21

7.

由余弦定理,cos A =b 2+c 2-a 22bc ,得12=4+c 2

7

4c

,所以c =3.

1.第1题易错在三角形面积公式的选择和余弦定理的正确运用上.

2.应用正、余弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误,如第2题易忽略cos A =0的情况而错选A.

3.第3题在求边c 时,

如果选用正弦定理易由于运算量过大而导致出错,恰当的选择余弦定理可简便求解.

热点3 正、余弦定理的实际应用

解正弦、余弦定理的实际应用问题的步骤:

(1)分析:理解题意,分清已知与所求,画出示意图.尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;

(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;

(3)求解:利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;

(4)检验:检验上述所求的三角形是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出实际问题的解.

1.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟,从D 沿DC 走到

C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.

答案 507

解析 连接OC ,由题意知CD =150米,OD =100米,∠CDO =60°.在△COD 中,由余弦定理得OC 2

=CD 2

+OD 2

-2CD ·OD ·cos 60°,即OC =507.

2.某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向,从A 出发有一条南偏东35°走向的公路,在C 处测得与C 相距31 km 的公路B 处有一个人正沿着此公路向A 走去,走20 km 到达D ,此时测得CD 距离为21 km ,若此人必须在20分钟内从D 处到达A 处,则此人的最小速度为________km/h.

答案 45

解析 由已知得∠CAB =25°+35°=60°,BC =31,CD =21,BD =20,可得cos B =

BC 2+BD 2-CD 2

2BC ×BD

=312

+202

-212

2×31×20=2331,那么sin B =12331

于是在△ABC 中,AC =BC sin B sin ∠CAB

=24,

在△ABC 中,BC 2

=AC 2

+AB 2

-2AC ·AB cos60°,即312

=242

+AB 2

-24AB ,解得AB =35或AB =-11(舍去),因此AD =AB -BD =35-20=15.

故此人在D 处距A 处还有15 km ,若此人必须在20分钟,即1

3小时内从D 处到达A 处,

则其最小速度为15÷1

3

=45(km/h).

理解题中方向角的概念,第2题易概念不清楚而导致出错.

真题自检感悟

1.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α=1

3,则cos2α=( )

A.89

B.79 C .-79

D .-89

答案 B

解析 由公式可得cos2α=1-2sin 2

α=1-29=79

.故选B.

2.(2017·山东高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )

A.a =2b B .b =2a C.A =2B D .B =2A

答案 A

解析 ∵等式右边=sin A cos C +(sin A cos C +cos A sin C ) =sin A cos C +sin(A +C )=sin A cos C +sin B , 等式左边=sin B +2sin B cos C , ∴sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin B . 由cos C >0,得sin A =2sin B . 根据正弦定理,得a =2b .故选A.

3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若b =6,a =2c ,B =π

3

,则△ABC 的面积为________. 答案 6 3

解析 由余弦定理得b 2

=a 2

+c 2

-2ac cos B .

又b =6,a =2c ,B =π3,∴36=4c 2+c 2-2×2c 2

×12,

∴c =23,a =43,

∴S △ABC =12ac sin B =12×43×23×3

2

=6 3.

4.(2017·浙江高考)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2.点D 为AB 延长线上一点,BD =2,连接CD ,则△BDC 的面积是________,cos ∠BDC =________.

答案

152

104

解析 解法一:依题意作出图形,如图所示,

则sin ∠DBC =sin ∠ABC .

由题意知AB =AC =4,BC =BD =2, 由余弦定理得

cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 2

2AB ·BC

=42

+22

-42

2×4×2=14, 则sin ∠DBC =sin ∠ABC =

154

, 所以S △BDC =1

2BC ·BD ·sin∠DBC

=12×2×2×154=152

. 因为cos ∠DBC =-cos ∠ABC =-14

=BD 2+BC 2-CD 22BD ·BC =8-CD 28

所以CD =10.

