河南开封高中—上期高三第三次调研---数学
河南省开封市高考数学三模试卷(文科)
高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={2，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 22.设复数z=1+i，则=（ ）A. -iB. iC. -2iD. 2i3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日持续增大D.该地区的空气质量指数与这段日期成负相关4.“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数（a∈R）为奇函数，则f（1）=（ ）A. B. C. D.6.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a5=-10，则a1=（ ）A. -3B. -2C. 2D. 37.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. πB. 2πC. 6πD. 24π8.如图程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填（ ）A. “S＜1000”和“输出i-1”B. “S＜1000”和“输出i-2”C. “S≥1000”和“输出i-1”D. “S≥1000”和“输出i-2”9.已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（ ）A. -2B.C.D. 210.如图，在正方形ABCD中分别以A，B为圆心、正方形的边长为半径画，，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D.11.已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且∀x∈（，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（x，x+1），=（1，2），且∥，则x=______．14.设x，y满足约束条件，则z=x+y的取值范围是______．15.在△ABC中，AB=5，AC=7，∠ABC=，则该三角形的面积是______．16.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=na n，求{b n}的前n项和T n．18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，D在平面ABEF上的射影为EF的中点，△ADF是边长为的正三角形，直线AD与平面ABEF所成角为．（Ⅰ）求证：EF⊥AD；（Ⅱ）若EF=2CD=2AB，且AB∥EF，求该五面体的体积．19.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到如表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65，标准差s=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定（P表示相应事件的概率）：①P（-s＜X≤+s）≥0.6826；②P（-2s＜X≤+2s）≥0.9544；③P（-3s＜X≤+3s）≥0.9974．判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径尺寸在（-2s，+2s）之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在（-3s，+3s）之外的零件认定为“突变品”．从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A，B两点，直线l：x=4与x 轴交于点E，M为线段EF的中点，过点B作直线BN⊥l于点N．证明：A，M，N 三点共线．21.已知函数f（x）=e x-a，g（x）=a（x-1），（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）•g（x），若h（x）存在极值，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=a sinθ（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知A（ρ1，θ）是直线l上的一点，B（ρ2，θ+）是曲线C上的一点，ρ1∈R ，ρ2∈R，若的最大值为2，求a的值．23.已知函数f（x）＝|x-1|．（1）求函数y＝f（x）-f（x＋1）的最大值；（2）若f（|a-2|＋3）＞f（（a-2）2＋1），求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集的计算，关键是求出集合A，属于基础题．根据题意，分析可得A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，……}，由交集的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，……}，则A∩B={2，8，14}，其中有3个元素，故选C．2.【答案】A【解析】【分析】把z=1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵z=1+i，∴=．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．由折线图可以观察出结果．【解答】解：由折线图可知：该月2日指数AQI值最小，因此空气质量最好；该月24日指数AQI值最大，因此空气质量最差；该地区从该月7日到12日AQI值是持续增大；该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关；故选：D．4.【答案】A【解析】解：a＞b＞0⇒a2＞b2，可得a+a2＞b+b2．反之不一定成立，例如取a=-3，b=-1时．∴“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的充分不必要条件．故选：A．由a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得a+a2＞b+b2．反之不一定成立，例如取a=-3，b=-1时．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a的值，属于基础题．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=a-=0，解可得a=1，即可得函数的解析式，将x=1代入解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数（a∈R）为奇函数且其定义域为R，则f（0）=a-=0，解可得a=1，则f（x）=1-，故f（1）=1-=；故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，能求出首项a1．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a5=-10，∴，解得a1=2，d=-3．故选C．7.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．则该阳马的外接球的直径为PB=．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由于程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000 的最大正整数n的值，故退出循环的条件应为S≥1000，由于满足1+++…+≥1000后，（此时i值比程序要求的i值多一），又执行了一次i=i+1，故输出的应为i-2的值．故选：D．通过要求S≥1000时输出，由于满足1+++…+≥1000后，又执行了一次i=i+1，故输出的应为i-2的值．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．实数x，y满足2x+2y=1，利用基本不等式可得1≥2，化简即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足2x+2y=1，∴1≥2=2，化为x+y≤-2．当且仅当x=y=-1时取等号．则x+y的最大值是-2．故选A．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何概型概率的求法，求解阴影部分的面积是关键，是中档题．设出正方形边长，首先求出上图阴影部分面积，再由半圆面积减去所求面积可得下图阴影部分面积，求出正方形面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：如图，设两圆弧交点为O，BC=2，则AC弧所在圆的方程为x2+y2=4，取x=1，可得O（1，），则BO所在直线的斜率为，∴∠OBC=，同理∠OCB=．则阴影部分的面积为2×××22-×2×=；∴下图中阴影部分的面积为：=，则在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．故选A．11.【答案】C【解析】解：∵a=2ln3=ln9，b=3ln2=ln8＜ln9=a，令y=(x>e)，y'=<0,所以y在（e，+）上单调递减，所以,所以,故c=，∴c＞a＞b，故选：C．利用对数的运算性质、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴．∴-+φ=mπ，φ=nπ+．（m，n∈Z）∴ω=2（n-m）+1，即ω为奇数．下面验证ω=5不符合题意，当ω=5时，可得φ=，函数f（x）=sin（5x+），且x∈（，）时，5x+，而，不符合x∈（，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为3，故选：C．可得-+φ=mπ，φ=nπ+．（m，n∈Z），ω=2（n-m）+1，即ω为奇数；下面验证ω=5不符合题意，即可得答案．本题考查了三角函数的性质，考查了分析问题的能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】【分析】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．根据即可得出2x-（x+1）=0，解出x即可．【解答】解：∵；∴2x-（x+1）=0；∴x=1．故答案为1．14.【答案】[2，+∞）【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过点A时直线在y轴上的截距最小，由，解得A（，），z有最小值为2．故答案为：[2，+∞）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．由已知结合余弦定理，cos=，可求a，然后代入三角形的面积公式S△ABC=即可去求解．【解答】解：∵c=AB=5，b=AC=7，∠ABC=，由余弦定理可得，cos=，∴，∴a2+5a-24=0，解可得，a=3，S△ABC===.故答案为.16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：右顶点为A（a，0），一条渐近线方程为bx-ay=0，圆的圆心为（a，0），半径为b，设A到渐近线的距离为d，可得2=b，解得d=b，由d==b，化简可得a2=3b2，可得e===．故答案为．17.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，S2=2，S3=-6．可得a1+a2=a1+a1q=2，a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=-6，解得a1=q=-2，则a n=（-2）n；（Ⅱ）b n=na n=n•（-2）n，前n项和T n=1•（-2）+2•4+3•（-8）+…+n•（-2）n，-2T n=1•4+2•（-8）+3•16+…+n•（-2）n+1，两式相减可得3T n=（-2）+4+（-8）+…+（-2）n-n•（-2）n+1=-n•（-2）n+1，化简可得T n=--．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n=na n=n•（-2）n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）证明：取EF中点O，连接OD，OA，∵D在平面ABEF上的射影为EF的中点，∴OD⊥平面ABEF，∴OD⊥OF，OD⊥OA，∵直线AD与平面ABEF所成角为，∴，∴OD=OA=，∴OF=，∴在△AOF中，OA2+OF2=AF2，∴OF⊥OA，∴OF⊥平面OAD，∴EF⊥AD；（Ⅱ）∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面ABCD∩平面EFDC=CD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，由（Ⅰ）知，EF⊥平面OAD，∴三棱柱OAD-EBC为直棱柱，∴V五面体=V F-OAD+V OAD-EBC==．【解析】（Ⅰ）取EF中点O，去证EF⊥平面OAD，关键是证OF⊥OA，通过AD与底面所成角入手计算借助勾股定理不难证得；（Ⅱ）把五面体由平面OAD分割成一个直三棱柱和一个三棱锥，求解就容易了．此题考查了线面垂直，线面平行，多面体求体积等，难度适中．19.【答案】解：（Ⅰ）=62.8，=67.2，-2s=60.6，=69.4，=58.4，，由图表知：P（＜X≤）=，P（）=，P（）=，∴该设备M的级别为丙级．（Ⅱ）样品中直径尺寸在（，）之外的零件共6件，其中直径尺寸在（，）之外的零件共2件，分别记为A，B，C，D，a，b，其，a，b是直径尺寸在（，）之外的零件，从样本的“次品”中随机抽取两件，所有情况共15种：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C ，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，至少有一件“突变品”的所有情况有9种：{A，a}，{A，b}，{B，a}，{B，b}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件Y，则P（Y）=．【解析】（Ⅰ）推导出P（＜X≤）=，P（）=，P（）=，由此得到该设备M的级别为丙级．（Ⅱ）样品中直径尺寸在（，）之外的零件共6件，其中直径尺寸在（，）之外的零件共2件，分别记为A，B，C，D，a，b，其，a，b是直径尺寸在（，）之外的零件，从样本的“次品”中随机抽取两件，利用列举法能求出至少有一件“突变品”的概率．本题考查设备级别的判断，考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）记椭圆C的焦距为2c，则，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：+=1．（Ⅱ）F（1，0），设直线l1的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，易知M（，0），N（4，y2），k AM=，k MN=，2y2（x1-）-3y1=2k（x2-1）（x1-）-3k（x1-1）=k[2x1x2-5（x1+x2）+8]=k（-+8）=0，∴k AM=k MN，∴A，M，N三点共线．