中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第六章圆第讲与圆有关的计算权威预测12(1)

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中考数学一轮复习宝典第1部分第6章课题21 与圆有关的位置关系

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点与圆、直线与圆的位置关系
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是相交．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．
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练习 1－1 ⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝3cm，则
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练习 4－1 (2019 荆门)如图，△ABC 的内心为 I，连接 AI 并延长，交 △ABC 的外接圆于点 D，则线段 DI 与 DB 的关系是( A )
A．DI＝DB C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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命题点切线及其性质
1．(2013，T7，3分)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线
EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AG＝BG
B．AB∥EF
C．AD∥BC
D．∠ABC＝∠ADC
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2．(2012，T8，3分)如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
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证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE.∴∠1＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴ ∠A＝∠1.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠2＋∠A＝90°.∵∠2＝ ∠3，∴∠3＋∠A＝90°.∴∠3＝∠ACE.∴EC＝ED.
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切线的判定
线或角平分线，根据“三已知OA＝OB，AC＝BC，证明

初中-数学-中考-一轮复习-第1篇第6章 6.1 课件

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
(4)在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等．
方法点拨：(1)根据垂径定理与推论可知，对于一个圆和一条直线来说，如果具备以下五个条件中的任何两个条件，那么就可推出其他三个结论：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．(2)过圆心作弦(不是直径)的垂线段，并连接圆心和弦的一个端点(即半径)，则由 “弦的一半、表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形．
易错提示：(1)优弧所对的圆周角是钝角；劣弧所对的圆周角是锐角；(2)一条弧所对的圆周角有无数个，所对的圆心角只有一个．
2．圆周角定理的推论如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，且 CD⊥AB．
文字描述
数学符号
作用
(1)∠A 和⑳__∠__D____是B︵C 所对的
推在同圆或等圆中，同弧圆周角，则∠A＝○21 __∠___D___；
︵︵ (1) AD ＝BC ； (2)AE＝CE.
︵︵︵︵︵︵︵︵证明：(1)∵AB＝CD，∴AB ＝CD ，即AD ＋AC ＝BC ＋AC ，∴AD ＝BC .
︵ (2)∵AD
︵＝BC
，∴AD＝BC．又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE
≌△CBE(ASA)，∴AE＝CE.
︵︵ ∠AOB＝∠COD，则AB ＝CD ，AB＝CD，OM＝ON.
2．圆心角定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
考点三垂径定理
1．垂径定理

中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第六章圆第讲权威预测15

第一部分第六章第24讲1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)连接BC ，若∠BCF ＝30°，BF ＝2，求CD 的长．(1)证明：连接OD ，如答图，答图∵CF 是⊙O 的切线，∴∠OCF ＝90°，∴∠OCD ＋∠DCF ＝90°.∵直径AB ⊥弦CD ，∴CE ＝ED ，即OF 为CD 的垂直平分线，∴CF ＝DF ，∴∠CDF ＝∠DCF . ∵OC ＝OD ，∴∠CDO ＝∠OCD ，∴∠CDO ＋∠CDF ＝∠OCD ＋∠DCF ＝90°，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线．(2)解：连接BC ，∵∠OCF ＝90°，∠BCF ＝30°，∴∠OCB ＝60°.∵OC ＝OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴∠COB ＝60°，∴∠CFO ＝30°，∴FO ＝2OC ＝2OB ，∴FB ＝OB ＝OC ＝2.在Rt △OCE 中，∵∠CEO ＝90°，∠COE ＝60°，∴sin ∠COE ＝CE OC ＝32，∴CE ＝3， ∴CD ＝2CE ＝2 3.2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D作⊙O 的切线，交BC 于点E .(1)求证：BE ＝EC ；(2)若∠B ＝30°，AC ＝23，求DB 的长．(1)证明：如答图，连接DO ，CD ，答图∵∠ACB ＝90°，AC 为⊙O 的直径，∴EC 为⊙O 的切线．又∵ED 为⊙O 的切线，∴EC ＝ED ．又∵∠EDO ＝90°，∴∠BDE ＋∠ADO ＝90°，∴∠BDE ＋∠A ＝90°.又∵∠B ＋∠A ＝90°，∴∠BDE ＝∠B ，∴BE ＝ED ，∴BE ＝EC ．(2)解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝23，∴AB ＝2AC ＝43，∴BC ＝AB 2－AC 2＝6.∵AC 为⊙O 的直径，∴∠BDC ＝∠ADC ＝90°.又∵∠B ＝30°，∴CD ＝12BC ＝3， ∴DB ＝CB 2－CD 2＝3 3.。

中考数学一轮复习宝典第1部分第6章课题22 与圆有关的计算

(2)已知扇形的弧长为 4π，半径为 48，则此扇形的圆心角为 15° ； (3)一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm，则此扇形的面积是 6π cm2.
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练习 1－2 (2019 大庆)如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB＝1，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 180°至正方形 AB1C1D1，则线段 CD 扫过的面积为( B )
绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O ，B 的对应点分别为 O ′，B ′，连接 B B ′，
则图中阴影部分的面积是( C ) A ．23π
B ．2 3－π3
C ．2 3－23π
D ．4 3－23π
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3．(2019，T14，3 分)如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝120°，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC⊥OA.若 OA＝2 3，则阴影部分的面积为 π＋ 3 .
的中点，CE⊥OA 交A︵B于点 E.以点 O 为圆心，OC 的长为半径作C︵D交 OB
于点 D.若 OA＝2，则阴影部分的面积为
1π2＋
3 2
.
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6．(2014，T14，3 分)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝1，∠DAB＝60°. 把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30°得到菱形 AB′C′D′，其中点 C 的运动路径为C︵C′，则图中阴影部分的面积为 π4＋32－ 3 .
1．已知 S，l，n，R 四个量中的任意两个，都可以利用 S＝n3π6R02，S＝
1 2lR
和
l＝n1π8R0 求出另外两个量
链接练习 1－1.
2．弧长公式可用来求点通过旋转、翻滚等运动后所经过的路径长；扇

2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质

3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.