由余弦定理,得cos ∠BDC =

4+10-4

2×2×10=10

4.

解法二:同解法一得cos ∠ABC =14,S △BDC =15

2.

因为BD =BC =2,所以∠BDC =1

2∠ABC ,则

cos ∠BDC =

1+cos ∠ABC 2=10

4

. 专题作业

一、选择题

1.下列各式中,值为1

2的是( )

A.sin15°cos15°

B .cos

2

π12-sin 2π12

C. 1+cos

π6

2

D.

tan22.5°

1-tan 2

22.5°

答案 D

解析 sin15°cos15°=12sin30°=14,排除A ;cos 2π12-sin 2π

12=cos π6=32,排除B;

1+cos

π

62

= 1+32

2=

2+32,排除C ;由tan45°=2tan22.5°

1-tan 2

22.5°

=1知tan22.5°1-tan 2

22.5°=1

2

,故选D. 2.(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )=sin(2x +φ)(0<φ<π)在x =π

6时取得最大

值,则函数g (x )=cos(2x +φ)的图象( )

A.关于点? ??

??π6,0对称 B .关于点? ??

??π3,0对称 C.关于直线x =π

6对称

D .关于直线x =π

3

对称

答案 A

解析 因为当x =π6时,f (x )=sin(2x +φ)(0<φ<π)取得最大值,所以φ=π

6,则

g (x )=cos ? ????2x +π6,对称中心为? ??

??k π2+π6,0,k ∈Z ,对称轴x =k π2-π12,k ∈Z ,故选A.

3.(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0),x ∈????

?

?-π12,2π3的图象如图,若f (x 1)=f (x 2),且x 1≠x 2,则f (x 1+x 2)的值为( )

A. 3

B. 2 C .1 D .0

答案 C

解析 由图象得3T 4=2π3-? ????-π12,∴T =π,ω=2π

T =2,

∵图象过点? ????2π3,-2,∴2sin ? ????2π3×2+φ=2sin ? ??

??4π3+φ=-2,得4π3+φ=3π2+2k π(k ∈Z ),

∴φ=π

6

+2k π(k ∈Z ),

∴f (x )=2sin ? ????2x +π6+2k π=2sin ? ????2x +π6,由图象可知,函数f (x )的一条对称轴为x =-π12+T 4

=π6

,又f (x 1)=f (x 2),∴由x 1+x 2=π6

×2=π3

,得f (x 1+x 2)=f ? ??

??π3=

2sin ?

????2×π3+π6=1,故选C.

4.(2019·晋城一模)若|sin θ|+|cos θ|=233,则sin 4θ+cos 4θ=( )

A.56

B.1718

C.89

D.23

答案 B

解析 将|sin θ|+|cos θ|=23

3两边平方得,

1+|sin2θ|=43,∴|sin2θ|=1

3

∴sin 4θ+cos 4θ=1-2sin 2θcos 2θ=1-12sin 2

2θ=1718

,故选B.

5.函数f (x )=(1-cos2x )·cos 2

x ,x ∈R ,设f (x )的最大值是A ,最小正周期为T ,则

f (AT )的值等于( )

A.14

B.12 C .1 D .0

答案 B

解析 ∵f (x )=(1-cos2x )cos 2x =(1-cos2x )1+cos2x 2=12(1-cos 2

2x )=

12

? ??

??1-1+cos4x 2=-14cos4x +14. ∴当cos4x =-1时,A =f (x )max =12,T =2π4=π

2.

∴f (AT )=f ? ??

??π4=-14cos π+14=12.故选B.

6.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos C 2=5

5

,BC =1,AC =5,则AB =( )

A.4 2

B.30

C.29 D .2 5

答案 A

解析 因为cos C =2cos 2C 2-1=2×? ??

??552-1=-35,所以c 2=a 2+b 2

-2ab cos C =1+25

-2×1×5×? ??

??-35=32,所以c =42,故选A.