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质列方程组解得a，b，c即可得到；（Ⅱ）联立直线l1与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率公式变形可得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，设切点A（x0，e-a），f′（x）=e x；故过点A的切线方程为+a=e（x-x0），即y=x-x0e+e-a．∴，解得a=e，（Ⅱ）h（x）=f（x）•g（x）=a（x-1）（e x-a），h′（x）=a（xe x-a），令φ（x）=xe x-a，则φ′（x）=（x+1）e x，令φ′（x）＞0，x＞-1，令φ′（x）＜0，x＜-1，∴φ（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增．若h（x）存在极值，则φ（x）min=φ（-1）=--a＜0，则a．所以，若h（x）存在极值，a的取值范围为（-）∪（0，+∞）．【解析】（Ⅰ）设切点A（x0，e-a），过点A的切线方程为y=x-x0e+e-a．得a=e，（Ⅱ）h（x）=f（x）•g（x）=a（x-1）（e x-a），h′（x）=a（xe x-a），令φ（x）=xe x-a ，只需φ（x）min=φ（-1）=--a＜0，可得a的取值范围．本题考查了导数的几何意义，函数的极值存在性问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直线l的极坐标方程为，即，曲线C的极坐标方程为ρ=a sinθ（a∈R且a≠0），即ρ2=aρsinθ，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0；（Ⅱ）∵A（ρ1，θ）在直线上，B（ρ2，θ+）在曲线C上，∴，，∴====≤|a|，∴|a|=2，即a=±2．【解析】（Ⅰ）直接把直线参数方程消参数得直角坐标方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直线l的极坐标方程，把ρ=a sinθ两边同时乘以ρ，再由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由A（ρ1，θ）在直线上，B（ρ2，θ+）在曲线C上，得，，把化为关于θ的三角函数，求最值，即可得到a的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查三角函数最值的求法，是中档题．23.【答案】解：（1）函数y=f（x）-f（x+1）=|x-1|-|x|≤|（x-1）-x|=1，x-1＜x≤0，即x≤0时“=”成立，∴函数y=f（x）-f（x+1）的最大值为1；（2）函数f（x）=|x-1|在[1，+∞）上单调递增，∵|a-2|+3＞1，（a-2）2+1≥1，f（|a-2|+3）＞f（（a-2）2+1），∴|a-2|+3＞（a-2）2+1，即（|a-2|+1）（|a-2|-2）＜0，化为|a-2|＜2，解得0＜a＜4．∴实数a的取值范围是（0，4）．【解析】本题考查了函数的单调性，方程与绝对值不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）函数y=f（x）-f（x+1）=|x-1|-|x|≤|（x-1）-x|，即可得出函数y=f（x）-f（x+1）的最大值．（2）函数f（x）=|x-1|在[1，+∞）上单调递增．由于|a-2|+3＞1，（a-2）2+1≥1，可得|a-2|+3＞（a-2）2+1，解出即可得出．。
河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题(含答案与解析)_9522
开封市2024届高三年级第三次质量检测数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 设复数z 满足()1i 1z -=-，则z=（ ）A. 1B.C.D. 22. 已知向量()2,1a =r ，()1,a b m += ，若a b∥，则m =（ ）A. 3-B. 3C. 12-D.123. 设U =R ，已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≥=>，且()U A B R ⋃=ð，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (),1-∞4. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是（ ） A.34B.310C.325D.6255. 已知9log 41a =，则2a -=（ ） A.19B.18C.13D. 36. 在某项测验中，假设测验数据服从正态分布()78,16N．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测.验数据从大到小分为A ，B ，C ，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最小值可能是（附：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσ-≤≈，()20.9545P X μσ-≤≈）（ ）A. 94B. 86C. 82D. 787. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（ ） A.32B. 2C.52D. 38. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n a 的前n 项积，若11a =，1n n a S +=，则满足1000n T >的n 的最小值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（ ） A. C 的焦距为2B. C的短轴长为C. CD. 2ABF △的周长为810. 已知函数()22cos sin f x x x =-，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（ ）A. 函数()g x 的周期为πB. 函数()g x 图象关于直线π3x =对称 C. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为12-11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则（ ）的的的A. ()02f =B. ()()33f x f x -=+C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的解析式可能为()π2sin6f x x = 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =________ 13. 已知函数 ()1f x x x=-的值域为[0,)+∞，则()f x 的定义域可以是______ 14. 在矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B ACD --，当点B 与点D 之间的距离为3时cos θ=______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某学校有A ，B 两家餐厅，A 餐厅有2种套餐选择，B 餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A 餐厅距离教学楼相比于B 餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：男 女 在A 餐厅用餐 40 20 在B 餐厅用餐 1525（1）求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；（2）依据0.005α=的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联? 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.05 0.01 00050.001 x α3.8416.6357.87910.82816. 已知函数()33ln f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()()()9g x f x f x x'=--的单调区间和极值． .17. 已知()1,0A -，()10B ,，对于平面内一动点()(),1P x y x ≠±，PM x ⊥轴于点M ，且AM ，PM ，BM 成等比数列．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若8AM AN ⋅=，求直线l 的方程．18. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，给出下列三个论断：①PC PD =；②AC PD ⊥；③BD ⊥平面PAC ．（1）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明； （2）在（1）的条件下，若1PA =，求四棱锥P ABCD -体积的最大值．19. 点S 是直线PQ 外一点，点M ，N 在直线PQ 上（点M ，N 与点P ，Q 任一点不重合）．若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin SP PSM P Q M SQ MSQ ∠=∠；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin SP PSMP Q M SQ MSQ∠=-⋅∠．记()()(),;,;,,;P Q M P Q M N P Q N =．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b =，60A =︒，点D 是射线BC 上一点，且(),;2c B C D =．（1）若1AD =，求ADC ∠；（2）射线BC 上的点0M ，1M ，2M ，…满足(),;,n B C M D =，N n ∈， （i ）当0n =时，求08AM AD +的最小值； （ii ）当0n ≠时，过点C 作n n CP AM ⊥于n P ，记nn CP a n=，求证：数列{}n a 的前n 项和2n S <+．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 满足()1i 1z -=-，则z=（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算求出z ，再求其模即得.【详解】由()1i 1z -=-可得11=1i iz =-+，则z =.故选：B.2. 已知向量()2,1a =r ，()1,a b m += ，若a b∥，则m =（ ）A. 3-B. 3C. 12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算及向量共线的坐标关系即可求解.【详解】由()2,1a = ，()1,a b m +=可得()()1,1b a b a m =+-=-- ，由a b∥可得()121m -=-，解得m =12，故选：D3. 设U =R ，已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≥=>，且()U A B R ⋃=ð，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】D 【解析】【分析】由题设可得{}|1U A x x =<ð，根据已知集合的并集结果即可求a 的取值范围. 【详解】由题设，{}|1U A x x =<ð，又()U A B R ⋃=ð，{}|B x x a =>， ∴1a <. 故选：D4. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是（ ） A34B.310C.325D.625【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果． 【详解】设事件A = “第1次抽到几何题”，事件B = “第2次抽到代数题”，所以2233(),()55410P A P AB ==⨯=，则3()310(|)2()45P AB P B A P A ===． 故选：A ．5. 已知9log 41a =，则2a -=（ ） A.19B.18C.13D. 3【答案】C 【解析】【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由9log 41a =可得49a =，即2(2)9a =，23a =，故123a-=. 故选：C.6. 在某项测验中，假设测验数据服从正态分布()78,16N．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A ，B ，C ，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最小值可能是（附：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσ-≤≈，()20.9545P X μσ-≤≈）（ ）A. 94B. 86C. 82D. 78【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】测验数据服从正态分布()~78,16X N ， 则78μ=，4σ==，.故1()()0.162P X P X μσμσ--≤>+=≈，故A 等级的分数线应该是78482μσ+=+=． 故选：C7. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（ ） A.32B. 2C.52D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解.【详解】设点,M N 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，抛物线24y x =的准线方程为=1x -， 由抛物线定义有，121,1MF x NF x =+=+, 所以12116x x +++=,124x x +=，故1222x x +=，选项B 正确． 故选：B.8. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n a 的前n 项积，若11a =，1n n a S +=，则满足1000n T >的n 的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据1n n a S +=可得{}n S 为公比为2的等比数列，即可求解12n n S -=，进而可得222,n n n a -=≥，根据n T 的表示即可求解.【详解】由1n n a S +=可得112n n n n n S S S S S ++⇒=-=，110S =≠， 故{}n S 为公比为2的等比数列，故12n n S -=，所以112n n n a S -+==，故222,n n n a -=≥，因此22,2,1,1n n n a n -⎧≥=⎨=⎩故()()12012212312222n n n n nT a a a a ---==⨯⨯⨯= ，要使1000n T >，则()()12221000n n -->，当6n =时，1021000>，5n =时，621000<，且()()122n n --在5n ≥时，随着正整数n 的增大而增大，故n 的最小值为6， 故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（ ） A. C 的焦距为2B. C的短轴长为C. CD. 2ABF △的周长为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b m a m ==+，进而可求解2,1a b c ===，即可根据选项逐一求解. 