北师大九年下第一章学案

第一章 直角三角形的边角关系

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）

学习目标:

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点:

理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

学习方法:

引导—探索法. 学习过程:

一、生活中的数学问题:

1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

2、生活问题数学化：

⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？

⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？

二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）

⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵

2

2

2111B AC C B AC C 和

有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?

三、例题：

例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，

求tanA和tanB的值.

四、随堂练习：

1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?

2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)

3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置

升高________米.

4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.

5、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)

五、课后练习：

1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.

2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.

3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.

4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.

5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.

6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=12

5

, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.

7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=

3

4

,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?

8、探究:

⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.

⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________. ⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.

E D

A

B

A

B

D A

C

E

§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）

学习目标：

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：

1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点： 用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法： 探索——交流法. 学习过程：

一、正弦、余弦及三角函数的定义

想一想：如图

(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)

211

122BA C A BA C A 和有什么关系? 2

112BA BC BA BC 和

呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?

(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.

二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：

三、例题：

例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.

例2、做一做：

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝

13

12

，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.

B

A

四、随堂练习：

1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.

2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5

4

，BC=20，求△ABC 的周长和面积.

3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=

2

1

，则sinA= .

4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2

＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

五、课后练习：

1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=

3

4

,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=9

41

,则AC=______,BC=_______.

3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=4

5

,则BC=_____.

4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )

A.sinA=

34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=35

5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC

AC

等于( )

A.34

B.43

C.35

D.45

6、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35

,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.54

7、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是

D

B A

C

A ．

135 B ．1312 C ．125 D ．5

12 8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )

A.tan α

B.sin α

C.cos α

D.cos α>cos β

9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.

CD AC B.DB CB C.CB AB D.CD

CB

10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m

A.100sin β

B.100sin β

C.100

cos β D. 100cos β

11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.

12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.

13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.

14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?

15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45

. 求：s △ABD ：s △BCD

B

D

A

C

§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值

学习目标：

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

学习重点：

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

学习难点：进一步体会三角函数的意义.

学习方法：自主探索法

学习过程：

一、问题引入

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

二、新课

[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?

[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.

[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?

[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?

(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)

三、随堂练习

1.计算：

(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；

(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷1

3230sin 1+-

?；

⑸(2+1)-1

+2sin30°-8； ⑹(1+2)0

-｜1-sin30°｜1+(

2

1)-1

；

⑺sin60°+

?-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0

-cos60°-2

11-.

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)

四、课后练习：

1、Rt △ABC 中，8,60=?=∠c A ，则__________,

==b a ； 2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；

3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝

4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）

（A ）600 （B ）900 （C ）1200 （D ）150

5、有一个角是?30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）

cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 2

3 6、在ABC ?中，?=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）．

（A ）3 （B ）

3

3

（C ）23 （D ）21

7、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．

（A ）

21 （B ）2

2

（C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草

皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）．

（A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元

?15020米30米

9、计算：

⑴、?+?60cos 60sin 2

2

⑵、??-?30cos 30sin 260sin

⑶、?-?45cos 30sin 2

⑷、3245cos 2-+?

⑸、0

45cos 360sin 2+ ⑹、 1

30sin 560cos 30

-

⑺、?30sin 22

·?+?60cos 30tan tan60° ⑻、?-?30tan 45sin 2

2

10、请设计一种方案计算tan15°的值。

§1.4 船有触礁的危险吗

学习目标：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 学习重点：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点：

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 学习方法：

探索——发现法 学习过程： 一、问题引入：

海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

二、解决问题：

1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，

调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果

精确到0.0l m)

三、随堂练习

1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.

(1)求∠ABC的大小：

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)

3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，

3 ≈

1.7)

四、课后练习：

1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为

,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.

2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米

).

3.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.

N

4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).

B

D

A E F

5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).

6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离.

7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要

伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在

某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?

8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.

B 30?D A 60?

C E F 30?北A 60?

C

9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们

1.5 测量物体的高度

1.

课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).

300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)

B D

A C

5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:

实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算树AB的高度(精确到0.1米)

实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________.

(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;

(3)

你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)

写出求树高的算式:AB=___________.

(1)

(2)

6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?

(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)

7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到

树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米）

实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。

请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工 具的序号填写） （2）在右图中画出你的测量方案示意图；

（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a 、b 、c 、α等表示测得的数

据：

（4）写出求树高的算式：AB =

第一章回顾与思考

1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 0

30 B 0

60 C 0

90 D 0

120

2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 0

90 B 0

60 C 0

75 D

0105

3、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53

c o s =

α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．

（A ）3 （B ）

316 （C ）320 （D ）5

16

4、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形

形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）．

（A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=?+α，那么=α o．

6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．

7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.

8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．

9、在Rt ABC ?中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ?沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．

10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为?55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.

11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ?=∠30AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积.

A

B C

D

E

12、如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为?

30

的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是?

15，求热气球升空点A与着火

点B的距离．

13、如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为?

15的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为?

20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟.求山高（即AC的长度）及A、B 两点的水平距离（即BC的长度）（精确到0.01千米）.

14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°（如图）.为距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

15、如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°. 在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区.取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB = 400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?

?

30?15.

A

B

C

D

?

15

?

20

A B C

D

E

?

60

?

30

B

D

C

A

M东

北

16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）

17、如图，客轮沿折线A―B―C 从A 出发经B 再到C 匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C 上的某点E 处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =?90，客轮速度是货轮速度的2倍．

（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）

A ．在线段A

B 上 B ．在线段B

C 上

C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

?60?

45A

B

北北A

B

C

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