7.若tan α=2tan π5,则cos ?

????α-3π10sin ? ????α-π5=( )

A.1 B .2 C .3 D .4 答案 C

解析 由已知,cos ?

????α-3π10sin ? ????α-π5=cos αcos 3π10+sin αsin

3π10sin αcos π5-cos αsin π5

=cos αsin π5+sin αcos π5sin αcos π5-cos αsin π5=tan π5+tan αtan α-tan π5=3tan

π

5

tan

π

5

=3,故选C.

8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a +b +c sin A +sin B +sin C =233,A =π

3,

b =1,则△ABC 的面积为( )

A.3

2

B.34

C.12

D.14

答案 B

解析 由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C =2R =23

3

a

sin A =233,即a 3

2

=23

3,a =1, ∵A =π

3,b =1,∴△ABC 为等边三角形,

∴S =12ab sin C =3

4

.故选B.

9.(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )=sin(ωx +θ)? ????其中ω>0,θ∈? ????0,π2,

f ′(x 1)=f ′(x 2)=0,|x 1-x 2|的最小值为π

2

,f (x )=f ?

??

??π

3

-x ,将f (x )的图象向左平移π6

单位长度得g (x ),则g (x )的单调递减区间是( )

A.?

?????k π,k π+π2(k ∈Z ) B.?

?????k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) C.?

?????k π+π3,k π+5π6(k ∈Z ) D.??????k π+π12,k π+7π12(k ∈Z ) 答案 A

解析 ∵f (x )=sin(ωx +θ)? ????其中ω>0,θ∈?

????0,π2,

由f ′(x 1)=f ′(x 2)=0可得x 1,x 2是函数的极值点, ∵|x 1-x 2|的最小值为π2,∴12T =πω=π

2,

∴ω=2,∴f (x )=sin(2x +θ),

又f (x )=f ? ??

??π3-x ,

∴f (x )的图象的对称轴为x =π

6

∴2×π6+θ=k π+π2,k ∈Z ,又θ∈? ????0,π2,

∴θ=π6,∴f (x )=sin ? ????2x +π6.

将f (x )的图象向左平移π

6

个单位长度得

g (x )=sin ????

??

2?

????x +π6+π6

=cos2x 的图象,

令2k π≤2x ≤2k π+π,k ∈Z ,∴k π≤x ≤k π+π

2,k ∈Z ,

则g (x )=cos2x 的单调递减区间是??????k π,k π+π2(k ∈Z ),故选A. 10.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈??????π4,π,β∈?

?????π,3π2,则α+β的值是( )

A.7π

4

B.9π4

C.

5π4或7π

4 D.5π4或9π

4

答案 A

解析 ∵α∈??????π4,π,∴2α∈????

??π2,2π,

∵sin2α=

55>0,∴2α∈????

??π2,π, ∴cos2α=-255,且α∈??????π4,π2,又∵β∈?

?????π,3π2,

∴β-α∈??????π2,5π4,

∵sin(β-α)=

10

10

>0, ∴cos(β-α)=-31010,且β-α∈????

??π2,π, ∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2α·cos(β-α)-sin2α·sin(β-α)=-255×? ????-31010-55

×1010=2

2. ∵2α∈??????π2,π,β-α∈????

??π2,π,∴α+β∈[π,2π],

∴α+β=7π

4

.故选A.

11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos C =22

3,b cos A +a cos B =2,

则△ABC 的外接圆面积为( )

A.4π B .8π C .9π D .36π 答案 C

解析 ∵b cos A +a cos B =2,由余弦定理可得,

b ·b 2+

c 2-a 22bc +a ·a 2+c 2-b 22ac

=2,

整理得c =2,又∵cos C =223,

∴sin C =1-cos 2

C =13

设△ABC 的外接圆的半径为R ,则2R =c sin C =2

1

3

=6,∴R =3.∴△ABC 的外接圆面积S =

πR 2

=9π.故选C.