【详解】由于12π3F AF ∠=，所以12π6F AO OAF ∠=∠=,故11πcos 6AO b F AO AF a ∠=====因此222221b m a m ==+，故23m =， 所以椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ===对于A ，焦距为22c =，故A 正确， 对于B，短轴长为2b =，B 正确，对于C ，离心率为12c e a ==，C 错误， 对于D ，2ABF △的周长为48a =，D 正确， 故选：ABD10. 已知函数()22cos sin f x x x =-，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（ ）A. 函数()g x 的周期为πB. 函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 C. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【答案】AD 【解析】【分析】根据二倍角公式化简()cos 2f x x =，即可利用平移求解()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合选项即可逐一求解.【详解】()22cos sin cos 2f x x x x =-=，()ππcos 263g x f x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=， 故数()g x 的周期为2ππ2=，A 正确， 对于B. 函数ππcos 133g ⎛⎫≠±⎪⎝⎭=，故()g x 不关于直线π3x =对称，B 错误， 对C. 当π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则[]ππ2π2,0,π333x ⎡⎤∈⊄⎢⎥⎣⎦--，故函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是单调递减，C 错误，对于D. π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则ππ2π2,333x ⎡⎤∈⎢⎣⎦--，故当π2π233x -=时，()g x 取最小值2π1cos32=-故D 正确， 故选：AD11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则（ ） A. ()02f = B. ()()33f x f x -=+C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的解析式可能为()π2sin6f x x = 【答案】ABC 【解析】【分析】利用赋值法求()02f =判断A ；赋值法可得函数奇偶性即可判断D ；利用赋值法求得(1)()(1)f x f x f x +=--，化简得()(3)(6)f x f x f x =--=-，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.【详解】由()()()()++-=f x y f x y f x f y ，令1x =，0y =，有(1)(1)(1)(0)f f f f +=，可得()02f =,故A 正确； 令0x =，则()()()(0)()2f y f y f f y f y +-==，则()()f y f y =-， 函数()f x 是偶函数， 而()π2sin6f x x =为奇函数，故D 错误， ()11f =，令1y =，则()()(1)(1)()1f x f x f x f f x ++-==， 所以(1)()(1)f x f x f x +=--， 则()(1)(2)f x f x f x =---，(1)[(1)(2)](1)(2)f x f x f x f x f x +=-----=--，所以()(3)(6)f x f x f x =--=-，则()f x 周期为6，C 正确．由于()f x 为偶函数且周期为6，故()()()333f x f x f x ==-+-，B 正确， 故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =________ 【答案】8【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列方程求解公差，进而可以求出8S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵18a =，460a a +=，∴2×8+8d =0，解得d =−2.则S 8=8×8−2×872⨯=8. 故答案为8.13. 已知函数 ()1f x x x=-的值域为[0,)+∞，则()f x 的定义域可以是______ 【答案】[1,0)[1,)-+∞ （答案不唯一）【解析】【分析】解分式不等式得到x 范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令10x x-≥，解得10x -≤<或1x ≥， 则()f x 的定义域可以是[1,0)[1,)-+∞ ， 故答案为：[1,0)[1,)-+∞ （答案不唯一）.14. 在矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时cos θ=______． 【答案】16【解析】【分析】根据向量的线性运算可得BD BE EF FD =++ ，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解. 详解】分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=〈〉 ．由2AB =，AD =4AC =，所以1,2AD DC EB FD AE CF EF AC⋅======． 因为BD BE EF FD =++ ，则 222222||()2BD BD BE EF FD BE EF FD BE FD ==++=+++⋅9343π)θ=+++-， 故1cos 6θ=， 故答案为：16． 【四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：男女在A餐厅用餐40 20在B餐厅用餐15 25（1）求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；（2）依据0.005α=的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联?附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++．α0.05 0.01 0.005 0.001xα3.841 6.635 7.879 10.828【答案】（1）11 50（2）依据0.005α=的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联【解析】【分析】（1）分别求解221132(),()55P A P B⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,212111(),()24P A A P A B==，利用全概率公式可求得所求事件的概率；（2）完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答.【小问1详解】由表中数据可得，选择A 餐厅的概率为6031005=，选择B 餐厅的概率为4021005=， 设事件1A ：甲乙去A 餐厅用餐，事件1B ：甲乙去B 餐厅用餐，事件2A ：甲乙选择同一种套餐， 事件A: 甲、乙两名同学选择同一套餐用餐,221132(),()55P A P B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,212111(),()24P A A P A B == 则22121121312111()()()()()525450P A P A P A A P B P A B ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为1150 【小问2详解】根据数据可得方案一的列联表：男 女合计 在A 餐厅用餐40 2060B 餐厅用餐15 2540 合计 55 45 100零假设为0H ：认为性别与选择餐厅之间无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.005100(20152540)8.2497.87955454060K x ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯， 依据小概率值0.005α=的独立性检验，可以推断0H 不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．16. 已知函数()33ln f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 在（2）求函数()()()9g x f x f x x '=--的单调区间和极值．【答案】（1）1y =（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数求出()11f =，()10f '=，，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）求出导函数，用列表法求出极值即可．【小问1详解】因为()33ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，23()3f x x x '=-，所以()11f =，()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =．【小问2详解】依题意，()()()32963ln 3g x f x f x x x x x x '=--=---，则()()()()322223123236()3632x x x g x x x x x x x x x ---=--+=-='+， 令()0g x '=，解得1x =或2x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表所示： x (0,1) 1 ()1,2 2 (2,)+∞()g x ' ＋ 0 － 0 ＋()g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增∴函数()g x 单调递减区间为()1,2，单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞．故()g x 的极小值为()273ln 2g =--，()g x 的极大值为()18g =-．17. 已知()1,0A -，()10B ,，对于平面内一动点()(),1P x y x ≠±，PM x ⊥轴于点M ，且AM ，PM ，BM 成等比数列．（1）求点P 的轨迹C 的方程； 的（2）已知过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若8AM AN ⋅= ，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-()1x ≠±（2）)1y x =+ 【解析】 【分析】（1）根据点点距离，结合等比中项即可化简求解，（2）联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得22212,11k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭22212,11k k N k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，即可利用向量数量积的坐标运算求解.【小问1详解】由题意可得(),0M x ，则1AM x =+，PM y =，1BM x =-，由于AM ，PM ，BM 成等比数列，所以2PMAM BM =， 即222111y x x y x =+-⇒=-， 故点P 的轨迹C 的方程为221y x =-()1x ≠± 【小问2详解】由（1）知点P 的轨迹C 的方程为：当1x >或221,1x x y <--=，当11x -<<时，221x y +=，如图；由题意可知直线l 有斜率，设l 方程为()1y k x =+，联立()()()2222221121011,y k x k x k x k x y x ⎧=+⎪⇒----=⎨-=<-⎪⎩， 则222211,1,11A M A M k k x x x x k k --+==-∴=-- ，故22222212121,,1111M k k k k y k M k k k k ⎛⎫⎛⎫++=+=∴ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭, 联立()()()22222211210111,y k x k x k x k x y x ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=-<<⎪⎩， 则222211,1,11A N A N k k x x x x k k --+==-∴=++ ，故22222212121,,1111N k k k k y k N k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=+=∴ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭,22222211221181111k k k k AM AN k k k k⎛⎫⎛⎫+-+⋅=+++= ⎪⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ,解得212k k =⇒=，故直线方程为)1y x =+18. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，给出下列三个论断：①PC PD =；②AC PD ⊥；③BD ⊥平面PAC ．（1）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；（2）在（1）的条件下，若1PA =，求四棱锥P ABCD -体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）①②⇒③,根据AC ⊥平面PBD 以及三角形全等可证明PO ⊥平面ABCD ，即可由线面垂直的判定求解，③②⇒①,根据线面垂直可得四棱锥ABCD 是正四棱锥，即可求证，①③⇒②,根据线面垂直，结合三角形全等，可证明四棱锥ABCD 是正四棱锥，即可根据线面垂直得线线垂直，（2）根据正四棱锥性质，由体积公式得体积表达式，即可利用不等式求解最值.【小问1详解】①②⇒③,连接,AC BD 相交于O ，连接OP ，的由于底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又AC PD ⊥，,,PD BD D PD BD =⊂ 平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，OP ⊂平面PBD ,故AC OP ⊥,由于,,OP OP OD OC PD PC ===，故POD POC ≅ ,因此OD OP ⊥,OC OD O,OC,OD =⊂ 平面ABCD ，故PO ⊥平面ABCD ，（可得四棱锥ABCD 是正四棱锥）BD ⊂平面ABCD ，故PO BD ⊥,又,,,AC BD AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ,故BD ⊥平面PAC ．