分块矩阵
合集下载
§4 矩阵的分块运算
下页
返回
3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
上页
下页
返回
1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
上页
下页
返回
1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
上页 下页 返回
一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
§2.4 分块矩阵
17 17
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
线性代数3-4分块矩阵
B21
E
B22
B11
A1 B11
B21
E
A1
B22
.
又A1B11
B21
1
1
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
2 4
1
1 ,
1 2 4 1 3 3
A1
B22
1
1 2 0 3 1 ,
1
1 0 1
1 1 2 0
则
E
AB
A1
O B11
E
B21
E
B22
B11 A1B11
B21
E
A1
B22
.
4、转置
设分块矩阵
A
A11 A21
A12 A22
Ap1
Ap2
A1t
A2t
,
则
Apt
22 , 31,52 22 ,43,52 20 1,3 ,2 20 1,2 ,3
20 A 100.
解法二：
1 3 0 1 3 0
B 1,2 ,3 2 0 5 A2 0 5
0 4 0 0 4 0
说明: 1.当左边分块矩阵的列的分块方法和右边分块矩阵的分 块方法相同时, 两个分块矩阵才可以相乘.
2.两个分块矩阵的乘积仍是分块矩阵,并且乘积分块矩 阵的行数等于左边分块矩阵的行数, 乘积分块矩阵的列 数等于右边分块矩阵的列数.
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
2.3 分块矩阵
(3) 按行分块
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
9/24
的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
10/24
2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
9/24
的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
10/24
2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A1 B22 E
0 1 3 1
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程 更简单，计算量更少。
例1的计算量比较：
直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112
用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算： 2 2 (2 1) 12 子块运算： 2 2 (2 1) 2 2 2 20
2、矩阵分块一般形式
矩阵A = ( aij )m×n，在行方向分s块，列方向分t块，
称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩
阵。
A11 A21 A A s1 A12 A22 As 2 A1t m1 A2t m 2 Ast ms
初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个
合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵
T T A11 A1r A A s 1 11 T T T A , 则 A ( A ) . A A AT AT sr s1 sr 1r
1 1 2 3 1 1 X 2 2 2 3 5 3
解：对增广矩阵( A, B )进行初等行变换
1 1 2 3 ( A, B ) 1 1 2 2 2 3 5 3
则 AB A(1, 2 ,, t )
( A1, A2 ,, At )
说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组
Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt
其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt ) 例3. 求解下列矩阵方程
r2+r1 r3-2r1
1 1 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 1 1 0 0 0
r3+r2 -r2 r1-2r2
1 于是方程组Ax1 = b1有解 x1 1 3 当且仅当λ= 0 时，Ax2 = b2有解 x2 1
各子块行数
m
k 1
s
k
m
n1
n2
nt
各子块列数
n
l 1
t
l
n
说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依 据问题需要，子块可以作元素运算。
一、分块矩阵的运算规则
1、分块加法 设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将 A、B分块如下：
A11 A21 A A s1 A12 A22 As 2 A1t A2t Ast B11 B21 B B s1 B12 B22 Bs 2 B1t B2t Bst
E B22
A1 B22 E
1 2 1 0 1 0 又 A1B11 B21 1 1 1 2 1 1
3 4 1 0 2 4 0 2 1 1 1 1
AA E A11 A12 X 1 X 2 1 AA X X A 3 4 22 A11 X 1 A12 X 3 A11 X 2 A12 X 4 E 0 A X A X 22 3 22 4
1 0 0 1 4 1 2 0
0 1 1 2 B 1 0 1 1
B11 E B21 B22
E O B 11 则 AB A E B 1 21
B11 AB B 21 1 11
所以矩阵方程AX = B 在参数λ= 0 时，有解：
1 3 X ( x1 , x2 ) 1 1
说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵 方程AX = B 的 t 个线性方程组同时进行求解。
4. 矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块 （1）设矩阵A是s×n 矩阵，X 是n×1矩阵：
我们将表达式 x11 x2 2 xn n 称为向量 1 , 2 , , n 的线性组合， x1, x2 , , xn 称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块
方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x2 2 xn n b
a11 a21 A a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
x1 x2 X x n
将A按列分块，即 A (1, 2 , , n ) x1 x2 则 AX (1 , 2 , , n ) x11 x2 2 xn n x n
则定义 A B Akl Bkl st
注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。
2、分块数乘
设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kAkl st
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵， B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
分块矩阵
矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。
一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子
1、矩阵分块的方法 在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 a 例如 A 1 0 0 1 B1 B2 , B 3
例2. 求下列2阶分块逆矩阵
A11 (1) A (2) B B 21
1
A12 其中A11， A22可逆矩阵 A22 B12 其中B12， B21可逆矩阵 B22 X2 X4
解(1) ：设A的分块逆矩阵为
X1 A X 3
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A1 A2 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则 Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
（2）设矩阵A是s×n 矩阵，B 是n×t 矩阵，将A
按列分块，则
b11 b12 b1t b21 b22 b2t AB (1 , 2 , , n ) b b b nt n1 n 2
(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）
1 22
2. 分块对角矩阵
设A1, A2, … , As均为方阵（不一定同阶），则称 下面的A为分块对角矩阵
A1 A
A2
As
如果矩阵A1, A2, … , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为
( bi1 i , , bit i )
i 1 i 1
n
n
即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。
例4. 设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若
A x Ax 6x, B ( x, Ax)
2
求矩阵C，使得AB = BC。
（见教材P69例2.15）
§2.4 矩阵的秩
0 0 0 0 b 1 1 b
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0 即 A 0 0 B1 B2 B 3
1 a 1 1
0 0 1 1
0 0 b b
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A O a b 0 1 0 1 , 其中O B E A 1 1 0 0 b a 1 E B b
A11 X 1 A12 X 3 E A X A X 0 11 2 12 4 得到4个矩阵方程组 A22 X 3 0 A22 X 4 E
1
0 E
求解该方程组，得
X4 A X3 0 T X 1 A11 1 1 X 2 A11 A12 A22
1 0 4 2 0 1 1 0
解：把A, B分块成
1 1 0 0 A A 1 1
0 0 1 1 2 1
0 00 0 0 0 00 E O , A1 E 1 00 1 0 1 0 1
Cuw Auv Bvw
v 1
r
(u 1,, s; w 1,, t )
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw Auv Bvw
v 1
r
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 Auv Bvw 例1. 用分块矩阵法求AB
1 0 A 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 B 0 1 0 1 1 1
1 2 4 1 3 3 A1 B22 3 1 1 1 2 0