12.(2019·南关区校级期末)意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名.画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数

学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A ,C 处作圆弧的切线,两条切线交于B 点,测得如下数据:AB =6.9 cm ,

BC =7.1 cm ,AC =12.6 cm ,根据测量得到的结果推算:

将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间( )

A.? ????π6,π4

B.? ????π4,π3

C.?

??

?

?π3,5π12

D.?

??

?

?5π12,π2

答案 B

解析 取AB =BC ≈7,设∠ABC =2θ,

则sin θ≈6.37=0.9.又sin π3=32≈0.866,sin 3π

8≈0.924,

∴θ∈?

????π3,3π8,2θ∈?

????2π3,3π4.

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,则α+2θ=π,∴α∈

? ??

??π4,π3.故选B.

二、填空题

13.(2019·陕西四校联考)已知sin α=2cos α,则cos2α=________. 答案 -3

5

解析 由已知得tan α=2,cos2α=cos 2

α-sin 2

α =cos 2

α-sin 2

αsin 2α+cos 2

α=1-tan 2

αtan 2α+1=1-44+1=-35

. 14.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.

答案 -1

2

解析 解法一:因为sin α+cos β=1,cos α+sin β=0, 所以(1-sin α)2

+(-cos α)2

=1, 所以sin α=12,cos β=1

2

因此sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=12×12-cos 2α=14-1+sin 2

α=14-1+

14=-1

2

. 解法二:由(sin α+cos β)2

+(cos α+sin β)2

=1,得2+2sin(α+β)=1,所以sin(α+β)=-12

.

15.在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,∠ABD =π

6.若AB =3BD ,则∠CAD =________.

若AC =2AD =2,则△ABC 的面积为________.

答案

π3

3

解析 设BD =m ,则AB =3m ,BC =2m ,根据余弦定理,AD 2

=AB 2

+BD 2

-2AB ·BD cos ∠

ABD =m 2,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABD =m 2,∴AD =DC =AC =m ,即△ACD 是正三角形,∴

∠CAD =π3.记△ABC 的三内角∠BAC ,∠ABC ,∠ACB 所对的三条边分别为a ,b ,c ,则BD =1

2a ,

由余弦定理可得,AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD cos ∠ABD ,∴1=c 2+? ????12a 2-32ac ,即4=4c 2+a

2

-23ac ,又AC 2

=AB 2

+BC 2

-2AB ·BC cos ∠ABC ,∴4=c 2

+a 2

-3ac ,于是,4c 2

+a 2

-23ac =c 2+a 2-3ac ,∴a =3c ,代入c 2+a 2

-3ac =4可得c =2,a =23,∴S △ABC =12

ac sin ∠

ABC = 3.

16.(2019·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s ,升旗手应以______ m/s 的速度匀速升旗.

答案 0.6

解析 依题意可知∠AEC =45°,∠ACE =180°-60°-15°=105°,∴∠EAC =180°-45°-105°=30°.

由正弦定理可知CE sin ∠EAC =AC

sin ∠CEA

∴AC =

CE

sin ∠EAC

·sin∠CEA =20 3 m .

∴在Rt △ABC 中,AB =AC ·sin∠ACB =203×3

2

=30 m . ∵国歌时长为50 s , ∴升旗速度为30

50=0.6 m/s.