②③⇒①,连接,AC BD 相交于O ，连接OP ,由于底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又AC PD ⊥，,,PD BD D PD BD =⊂ 平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，故AC OP ⊥,又BD ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，故BD OP ⊥,,,⋂=⊂AC BD O AC BD 平面ABCD ,故OP ⊥平面ABCD ,结合底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，所以四棱锥ABCD 是正四棱锥，故PC PD =，①③⇒②,连接,AC BD 相交于O ，连接OP ,BD ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，故BD OP ⊥,由于,,OP OP OD OB ==故POD POB ≅ ,又,,OP OP OD OC PD PC ===,故POD POC ≅ , 故π2POD POC POB ∠=∠=∠=, 因此,PO OB PO OC ⊥⊥，,,OC OB O OC OB ⋂=⊂平面ABCD ，故OP ⊥平面ABCD , 故四棱锥ABCD 是正四棱锥，由于AC BD ⊥，又AC OP ⊥，,,OP BD D OP BD ⋂=⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ,故AC PD ⊥,【小问2详解】无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥ABCD是正四棱锥，设四棱锥的底边边长为a，则四AO=，所以PO===，故1133P ABCD ABCDV S PO a-=⋅===，由于3222222111111114421442327a a aa a a⎡⎤⎛⎫++-⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⋅-≤=⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当2211142a a⎛⎫=-⎪⎝⎭，即243a=时取等号，故13P ABCD ABCDV S PO-=⋅=≤=故四棱棱锥P ABCD-.19. 点S是直线PQ外一点，点M，N在直线PQ上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段PQ上，记()sin,;sinSP PSMP Q MSQ MSQ∠=∠；若点M在线段PQ外，记()sin,;sinSP PSMP Q MSQ MSQ∠=-⋅∠．记()()(),;,;,,;P Q MP Q M NP Q N=．记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2b=，60A=︒，点D是射线BC上一点，且(),;2cB C D=．（1）若1AD=，求ADC∠；（2）射线BC上的点0M，1M，2M，…满足(),;,nB C M D=，Nn∈，（i ）当0n =时，求08AM AD +的最小值；（ii ）当0n ≠时，过点C 作n n CP AM ⊥于n P ，记n n CP a n=，求证：数列{}n a 的前n项和2n S <+．【答案】（1）π4CDA ∠=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义可得sin sin BAD CAD ∠=∠，即可根据余弦定理求解，（2）（i）根据等面积法可得012AM AD +=，即可利用不等式乘“1”法即可求解， （ii）由sin n n CP AC a α==.【小问1详解】 因为(),;0,2c B C D =>D 是线段BC 上一点，2b =， 所以()sin sin ,;,sin 2sin 2c BAD c BAD c B C D b CAD CAD ∠∠===∠∠故sin sin BAD CAD ∠=∠， 所以AD 为BAC ∠的角平分线，又π3A =,所以30BAD CAD ∠=∠= ,若1AD =+，在ACD中，由余弦定理可得))2222π2cos 4141cos 26CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠=+-⨯+=,故CD = 由正弦定理可得sin sin CD AC CAD CDA =∠∠,2sin CDA ∠=，解得sin CDA ∠=, 由于AD 是最大的边，所以π4CDA ∠=， 【小问2详解】设n CAM α∠=，（i ）当0n =时，因为()01,;,02B C M D =-<,所以0M 在线段BC 的延长线上， 所以πsin 1ππ32sin sin 2sin 2232c c ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=⇒+=⇒= ⎪⎝⎭， 因为00002ππsin sin 36ADM ADC ACM S S S AD AM AD AC AC AM =+⇒⋅=⋅+⋅, 012AM AD +=所以)001288AD AM AD AM AM AD ⎫⎛⎫⎫⎪+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭当且仅当0082AD AM AM AD =,即02AM AD =取等号，此时0AM AD ==，由于0tan ACM ∠=>,0π3ACM ∠>，等号可以取到，故08AM AD +的最小值为 （ii ）当0n ≠，(),;,0n B C M D =<,所以n M 在线段BC 的延长线上，所以()πsin π132sin 1sin tan 2sin 3c n ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=⇒+=+⇒= ⎪⎝⎭，所以sin n n CP AC a α===,1n =时，所以112S a <+=2n ≥,221121n a n n n ⎛⎫=<<- ⎪-⎝⎭，所以12111111212122231n n S a a a n n n ⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++-=-<+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 综上2n S <+【点睛】方法点睛：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.。
【数学】河南省开封市高三第三次模拟试题(文)(解析版)
河南省开封市高三第三次模拟数学试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈，{2,8,10,12,14}B =，则集合A B ⋂中元素的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C 【解析】{|32A x x n ==+，}n N ∈，{2B =，8，10，12，14}，{28AB ∴=，，14}，则集合A B ⋂中的元素的个数为3， 故选：C ．2.设复数1z i =+，则zz=（ ） A. i - B. i C. 2i - D. 2i【答案】A【解析】21(1)21(1)(1)2z i i ii z i i i ---====-++-. 故选：A3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日AQI 持续增大D. 该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关 【答案】D【解析】对于选项A, 由于2日的空气质量指数AQI 最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；对于选项B, 由于24日的空气质量指数AQI 最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日AQI 持续增大，所以该选项正确； 对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成正相关，所以该选项错误. 故选：D4.“0a b >>”是“22a a b b +>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先考虑充分性.2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,=))()=()(1)a b a b a b a b a b +-+--++（（， 因为0a b >>，所以()(1)0a b a b -++>， 所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的充分条件. 再考虑必要性.2222)()a a b b a b a b +--=-+-（,=))()=()(1)0a b a b a b a b a b +-+--++>（（， 不能推出0a b >>. 如：a=-3,b=-1.所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”的非必要条件. 所以“0a b >>”是“22a a b b +>+”充分不必要条件. 故选：A5.已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A. 53-B. 13C. 23D.32【答案】B【解析】由题得2(0)0,0,1,2f a a =∴-=∴= 经检验，当a=1时，函数f(x)是奇函数. 所以21(1)1213f =-=+. 故选：B6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3 B. -2C. 2D. 3【答案】C 【解析】由题得11119967,2,3+410a d a da d a d +=+⎧∴==-⎨=-⎩.故选：C7.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.B. 6πC. 9πD. 24π【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -．底面ABCD 为矩形，的其中PD ⊥底面ABCD ．1AB =，2AD =，1PD =．则该阳马的外接球的直径为PB =∴该阳马的外接球的表面积为：246ππ⨯=．故选：B ．8.如图所示的程序框图是为了求出满足111110023n+++⋯+<的最大正整数n 的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A. “100?S <”和“输出1i -”B. “100?S <”和“输出2i -”C. “100?S ”和“输出1i -”D. “100?S ”和“输出2i -” 【答案】D【解析】由于程序框图是为了求出满足111110023n+++⋯+< 的最大正整数n 的值， 故退出循环的条件应为100S ，由于满足111110023n+++⋯+后，（此时i 值比程序要求的i 值多1），又执行了一次1i i =+，故输出的应为2i -的值． 故选：D ．9.若实数x ，y 满足221x y +=，则x y +的最大值是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】由题得22x y +≥=(当且仅当x=y=-1时取等)所以2112,224x y x y +-+≥∴≥∴≥，所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B10.如图，在正方形ABCD 中分别以A ，B 为圆心、正方形的边长为半径画BD 弧，AC 弧，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.6π-B.32π-C. 12πD.6π【答案】A【解析】如图所示，设正方形的边长为1，因为AB =AE =BE =1,所以∠ABE =3π, 所以弓形AFE的面积为2211166ππ⋅⋅-=. 所以阴影部分ADFE的面积为211(12612πππ⋅⋅--=-，所以所有阴影部分的面积为2)41226ππ-=-（.由几何概型的概率公式得此点取自阴影部分的概率是2616ππ-.故选：A11.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C【解析】由题得ln 9,ln8a b ==， ∴a b >． 又622ln 23ln 23(ln 2)=3e c a e e e--=-=-⋅， 由于22ln 2ln ln 2e e e -=-，如图在坐标系中画出函数2y x =和函数2xy =的图象，可得在区间(2,4)内函数2y x =的图象总在函数2xy =图象的上方，∵(2,4)e ∈， ∴22e e >， ∴2ln ln 2e e >，∴22ln 2ln ln 20e e e -=->， ∴0c a ->，因此c a >， ∴c a b >>． 故选C ．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且1117,3636x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，|()|1f x <，则ω的最大值为（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】因为4x π=-为()f x 的零点，所以111,(),14x k k Z k πωϕπωϕπ+=∈∴-+=，（）,因为4x π=为()y f x =图象的对称轴，所以222+,(),+2242x k k Z k πππωϕπωϕπ+=∈∴+=，（）（1）+（2）得1212)2=),224k k k k πππϕπϕ+++∴=+（（， 因为||=24ππϕϕ≤∴±，.(2)-(1)得2121=),2)121()22k k k k n n Z ππωπω-+∴=-+=+∈（（,当=5ω时，如果()sin(5)4f x x π=+，令115,,42520x k k Z x k πππππ+=+∈∴=+， 当k =2时，x =91117203636πππ∈（，）,与已知不符.如果()sin(5)4f x x π=-，令135,,42520x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+，当k =1时，x =71117203636πππ∈（，）,与已知不符. 如果=3ω，如果()sin(3)4f x x π=+，令113,,42312x k k Z x k πππππ+=+∈∴=+，当k =1时，x =51117123636πππ∈（，）,与已知不符. 如果()sin(3-)4f x x π=，令1111173-,,42343636x k k Z x k πππππππ=+∈∴=+∉（，），与已知相符. 故选：C 二、填空题.13.设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且//a b ，则x =________. 【答案】1【解析】由题得2x -(x +1)=0, 所以x =1. 故答案为：114.若实数x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则z x y =+的取值范围是________.【答案】[2,)+∞【解析】由x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时直线在y 轴上的截距最小，由331x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得3(2A ，1)2，z 有最小值为2．故答案为：[2，)+∞15.