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

七年级数学第7章三角形检测题

数学:第7章三角形综合检测题A (人教新课标七年级下) 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( ).A .3 B .4 C .5 D .6 2.下面四个图形中,线段BE 是⊿ABC 的高的图是( ) 3.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( ) A .13cm B .6cm C .5cm D .4cm 4.三角形一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .属于哪一类不能确定 5.如图,在直角三角形ABC 中,AC ≠AB ,AD 是斜边上的高, DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6.下面说法正确的是个数有( ) ①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形;②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则这么三角形是直角三角形;③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形;④如果∠A=∠B=2 1∠C ,那么△ABC 是直角三角形;⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形;⑥在?ABC 中,若∠A +∠B=∠C ,则此三角形是直角三角形。 A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 7.在?ABC 中,C B ∠∠,的平分线相交于点P ,设,?=∠x A 用x 的代数式表示BPC ∠的度数,正确的是( ) (A )x 2190+ (B )x 2 190- (C )x 290+ (D )x +90 8.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O , 则∠AOC+∠DOB=( ) A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 9.以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 10.给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内。正确的命题有 ( ) 第2题图 第5题图 第8题图

高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ,B ,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长,2 c b a p ++=为半周长。 1.正弦定理:C c B b A a sin sin sin ===2R (R 为△ABC 外接圆半径)。 推论1:△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2:在△ABC 中,有bcosC+ccosB=a. 推论3:在△ABC 中,A+B=θ,解a 满足) sin(sin a b a a -=θ,则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC 边上的高为bsinC ,所以S △ABC =C ab sin 2 1;再证推论2,因为B+C=π-A ,所以sin(B+C)=sinA ,即sinBcosC+cosBsinC=sinA ,两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ;再证推论3,由正弦定理B b A a sin sin =,所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ,即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ,等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)],等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A),因为0<θ-A+a ,θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ,所以a=A ,得证。 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?,下面用余弦定理证明几个常用的结论。 (1)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是BC 边上任意一点,BD=p ,DC=q ,则AD 2=.22pq q p q c p b -++ (1) 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠, 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠, ② 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0, 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q),即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注:在(1)式中,若p=q ,则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=

第十一章三角形全章教学设计

三角形的边

检测练习一、如图,在三角形ABC中, (1)AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC (2)假设一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C, 有路线。路线最近,根据是:, 于是有:(得出的结 论)。 (3)下列下列长度的三条线段能否构成三角形,为什么? ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本( P64例题,时间:5分钟) 要求:(1)、注意例题的格式和步骤,思考(2)中为什么要分情况讨论。 (2)、对这例题的解法你还有哪些不理解的? (3)、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长; ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.(要有完整的过程啊!) 解: (三)在研读的过程中,你认为有哪些不懂的问题? 四、归纳小结 (一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题? 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 (1)等边三角形是等腰三角形 (2)三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (3)三角形的两边之差大于第三边 (4)三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是() A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是() A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是() A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4,另一边长等于9,求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少? 【C】组(共小1-2题) 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒,他想再找一根,使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. (1)你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗?(长度为正整数) (2)想一想:如果已知两边,则构成三角形的第三边的条件是什么?

专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时:60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题.解答此类问题,一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系,再进一步判断三角形的形状,这种转化一般有两个通道,即化角为边或化边为角.下面例析这两个通道的应用. 1.通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中,已知2sin A cos B =sin C ,那么△ABC 一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 2.通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中,若sin A +sin C sin B =b +c a ,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时,处理“已知两边及其一边的对角,求第三边和其他两角”问题需判断解的个数,这是一个比较棘手的问题.下面对这一问题进行深入探讨. 1.出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下.不妨设已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,作图步骤如下:①先做出已知角A ,

把未知边c 画为水平的,角A 的另一条边为已知边b ;②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心,边a 为半径作圆C ;③观察圆C 与边c 交点的个数,便可得此三角形解的个数. 显然,当A 为锐角时,有如图所示的四种情 况: 当A 为钝角或直角时,有如图所示的两种情况: 根据上面的分析可知,由于a ,b 长度关系的不同,导致了问题有不同个数的解.若A 为锐角,只有当 a 不小于 b sin A 时才有解,随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的.当A 为钝角时,只有当a 大于b 时才有解. 2.解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ,b 和角A ,求B . 根据正弦定理a sin A =b sin B ,可得sin B = b sin A a . 若sin B >1,三角形无解;若sin B =1,三角形有且只有一解;若0

高中数学解三角形和平面向量

高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°

第七章 三角形

第七章三角形 测试1三角形的边 学习要求 1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法. 2.掌握三角形三边关系的一个重要性质. (一)课堂学习检测 1、填空题: (1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做 ______;相邻两边的公共端点叫做______,相邻两边所组成的角叫做______,简称______. (2)如图所示,顶点是A、B、C的三角形,记作______,读作______.其中,顶点A所 对的边______还可用______表示;顶点B所对的边______还可用______表示;顶点C 所对的边______还可用______表示. (3)由“连接两点的线中,线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ______________________________.由它还可推出:三角形两边的差____________. (4)对于△ABC,若a≥b,则a+b______c同时a-b______c;又可写成______<c< ______. (5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm,则第三边x的长度的取值范围是 ____________,其中x可以取的整数值为____________. (二)综合运用诊断 2.已知:如图,试回答下列问题: (1)图中有______个三角形,它们分别是______________________________________. (2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________. (3)线段CE所在的三角形是______,CE边所对的角是________________________. (4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______.3.选择题: (1)下列各组线段能组成一个三角形的是( ). (A)3cm,3cm,6cm (B)2cm,3cm,6cm (C)5cm,8cm,12cm (D)4cm,7cm,11cm (2)现有两根木条,它们的长分别为50cm,35cm,如果要钉一个三角形木架,那么下列 四根木条中应选取( ). (A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条 (C)1m长的木条(D)0.5m长的木条

2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用练习理北师大版

第7讲 解三角形的综合应用 [基础题组练] 1.已知A ,B 两地间的距离为10 km ,B ,C 两地间的距离为20 km ,现测得∠ABC =120°,则A ,C 两地间的距离为( ) A .10 km B .10 3 km C .10 5 km D .107 km 解析:选 D.由余弦定理可得,AC 2 =AB 2 +CB 2 -2AB ×CB ×cos 120°=102 +202 - 2×10×20×? ?? ??-12=700. 所以AC =107(km). 2.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m ,则河流的宽度BC 等于( ) A .240(3-1) m B .180(2-1) m C .120(3-1) m D .30(3+1) m 解析:选C.因为tan 15°=tan(60°-45°)=tan 60°-tan 45° 1+tan 60°tan 45° =2-3,所以 BC =60tan 60°-60tan 15°=120(3-1)(m). 3.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ,在B 点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( ) A .50 m B .100 m C .120 m D .150 m 解析:选A.作出示意图如图所示,设水柱高度是h m ,水柱底端为C ,则在△ABC 中,∠BAC =60°,AC =h ,AB =100,在Rt △BCD 中,BC =3h ,根据余弦定理得,(3h )2 =h 2 +1002 -2·h ·100·cos 60°,即h 2 +50h -5 000=0,即(h -50)(h +100)=0,即h =50,故水柱的高度是50 m.

解三角形全章教案(整理)

数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1.1.1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 , 有 sin a A =, sin b B =,又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标:1.理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式; 2.能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=,解决三角形中的 计算和证明问题. 二、教学重点:掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式,利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题. 三、教学过程: (一)主要知识: 掌握三角形有关的定理: 正余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ;R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式:S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理:a = b cos C + c cos B ;b = a cos C + c cos A ;c = a cos B + b cos A (二)例题分析: 例1.在ΔABC 中,已知a=3,b=2,B=45°,求A,C 及边c . 解:由正弦定理得:sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b

(课程标准卷)高考数学二轮复习专题限时集训(七)第7讲解三角形配套作业文(解析版)

专题限时集训(七) [第7讲解三角形] (时间:45分钟) 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2+c2-b2=3ac,则角B的值为( ) A.π 6 B. π 3 C.π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 2.在△ABC,已知A=45°,AB=2,BC=2,则C=( ) A.30° B.60° C.120° D.30°或150° 3.△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1,则sin A sin B sin C的值为( ) A.1 4 B. 3 2 C. 3 4 D. 1 2