已知ABC △中，5AB =，7AC =，23ABC π∠=，则该三角形的面积是________.【解析】由题得21492525(),32a a a =+-⋅⋅⋅-∴=所以三角形的面积为1235sin 23π⋅⋅⋅故答案为：416.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】3【解析】由题得双曲线的渐近线方程为0.bx ay -= 由题得△AMN 是等边三角形，边长为b. 所以点A,ab c e c a ==∴==三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .解：（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意()121(1)216a q a q q +=⎧⎪⎨++=-⎪⎩， 解得2q =-，12a =-，故(2)nn a =-.（Ⅱ）(2)nn n b na n ==-，123(2)2(2)3(2)(2)n n T n =-+⋅-+⋅-++-，23412(2)2(2)3(2)(2)n n T n +-=-+⋅-+⋅-++-，两式相减得12313(2)(2)(2)(2)(2)n n n T n +=-+-+-++---，121(2)3(2)1(2)n n n T n +⎡⎤---⎣⎦=----，1(31)(2)299n n n T ++-=--.18.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，D 在平面ABEF 上的射影为EF 的中点ADF的正三角形，直线AD 与平面ABEF 所成角为4π.（I ）求证：EF AD ⊥；（Ⅱ）若22EF CD AB ==，且//AB EF ，求该五面体的体积.（I ）证明：记EF 的中点为O ，连接OD ，OA ，由D 在平面ABEF 上的射影为EF 中点，得OD ⊥平面ABEF ，∴OD OF ⊥，OD OA ⊥，又DF DA =，OD OD =，∴ODF ODA ≅，∴OF OA =.由直线AD 与平面ABEF 所成角为4π，易得OAD 4π∠=，又由DF DA ==OD OA OF 1===，又AF =得OF OA ⊥. 由OF OD ⊥，OF OA ⊥，OD OA O ⋂=，得EF ⊥平面OAD ，AD ⊂平面OAD ，∴EF AD ⊥.（Ⅱ）解：由（I ），EF ⊥平面OAD ，∵AB//EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ，∴AB//平面EFDC ，平面ABCD ⋂平面EFDC CD =，∴AB//CD ，CD //OE ，由题意OF OE CD AB 1====，∴棱柱OAD EBC -为直棱柱. ∵111111326F OAD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 1111122OAD EBC V -⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∴该五面体的体积为：112623F OAD OAD EBC V V --+=+=. 19.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65x =，标准差 2.2s =，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行判定（P 表示相应事件的概率）：①()0.6826P x s X x s -<+；②(22)0.9544P x s X x s -<+；③(33)0.9974P x s X x s -<+.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁.试判断设备M 的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在(2,2)E x s x s -+之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件认定为“突变品”.从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率.解：（I ）62.867.2x s x s -=+=，260.6x s -=，269.4x s +=，358.4x s -=，371.6x s +=，由图表知，80()0.800.6826100P x s X x s -<≤+==>， 94(22)0.940.9544100P x s X x s -<≤+==<，98(33)0.980.9974100P x s X x s -<≤+==<， 所以该设备M 的级别为丙级. （Ⅱ）样品中直径尺寸在(2,2)x s x s -+之外的零件共6件，直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件共2件，分别记为A ，B ，C ，D ，a ，b ，其中a ，b 为直径尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，从样本的“次品”中随意抽取两件，所有情况共15种：{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,}a ，{A,}b ，{B,C}，{B,D}，{B,}a ，{B,}b ， {C,D}，{C,}a ，{C,}b ，{D,}a ，{D,}b ，{},a b ，至少有一件“突变品”的所有情况共9种：{A,}a ，{A,}b ，{B,}a ，{B,}b ，{C,}a ，{C,}b ，{D,}a ，{D,}b ，{},a b ， 记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件Y ， 则93()155P Y ==. 20.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>边三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过C 的右焦点F 作斜率为k 的直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线:4l x =与x 轴交于点E ，M 为线段EF 的中点，过点B 作直线BN l ⊥于点N .证明：A ，M ，N 三点共线.解：（I ）记椭圆C 的焦距为2c，则2222,122,a c cb a bc =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩解得2a =，b =1225.∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）(1,0)F ，设直线5()25f x -≤-≤的方程为(1)=-y k x ，代入椭圆方程，得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 易知5,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()24,N y ，1152AM y k x =-，223MN y k =，()()2112115523213122y x y k x x k x ⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2212122282440258803434k k k x x x x k k k ⎛⎫-=-++=-+=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭, ∴AM MN k k =，∴A ，M ，N 三点共线.21.已知函数()x f x e a =-，()(1)g x a x =-，（常数a R ∈且0a ≠）.（Ⅰ）当()g x 与()f x 的图象相切时，求a 的值；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =⋅，若()h x 存在极值，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）设切点为()00,x A x e a -，()x f x e '=， 所以过A 点的切线方程为()000x x y e a e x x -+=-，即0000x x x y e x x e e a =-+-，所以0000x x x e a e x e a a⎧=⎪⎨--=-⎪⎩，解得a e =. （Ⅱ）依题意，()()(1)x h x a x e a =--，()()x h x a xe a '=-，当a ＞0时，令()x x xe a ϕ=-，则()(1)x x x e ϕ'=+， 令()0x ϕ'>，1x >-，令()0x ϕ'<，1x <-，所以，当(-1)x ∈-∞，时，()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈-+∞时，()x ϕ单调递增 若()h x 存在极值，则min 1()(1)0x a e ϕϕ=-=--<，即(0,)a ∈+∞，又(0,)a ∈+∞时，()()10a a a e ϕ=->，所以，(0,)a ∈+∞时， ()x ϕ在(1,)-+∞存在零点1x ，且在1x 左侧()0x ϕ<，在1x 右侧()0x ϕ>，即()h x '存在变号零点.当a ＜0时，当(-1)x ∈-∞，时，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈-+∞时，()x ϕ单调递减. 若()h x 存在极值，则max 1()(1)0x a e ϕϕ=-=-->，即1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， .又1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()10a a a e ϕ=->， 所以，1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()x ϕ在(1,)-+∞存在零点2x ，且在2x 左侧()0x ϕ>，在2x 右侧()0x ϕ<，即()h x '存在变号零点.所以，若()h x 存在极值，1,0(0,)a e ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠）.（I ）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知()1,A ρθ是直线l 上的一点，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线C 上的一点， 1R ρ∈，2R ρ∈，若||||OB OA 的最大值为2，求a 的值. 解：（I ）消去参数t ，得直线l10y -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程为sin )10ρθθ-+=，即1sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 曲线C 的极坐标方程为sin a ρθ=（a R ∈且0a ≠），即sin a ρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为220x y ay +-=.（Ⅱ）∵()1,A ρθ在直线l 上，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线C 上，∴11sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2sin 6a πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴21||2sin sin ||63OB a OA ρππθθρ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos sin 2||663a a a πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴2a =，2a =±.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（I ）求函数()(1)y f x f x =-+的最大值；（Ⅱ）若()2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()(1)y f x f x =-+可化为|1|||y x x =--， 由|1||||(1)|1x x x x --≤--=， 10x x -<≤即0x ≤时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数()|1|f x x =-在[1,)+∞上单调递增，∵|2|31a -+>，2(2)11a -+≥，()2(|2|3)(2)1f a f a -+>-+， ∴2|2|3(2)1a a -+>-+，即(|2|1)(|2|2)0a a -+--<，所以|2|2a -<， ∴01260.3U U V V R I A--==. 即实数a 的取值范围是(0,4).。
河南省开封市2023届高三第三次模拟考试文科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知复数满足是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．2. 下列大小比较中，错误的是（ ）A．B．C．D．3. “”是“直线和直线相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ．-3B ．2C ．-3或2D．5. 过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）A ．1B．C．D．6. 若复数，则A ．0B ．1C．D ．27.美味可口的哈根达斯蛋筒冰激凌可近似看作半径相等的一个半球和一个圆锥组成，如实物图，已知冰激凌的表面积为，底部圆锥的母线为3，则冰激凌的体积为（）A．B．C．D．8. 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A．B．C．D．9. 下列函数中最大值为1的是（ ）A．B．C．D．10.已知函数的最小正周期为，则（ ）A．B．直线是图象的一条对称轴C ．在上单调递增D．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象河南省开封市2023届高三第三次模拟考试文科数学试题河南省开封市2023届高三第三次模拟考试文科数学试题三、填空题四、解答题11. 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（ ）A．B ．双曲线的渐近线方程为C ．双曲线的离心率为D．12.关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）A ．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2B．若为双曲线，则为钝角C ．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆D ．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则13.已知函数的图象在点，（1）处的切线方程为__．14.已知函数满足下列条件：①是经过图象变换得到的；②对于，均满足成立；③的函数图象过点．请写出符合上述条件的一个函数解析式__________________．15. 已知，若，则实数________．16. 如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面．（I ）求的值；（II ）若异面直线与的公垂线的长度为，求圆柱的表面积．17.某工厂共有名工人，已知这名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并求去年优秀员工人数；（2）选取合适的抽样方法从这名工人中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中人的样本中的优秀员工中随机选取名传授经验，求选取的名工人在同一组的概率．18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的角的余弦值．19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．(1)证明：BE平面PAD；(2)若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．20. 如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.21. 如图，在直三柱中，，分别为，的中点．(1)若，求的值；(2)求与平面所成角的正弦值．。