图7-1 4.如图7-1,要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为( ) A.10 2 m B.20 m C.20 3 m D.40 m 5.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则sin A的值是( ) A.3 16 B. 3 14 C.33 16 D. 33 14

6.若满足条件C =60°,AB =3,BC =a 的△ABC 有两个,那么a 的取值范围是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,2) D .(1,2) 7.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c =2a ,则cos B =( ) A.14 B.34 C.24 D.23 8.在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,则△ABC 的面积等于( ) A. 32 B.34 C. 32或 3 D.32或34 9.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos C =________. 10.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处,且A 船到灯塔C 的距离为2 km ,B 船在灯塔C 北偏西40°处,A 、B 两船间的距离为3 km ,则B 船到灯塔C 的距离为________km. 11.在△ABC 中,A =60°,BC =10,D 是AB 边上的一点,CD =2,△BCD 的面积为1,则AC 的长为________. 12.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且满足c sin A =a cos C . (1)求角C 的大小; (2)求3sin A -cos B +π 4的最大值,并求取得最大值时A ,B 的大小.

高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理

课题: §1.1.1正弦定理 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =, C 同理可得 sin sin c b C B =, b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b =。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1.在?ABC 中,已知045A =,075B =,40a =cm ,解三角形。 例2.在?ABC 中,已知20=a cm ,202b =cm ,045A =,解三角形。

高中数学解三角形方法大全

解三角形的方法 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能 如图,在ABC ?中,已知a 、b 、A (1)若A 为钝角或直角,则当b a >时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A 为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b <

《第七章三角形》全章知识点归纳及典型题目练习(答案)

第七章 三角形 1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 _____.组成三角形的线段叫做______,相邻两边的 公共端点叫做_____________,相邻两边所组成的角叫做 ___________,简称___________.如图 以A 、B 、C 为顶点的三 角形ABC ,可以记作_______,读作_____________. △ABC 的三边,有时也用_____________表示,顶点A 所对的边BC 用____表示,顶点B 所对的边CA 用____表示,顶点C 所对的边AB 用____表示. 2. 三角形的分类 三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 _____. 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 _______. 3. 在等腰三角形中,相等的两边都叫做___,另一边叫做 __,两腰的夹角叫做___,腰和底的夹角叫做___ _. 如右图,等腰三角形ABC 中,AB =AC ,那么腰是___ 底是____,顶角是____,底角是_____. 4. 三角形的三边关系:_________________________________________. 5. 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线,垂足为D ,所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴,AD 是△ABC 的高,则AD ⊥_____. 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ,所得线段AD 叫做△ABC 的边BC ?? ??? ??? ?? ??

上的_____ .如图⑵,AD是△ABC的中线,则BD=______. ∠BAC的平分线AD,交∠BAC的对边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的___________.如图⑶,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD=∠_______. 6.三角形是具有__________的图形,而四边形没有__________ . 7.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于_______. 8.三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.三角形的一个外角大 于与它不相邻的_________________ . 9.多边形的内角和公式:n边形的内角和等于________________.多边形的外角和等于 _______. 10.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件,是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于_______.(限定镶嵌的正多边形的边长相等,顶点共用)如果只用一种正多边形镶嵌,符合“平面镶嵌”的必备条件的正多边形是 ____________________________________.如果用两种正多边形镶嵌,哪些组合可以用来作平面镶嵌:_____________________________________________________________ ______________________________________________________.