河南省开封市2021届高三三模文科数学答案
河南省开封市2021届高三三模文科数学试题参考答案1．D 【思路点拨】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求-a b .【解析】由A B ⊆知：A B =，即11a b =-⎧⎨-=⎩，得11a b =-⎧⎨=-⎩，∴0a b -=. 故选：D.2．B 【思路点拨】利用复数的差的模的几何意义，求出复数对应点所在象限，再排除不合题意的选项.【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，复数z 对应复平面内点(,)P x y ， z 的实部大于虚部，即x y >， ∴排除选项C 、D.1z =且1z i -=，则P 在以原点为圆心的单位圆上运动，且P 在以(0,1)为圆心的单位圆上运动. 如图.法一：点P 在两圆交点A 或B 处，即第一或第二象限，排除选项A. 法二：当点P 在A 处时，0,0x y <>，不合题意，即点P 在第一象限， 故选：B.【名师指导】两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离. 3．A 【思路点拨】由题设命题可得(1)(2)0m m -+>，即可求m 的范围，由推出关系知：所求得m 的范围包含于必要不充分条件的m 范围.【解析】由方程22112x y m m -=-+表示双曲线，知：(1)(2)0m m -+>，∴()(),21,m ∈-∞-+∞，故它的一个必要不充分条件为()(),11,m ∈-∞-+∞.故选：A.4．C 【思路点拨】根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误.【解析】A ：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分1.5分左右，比化学、地理要高，正确； B ：其中有政治、历史比年级平均分低，正确；C ：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误；D ：由C 知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确； 故选：C.5．B 【思路点拨】根据sin 2sin 2αα=，利用二倍角的正弦公式求得cos 4α=，再利用二倍角的余弦公式求解.【解析】因为sin 2sin 2αα=，所以sin 22sin cos sin sin ααααα==解得cos 4α=，所以223cos 22cos 1214αα=-=⨯-=-⎝⎭， 故选：B6．B 【思路点拨】由函数的导数()0f x '=求极值点，将极值点代入()f x 可得方程，进而求得a 值.【解析】由已知得：2(1)()()x e x a f x x a +-'=+()x a ≠-，令()0f x '=，有1x a =-，且1x a <-上递减，1x a >-上递增，∴()f x 的极小值为1(1)a f a e --==，即112a -=，得12a =. 故选：B.7．C 【思路点拨】由已知递推关系得122n n a -=，根据123n a a a a =有(1)1542n n -=，即可求n 值.【解析】由题意知：122n n a -=，∴(1)41232n n n a a a a -==∴(1)1542n n -=且*n N ∈，可得6n =. 故选：C.8．C 【思路点拨】由函数零点代入解析式待定系数ϕ、ω.【解析】由图象可知，由(0)0f =得cos 0ϕ=，又0ϕπ<<，解得2ϕπ=. 则()4cos 4sin 2x xx x ee f x πωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-， 法一：由(1)0f =得sin 0ω=，解得()k k Z ωπ=∈， 又当(0,1)x ∈，(0,)x ωω∈时，恒有()0f x <， 即sin 0x ω>恒成立，故0ωπ<≤，1k ∴=，即ωπ=，则2ωϕ=. 法二：由sin 0x ω=，解得()k x k Z πω=∈，故两相邻零点的距离为πω， 由图象可知1πω=，则ωπ=，则2ωϕ=. 故选：C.【名师指导】已知函数图象待定解析式，一是从函数的特征点入手，代入点的坐标从而待定系数，如函数的零点、极值点、与纵轴的交点、已知横纵坐标的点等等；二是从函数的特征量入手，找到等量(不等量)关系待定系数(范围)，如函数的周期、对称轴、切线斜率、图象上两点间的距离、相关直线所成角等等.9．D 【思路点拨】根据三视图还原直观图后可求解.【解析】解：对①：如图，则31151-111=326V =⨯⨯⨯⨯，故①正确； 对②：如图，则3112=1-2111=323V ⨯⨯⨯⨯⨯，故②正确； 对③：如图AB 和CD 在直观图中所对应的棱分别为EF 和GF ，由EFG 为正三角形，所以AB 和CD 在直观图中所对应的棱所成的角为3π，故③正确； 对④：如图，平面//ABCD 平面111B C D ，平面1//ADD 平面11BCC B ，平面1//ABB 平面11DCC D ，平面11//AB D 平面1BC D ，故④正确. 故选：D.【名师指导】方法点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法 1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图； 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度； 3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10．A 【思路点拨】由题设分析知第二次和第三次的球必在乙、丙两人，即传球顺序为甲→乙→丙→甲或者甲→丙→乙→甲，并求出所有可能传球可能情况，根据古典概型求概率即可.【解析】由题设，知：要使第四次由甲传球，则第三次球不在甲，又由甲开始传球，所以第二次球也不在甲，∴第二次和第三次的球必在乙、丙两人，故传球顺序：甲→乙→丙→甲或者甲→丙→乙→甲；而所有可能的传球顺序有32种，∴第四次仍由甲传球的概率为32124=. 故选：A.11．D 【思路点拨】设20a m =>，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解． 【解析】设25a b c z m ===，则0m >且1m ≠，25log ,log ,log z a m b m c m ===，2510111111log 2log 5log 10log log log log m m m z a b m m m m+=+=+===， 10log log z m m =，所以10m =．故选：D ．12．C 【思路点拨】在12PF F △中，由正弦定理可得211221sin sin PF PF PF F PF F =，结合已知条件得到12a PF c PF =，设点00(,)P x y ，得到1020,PF a ex PF a ex =+=-，整理得到0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==+-，根据椭圆的几何性质可得0x a >-，化简得到2210e e +->，即可求解.【解析】在12PF F △中，由正弦定理可得211221sin sin PF PF PF F PF F =,又由2112sin sin PF F c PF F a∠=∠，即1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，即12a PF c PF =, 设点00(,)P x y ，可得1020,PF a ex PF a ex =+=-， 则00()()a a ex c a ex +=-，解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==+-，由椭圆的几何性质可得0x a >-，即(1)(1)a e a e e ->--，整理得2210e e +->，解得1e <或1e >，又由(0,1)e ∈，所以椭圆的离心率的取值范围是1,1).故选：C.【名师指导】方法点拨：在12PF F △中，由正弦定理和结合已知条件得到12a PF c PF =，设点00(,)P x y ，结合椭圆的焦半径公式，得到0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==+-，根据椭圆的几何性质可得0x a >-，列出关于离心率e 的不等式是解答的关键. 13．0【思路点拨】直接根据等差数列的通项公式即可得结果. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，解得10a=，故答案为：0.14．2【思路点拨】由向量数量积的几何意义有||cos ,3a a b <>=可得//a b ，根据向量平行有a b λ=即可求t 值.【解析】由题意知：||cos ,3a a b <>=，而()1,2a =，∴cos ,1a b <>=，即a,b 0<>=，故//a b ，∴a b λ=，易得1t λ=⎧⎪⎨=⎪⎩，即122t λ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 故答案为：2.15由正弦定理求a ，由余弦定理求bc ，再应用三角形面积公式求ABC 的面积.【解析】由题意，结合正弦定理知：2sin aA=，即a = 又由余弦定理知：22222()21cos 222b c a b c a bc A bc bc +-+--===，而b c +=，∴综上，有：3322bc =，即1bc =，∴1sin 2ABC S bc A ==△.故答案为：3. 16．92； 86π【思路点拨】画出几何体的图形，取BC 的中点D ，连结SD ，AD ，作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，然后求解该六面体的体积．当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切，求出球的半径即可求解该球体积的最大值．【解析】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为3， 如图，在棱长为3的正四面体S ABC -中，取BC 的中点D ，连结SD ，AD ， 作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上， 则22331363AD SD OD AD SO SD OD ====-= 所以该六面体的体积为113392223632S ABC V V -==⨯⨯⨯． 当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切， 过球心O 作OE SD ⊥，则OE 就是球的半径，因为SO OD SD OE ⨯=⨯，所以球的半径366332SO ODOE SD⨯=， 该球体积的最大值为346863V π=⨯=⎝⎭．．【名师指导】关键点点睛：（1）解题关键是求出正四面体的高SO ；（2）问解题的关键是利用截面将空间问题平面化，从而找到并求出球的半径OE . 17．【思路点拨】（1）在△ABD 中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即可求AD .（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin AB ACC B=，即可求sin C .【解析】（1）在△ABD 中，AB =4B π=，3BD =，由余弦定理得：2222co 25s 9AD AB BD AB BD B =+-⋅=⋅+-=，∴AD =（2）在ABC 中，AB =，AC =4B π=，由正弦定理得：sin sin AB AC C B=，即sin sin 4C π=，∴sin 4C =． 18．【思路点拨】（1）由已知有AB AP ⊥，CD PD ⊥，根据线面垂直的判定可得CD ⊥平面PAD ，再由面面垂直的判定可证平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）设E 为AD 中点，连接PE ，EB ，由已知有PE ⊥平面ABCD ，由（1）易证ABCD 是矩形，由已知线段的长度，结合勾股定理求相关线段长并确定P BCD V -、PBDS ，根据等体积法有C PBD P BCD V V --=，即可求C 到平面BDP 的距离．【解析】（1）证明：由90BAP CDP ∠=∠=︒，得：AB AP ⊥，CD PD ⊥， 由//AB CD ，即CD AP ⊥，又APPD P =，∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）设E 为AD 中点，连接PE ，由PA PD =， ∴PE AD ⊥，由（1）知：平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，PE ⊂面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∵//AB CD ，AB CD =， ∴ABCD 是平行四边形，由（1）知：CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD AD ⊥，即ABCD 是矩形，由90APD ∠=︒，22AD BC ==，2PE =，∴由上知：11114222232323P BCD V CB CD PE -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 连接EB ，在△PEB 中，6EB =，2PE =，可得22PB =，在△PBD 中，2PD =，23DB =，22PB =，所以90BPD ∠=︒， ∴112222222PBDSPB PD =⨯⨯=⨯⨯=， 设点C 到平面PBD 的距离为h ，由C PBD P BCD V V --=，有142233h ⨯=． ∴2h =，即点C 到平面PBD 的距离为2．【名师指导】关键点点睛：（1）应用线面、面面垂直的判定证明面面垂直； （2）应用等体积法求点面距.19．【思路点拨】（1）由频率直方图得到(]0,10内的频率，由频率即为对应区间的概率即可求区间(]0,10内的概率；（2）由（1），结合已知可得样本中听力为优秀的学生人数，由样本中各组人数的比例关系即可估计总体中听力为优秀的学生人数.（3）由题设，列出所有2Y ≤情况下1a ，2a ，3a ，4a 的组合数量，并写出所有情况的组合数量，应用古典概型求概率即可.【解析】（1）根据频率分布直方图知，样本中测试值在区间(]0,10内的频率为()10.060.080.02510.80.2-++⨯=-=，以频率为概率，从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(]0,10内的概率为0.2．（2）由（1）知：样本中听力为优秀的学生人数为0.25046⨯-=， ∴估计总体中听力为优秀的学生人数为65006050⨯=． （3）当11a =时，序号1a ，2a ，3a ，4a 的情况为6种：分别记为()1,2,3,4，()1,2,4,3，()1,3,2,4，()1,3,4,2，()1,4,2,3，()1,4,3,2， 同理，当12,3,4a =时，序号1a ，2a ，3a ，4a 的情况也分别为6种， ∴序号1a ，2a ，3a ，4a 所有的情况总数为24种． 当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a =，当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =，或11a =，23a =，32a =，44a =， 或12a =，21a =，33a =，44a =， ∴2Y ≤时，序号1a ，2a ，3a ，4a 对应的情况为4种，即()412246P Y ≤==． 【名师指导】关键点点睛：（1）应用频率确定指定样本区间中的人员被抽到的概率.（2）根据样本中指定区间人数的所占比例，估计总体中对应区间的人数. （3）应用列举法求古典概型的概率.20．【思路点拨】（1）由向量的坐标表示，列方程求抛物线参数p ，写出抛物线方程.（2）设直线:2l y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程，应用韦达定理求12x x +，12x x ，根据等差中项的性质，结合抛物线的定义求参数m ，进而由21||FB FA x x -=-=.【解析】（1）由题设知：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()00,P x y ， 由()0,2FP =-，即()00,0,22p x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴02p x =，02y =-，代入22y px =，得24p =，又0p >， ∴2p =，则抛物线C 的方程为24y x =． （2）设直线:2l y x m =+，则224y x m y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：()224440x m x m +-+=，满足()22441632160m m m ∆=--=-+>，即12m <， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则121x x m +=-，2124m x x =，若FA ，FP ，FB 成等差数列，则2FA FB FP +=，即1224x x ++=，即34m -=，即1m =-．∴此时直线l 与抛物线C 联立方程为24810x x -+=，即122x x +=，1214x x =，又∵公差d 满足212d FB FA x x =-=-，而21x x -==，∴2d =2d =±． 【名师指导】关键点点睛：（1）由向量的坐标表示求抛物线参数，写出抛物线方程.（2）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理、等差中项的性质及抛物线的定义求数列公差即可.21．【思路点拨】（1）由题设得()()10mxf x x x-'=>，讨论0m ≤、0m >时()'f x 的符号，进而判断()f x 的单调性，即可确定满足()f x 有两个零点的情况，结合零点存在性定理求m 的范围.（2）由题设若120x x >>易得1212ln ln x x m x x -=-，由()12121212ln ln 1x x f x x x x x x -'+=-+-应用分析法知：要证结论只需证11222ln101x x x x +->+，令121x t x =>，设()2ln 11t t t ϕ=+-+则应用导数证明()0t >φ即可.【解析】（1）已知函数()ln f x x mx =-有两个零点，()()110mxf x m x x x-'=-=>， ①当0m ≤时，0fx，则()f x 在0,上单调递增，至多有一个零点；②当0m >时，10x m<<时，0f x，则()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；1x m>时，0f x，则()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()f x 在1x m =处取得最大值，即有1ln 10f m m ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭得：10m e <<，此时，有2111e m m>>>，而()10f m =-<，2112ln 0f m m m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可知，()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和211,m m ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点． 综上所述，m 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）∵1x ，2x 是()f x 的两个零点，不妨设120x x >>， ∴11ln 0x mx -=①，22ln 0x mx -=②， ①-②得：1212ln ln x x mx mx -=-，即有1212ln ln x x m x x -=-，由()1f x m x'=-，有()1212121212ln ln 11x x f x x m x x x x x x -'+=-=-++-， ∴要证()120f x x '+<，即证121212ln ln 1x x x x x x ->-+，即证121212ln ln x x x x x x -->+，即证1121221ln 01-->+x x x x x x ，即证11222ln 101x x x x +->+， 令121x t x =>，设()2ln 11t t t ϕ=+-+，()()22101t t t t ϕ+'=>+， ∴()t ϕ在1t >时单调递增，则()()10t ϕϕ>=，即()120f x x '+<得证． 【名师指导】关键点点睛：（1）分类讨论思想，利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理及已知零点的个数求参数范围；（2）利用分析法，将所要证的不等式转化为证明函数不等式恒成立即可. 22．【思路点拨】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系以及直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【解析】解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，化简得曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）联立直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程得：()()22cos 32sin 3t t αα++=，化简得()2212sin 12sin 90t t αα+++=，则12212sin 12sin t t αα+=-+，1229012sin t t α=>+， 且()22144sin 3612sin 0αα∆=-+>，22sin 10α->，则有sin 2α⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，则12212sin 12sin PA PB t t αα+=+=+，令sin 2m α⎛⎤=∈ ⎥ ⎝⎦，有1212PA PB m m⎡+=∈⎣+， 所以PA PB +的取值范围为⎡⎣.【名师指导】关键点点睛：由直线l 的参数方程与P 点坐标知，PA PB +可利用t 的几何意义求解.23．【思路点拨】（1）根据绝对值三角不等式进行求解即可；（2）根据余弦函数的值域性质，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【解析】解：（1）由已知可得()()()11111222y f x g x x x x x ⎛⎫=+=-+----= ⎪⎝⎭≥， 当且仅当()1102x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤即112x ≤≤时等号成立，所以函数()()y f x g x =+的最小值为12. （2）因为cos 1θ≤， 所以由已知15sin cos 122θθ-+->，原不等式可化为13sin cos 22θθ-->， 当1sin 2θ≥时，即5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，原不等式化为sin cos 2)24πθθθ->⇒->，)4πθ-≤，所以此时无解，当1sin 2θ<时，50,,266ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，原不等式化为sin cos 1θθ+<-，即sin 42πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以57444πππθ<+<，32ππθ<<， 综上所述，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为原不等式的解集.。
河南省开封高级中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
河南省开封高级中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．92．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A ．33B ．23C ．22D ．13．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．354．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．65．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π6．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．7．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43 C ．32D ．28．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ）A ．18-B ．18C ．2-D ．210．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．811．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．3C ．2D ．7212．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省开封市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
河南省开封市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1． 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．215【答案】B 【解析】 【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221P =. 故选：B. 【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.3．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角. 【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而22cos ,2||||||a ba b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 5．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 6．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴5PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ,,a b c C ．222,,a b c 依次成等差数列 D ．333,,a b c 依次成等差数列【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin BB A C=，由正弦定理可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果. 【详解】111,,tan tan tan A B CQ依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B BA CB AC A C A C B +∴+==， 2sin 2cos sin sin BB A C=正弦定理得22cos a B b =， 由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．8．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x xx =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 9．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．10．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数， 所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ，若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=，而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增，故C 错误. 525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.11．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 12．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题答案
所以
f f
(1) ae (1) 2ae
b
e 1
1 2e
1
……3
分
解得 a 1,b 1 ……5 分
（2）由 f (x) mx 得： xex ln x 1 mx x 0 ，即 m xex ln x 1 ，
联立曲线
C1
和
C2
极坐标方程
2 3 cos 2 sin
得：
交点
A
的极坐标为
3,
3
，化为直角坐标为
3 2
,
3 2
.……5
分
（2）连结
OA
，由（1）
A
点极坐标
3,
3
可得：
OA
3，AOx ， 3
将直线 与曲线 C1 和 C2 联立可得 B 2sin, ,C 2 3 cos, .