第7讲解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例 、选择题 1.在相距2 km 的A , B 两点处测量目标点 C ,若/ CAB = 75°,/ CBA = 60°, C 两点之间的距离为() B ^/2 km 则A , A 应 C.V 3 km km D.2 km 解析 AC 如图,在△ ABC 中,由已知可得/ AC 吐45 °,扃 2 sin ;,/AC = 2迈 x ¥=V 6(km). 答案 A 2.—艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航 行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向 是南偏东70 ,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65 ,那么B ,C 两点间 的距离是( ) A.10迈海里 B.1^/3海里 D.20迄海里 解析女口图所示,易知, 在 △ ABC 中,AB = 20,/CAB = 30° ,ACB = 45°, BC AB 根据正弦定理得討.乔 解得BC = 10寸2(海里). 答案 A 3.(2017合肥调研)如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距 离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与B 的距离为( ) B A /3 a km A. a km C.>/2a D.2a km

解析 由题图可知,/ ACB = 120°, 由余弦定理,得 AB 2 =AC 2 + BC 2 - 2AC BC cosZACB =a 2 + a 2 -2a a ?—舟卜3a 2 ,解得 AB = ^/3a(km). 答案 B 4. 如图,一条河的两岸平行,河的宽度d = 0.6 km , 一艘客 船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知AB = 1 km ,水的流速为2 km/h ,若客船从码头A 驶到码头B 所 用的最短时间为6 min ,则 客船在静水中的速度为( ) B. 6V 2 km/h D.10 km/h 解析 设AB 与河岸线所成的角为0,客船在静水中的速度为V km/h ,由题意 知,sin 0=016 = 5,从而cos 0=4 ,所以由余弦定理得 1 4 厂 2X —x 2X 1X 5,解得 V = 6讥.选 B. 答案 B 5. 如图,测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平 面内的两个测点C 与D ,测得/ BCD = 15°,/ BDC = 30°, CD = 30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB 等于() A .^/6 C.5迈 解析 在^BCD 中,/CBD = 180°-5°-0°W35°. 口 C on 由正弦定理得s^=砲’所以BC =吨 在 Rt ^ABC 中,AB = BCtan ZACB = 15^2x 73= 15^6. 答案 D 、填空题 A.8 km/h C.2V34 km/h B.15V 3 D.15^/6 x 2,+ 12 n

解三角形(复习课)教学设计

解三角形(专题课)教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》,而在本章中,学生应该在已有的知识基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续,通过本章内容的学习,学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形,使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点,如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数,诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用,尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能:引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,会对正余弦定理会进行简单的变形;引导学生通过观察,推导,比较等出一些结论,如射影定理,三角形边角之间的关系;会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识,观察能力,总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,进行高效课堂教学,激情教育,通过学生之间,师生之间的交流与讨论、合作与评价,调动学生的主动性和积极性,让学生体验学习数学的的乐趣,感受成功的喜悦,增强学生学好数学的信心,激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用;正余弦定理的变形应用;用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点,为更好有效地突出重点,攻破难点,以学生的发展为本,遵照学生的认知规律,本节主要以教师为主导,学生为主体,交流讨论,互助学习为主线的指导思想,采用“6+1”高效课堂教学模式,在教师的启发引导下,学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提,以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

(完整版)高中数学解三角形方法大全

解三角形 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 (1)ABC ?中,若ο 60=B ,4 2 tan = A ,2=BC ,则=AC _____; (2)ABC ?中,若ο 30=A ,2= b ,1=a ,则=C ____; (3)ABC ?中,若ο 45=A ,24=b ,8=a ,则=C ____; (4)ABC ?中,若A c a sin =,则c b a +的最大值为_____。

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能如图,在ABC ?中,已知a、b、A (1)若A为钝角或直角,则当b a>时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b< < sin时,三角形有两解; 当b a≥时,三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二:余弦定理及面积公式 1.余弦定理:在ABC ?中,角C B A、 、的对边分别为c b a、 、,则有 余弦定理: ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,其变式为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; (2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3.三角形的面积公式 (1) c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? ( a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高); (2)B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? (3)= ?ABC S C B A R sin sin sin 22(R为外接圆半径) (4) R abc S ABC4 = ? ; (5)) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = (6)l r S ABC ? = ?2 1 (r是内切圆的半径,l是三角形的周长)

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