x
令 ( x)
xex
ln x
x
1
，则 ( x)
x2ex x2
ln
x
，……6
分
令 h(x) x2ex ln x ， h(x) 在 (0, ) 单调递增，
h
1 e
1 e2
1
ee
1
e2 e2
1
0 ， h1
e
0
， h(x)
在 (1 ,1) 存在零点 e
x0
，
即 h(x0 ) x02ex0 ln x0 0 ，……8 分
16. 3 ，3 3 （本题第一空 3 分，第二空 2 分） 22
17.解：（1）由
n
an1
2an
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河南开封高中
2009— 2010学年上期高三第三次调研
数学试题
本试卷满分150分，时间120分钟.
一、选择题(每小题只有一个答案正确，每小题 5分，共60分)
1. 已知集合 M={yy x 2
2x 3,X R }，集合 N={』y 2
3}，则 M N
( )
A . {
yy 4} B . {
y 1 y 5}
C {
y 4 y 1}
D .
2. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
( )
A. (M P) S
B. (M P) S
C. ( M P ) (C U S )
D.
(M P ) (C U S )
3 .若函
数f (x)是定义在 R 上的偶函数，在 ( (
) B . (2,)
( )
B. y=2x+3 x (0,
)
1 D . y==
3x
C, B=60°是A 、B 、C 的大小成等差数列的( )
f (x)
0的x 的取值范围是
A . ( ,2)
C (
- 2)
(2,
) D . (- 2, 2)
4. 下列函数中，值域是 R +的是
f
A . y= x 2 3x 1 C. y=x +x+1
6.设偶函数f (x )的定义域为 R ,当x ［0, f (-3)的大小关系是
A . f ( ) >f (-3) C f (
) <f (-3) 7 . a=log 0 . 70 .
8,b=log 1 . A . a<b<c
>f (-2) <f (-2)
10 . 9,C=1 . 10. 9
,那么 B . a<c<b
(
)
B . f (
) >f (-2) >f (-3)
D . f ( ) <f (-2) <f (-3)
( )
8.在等差数列｛a n ｝中，若 a 2+a 6+a 10+a 14=20,贝U a 8=
,0］上是减函数，且 f(2)
0,则使得
5. 已知 ABC 的三个内角分别是 A 、B 、
A .充分非必要条件 C.充要条件
］时f (x )是增函数，则f (-2) ,f ()
C. b<a<c D . C<a<b ( )
B.必要非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
9. 在图中，二次函数y= ax2+ bx与指数函数y=（—）x的图象只可为（
10. 若数列｛a n｝由a i=2,a n+i=a n+2n (n
A. 9900
B. 9902
11. 若关于x 的方程x2-x+a=0 和^-x+b=0 (a b) 则
a+b的值为
3 11
A. B. C.
8 24
12. ax2+ 2x+ 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是
A. 0v a< 1
B. a v 1
C.
、填空题（每小题5分，共20 分）
13. ___________________________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9 的值为_________________________ 。
14 .函数y=a x+b （a>0且a 1）的图象经过点（1, 7）,其反函数的图象经过点（4, 0）, 则a b=
_______________ 。
15.对于x € R,不等式（a —2 ）x 2—2 （a-2 ）x - 4 v0恒成立，则a的取值范围是。
16 .函数y = （log 1x）2—log 1x2+ 5 在2$w 4寸的值域为_______________ .
4 4
三、解答题（本大题共70 分）
2x2 3x 1 x2 2x5
A. 10
B. 5
C. 2. 5
D. 1 . 25
1）确定，贝U a i00的值为
C. 9904
D. 9906
1
的四个根可以组成首项为一的等差数列,
4
( )
1331
— D.-
2472
( )
a< 1D. 0 v a< 1 或a v 0
17. （本题10分）设0<a<1，解关于x的不等式a >a
18.
（本题 12 分）求 g 、27 lg 8 lg 71°°0 J 5 2 0 o
027 3 （ I ） 2 的值
^ig o.3 lg 2
3
19. (本题12分)已知函数f (x ) =log a
(1 )求f (x )的定义域； (2)判断并证明f (x )的奇偶性。
20.
(本题12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份
0. 20
元，卖出的价格是每份 0. 30元，卖不掉的报纸可以以每份 0. 05元的价格退回报社。
在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250 份，但每
天从报社买进的份数必须相同，
这个推主每天从报社买进多少份，
才能使每月
所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
21. (本题12分)已知数列｛a n ｝的前n 项和为Sn=n 2+C (C 为常数)，求数列｛a n ｝的通项公式, 并判
1 x /
c
（a 0-
a 1）
.
断｛a n｝是不是等差数列。
22. (本题12分)设函数y f(x)是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：(1)对
正数x、y 都有f(xy) f (x) f (y) ；(2)当x 1 时，f(x) 0 ；(3)f(3) 1。
则
1
(I)求f(1)和f(&的值；
(n)如果不等式f(x) f(2 x) 2成立，求x的取值范围.
(川)如果存在正数k,使不等式f (kx) f (2 x) 2有解，求正数k的取值范围.
参考答案
解答题
3(|g 3 2|g 2 1)
+101=104 lg3 2lg 2 1
1 X
19.
解：(1 )••• 0，二-1<X <1,即 f ( x )的定义域为(-1, 1)。
1 X
1 X
1 X 、/
(2)••• X (-1,1 )且 f ( -X ) =log a
log a
f (X ),
f (X )为奇函数。
1 X
1 X
20. 解：设这个摊主每天从报社买进 X 份报纸，每月所获的利润为
y 元，则由题意可知
250 X 400,且 y=0 . 3 X X X 20+0. 3 X 250 X 10+0 . 05 x( X -250 ) X 10-0 . 2 X X X 30=0. 5x+625。
•••函数f (x )在[250, 400]上单调递增，.••当 X =400时，y 最大=825，即摊主每天从报 社买进400份报纸可获得最大利润，最大利润为
825元。
21. 解：当 n=1 时，a 1=S=1+c
当 n 2 时，a n =S-3-1= (n 2+c ) -[ (n 2+c ) ]-[ (n-1) 2+C]=2n-1。
c 1 n 1 • • a n =
2n 1
n 2
若 C=0,外=2n-1,此时 a n -a n-1=2 (n 2 ) {a n }为等差数列。
若C 0,C+1 1,{a n }不为等差数列。
22.解:(I
)令X y 1 易得 f(1) 0 .而 f (9) f (3)
f (3) 1 1 2
且 f(9) 1
f (9)
f(1) 0，得f 』)2 . 9
X 2 X 2 (n)设
0 X 1 X 2
，由条件(1)可得f(X 2)
f(X 1) f ()，因
1,由(2)
X 1
X 1
13. 27 14. 64 15. 2 a
17. 18. 解：T 0<a<2,「. y=a x 在(-,+
二 2X 2-3X +1<X 2+2X -5,解得 2<x<3,
3
3
Jg3 3lg2 -
解：•••原式 2 -------------------- -
1
2(ig3 1) ig2
)上为减函数，••• +1+100 2x 2 3x 1
x 2 2x 5
a >a
6^+1 + 100
lg3 2lg 2 1
x
知^ 2)
0，所以f(X 2)f(X 1)，即f(x)在R 上是递减的函数.
X 1
1
由条件(1 )及(I )的结果得：f[x(2
x)] f (9)其中
1
x(2 x)max 1,故k
即为所求范围.
9
的递减性，可得：
0 x x(2 x)
9，由此解得x 的范围是
2
（
1 2.2
晋）-
（出）
同上理，不等式 f(kx) f(2 x) 2可化为kx(2
x ）
1
硕亍，此不等式有解，等价于k 9x(2 x)
，在0 min
x 2的范围内,
0 x 2,由函数f (x)在R 上
易知。