河北中考数学一轮复习第六章圆课件

三角形的外心到三角形⑫
的距离相等.
三角形的内心到三角形⑬
的理及其推论
例 [2019广西贵港]如图,AD是☉O的直径,
,若
∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是 ( B )
A.40°
B.50°
圆
圆心角圆周角
弦圆弧
在同一平面内,一条线段绕着它固定的一个端
点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.
圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组
成的图形.
顶点在① 圆圆心心的角叫做圆心角,如∠AOB.
顶点在圆上,并且② 两边都与圆相交的角
叫做圆周角,如∠ACB.
连接圆上任意两点的③线段叫做弦,如弦BC. 经过圆心的弦叫做④ 直直径径 ,如AC.
考点2 垂径定理及其推论
1.垂径定理: 垂直于弦的直径⑦ 平平分分弦,并且⑧ 平平分分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的推论: 平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 3.延伸 (1)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
的弦是⑱ 直直径径 .
,90°的圆周角所对
方法指导
有关直径的问题,常通过构造直径所对的圆周角来进行证明或计算.
考点5 圆内接四边形的概念和性质
顶点在圆上,并且② 两边都与圆相交的角叫做圆周角,如∠ACB.
圆锥的高、底面圆的半径和母线长之间的关系:h2+r2=⑥
;
(2)弦心距:在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以便利用垂径定理或三角函数;
得分速记
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么
它们所对应的其余各组量都分别相等.

中考数学一轮优化复习第一部分教材同步复习第六章圆第24讲圆的相关概念及性质课件

第 4 页12/9/2021
知识点二圆周角定理及其推论
• 1．定理
内容一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的①___一__半_____
圆心在圆周情况
角的一条边上
圆心在圆周角内部
圆心在圆周角外部
图形
结论
第 5 页12/9/2021
∠APB＝②____12_∠__A_O_B_______
【易错警示】由于圆中一条弦对应两段弧，故若题干中并未明确弦对应哪段弧，而要求圆中一段弦对应的圆周角的度数时，就要分情况讨论，图形如下：
• ∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°.
• ∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°.
• 又∵∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠DBC＝∠CBA－∠ABD＝ 15°. 第 14 页12/9/2021
☞ 方法指导
• (1)图中通常将圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，常用公式为：同弧(或等弧)所对的圆周角等于圆心角的一半．
第 3 页12/9/2021
• 2．圆的有关性质 • (1)轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条⑤
_____直_径____所在的直线都是圆的对称轴． • (2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中
心是⑥_圆_心________. • (3)圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋
转⑦___任_意______角度，都能与原来的图形重合．
知识点三弧、弦、圆心角的关系
• 1．定理 • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧① 相等__________，所对的弦也②_____相_等____. • 2．推论 • (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所
对的圆心角③__相_等_______，所对的弦也④ _____相_等____. • (2)在同圆或等圆中，如果两条弦⑤____相_等_____，那么它们所对的圆心角⑥____相_等_____，所对的弧也相等．

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》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
∴ DE 是⊙ O 的切线．
(2)解：设⊙ O 的半径为 x，则 OB＝OD ＝ x，
在 Rt△ ODE 中， OE ＝ 4＋ x，∠ E＝ 30°，
x1 ∴ x＋ 4＝ 2，解得 x＝ 4，
1 ∴ DE＝ 4 3，∴ S△ ODE＝ 2× 4× 4 3＝ 8 3，
π A． 2
π B． 3
π C．
4
π D．
6
3．如图，在等腰△ ABC 中， AB＝BC，以 AB 为直径的⊙ O 与 AC 相交于点 D，过点 D 作 DE ⊥ BC 交 AB 的延长线于点 E，垂足为点 F.
(1)证明： DE 是⊙ O 的切线；︵
(2)若 BE＝ 4，∠ E＝ 30°，求由 BD 、线段 BE 和线段 DE 所围成图形 (阴影部分 )的面积． (1)证明：连接 BD， OD ， ∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ BDA ＝ 90° . ∵ AB＝ BC，∴∠ A＝∠ C．又∵ AO ＝DO ，∴ OD ∥ BC， ∴∠ A＝∠ ODA ，∴∠ C＝∠ ODA ， ∵ DE⊥ BC，∴ OD ⊥ DE ，
60·π·42 8π
∴ S 扇形 ODB ＝
360
＝， 3
8π 则 S 阴影＝ S△ ODE－ S 扇形 ODB＝8 3－ 3 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
第一部分第六章第 25 讲
9 1．圆的面积为 4π，则 60°的圆心角所对的弧长是 ( B )
3 A．2
π B． 2
6 C． 2
π D．4
2．如图，以 AD ＝ 2 为直径的半圆⊙ O 中， B， E 是半圆弧的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ( D )

中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第六章圆第讲与圆有关的计算权威预测12(1)

中考数学一轮复习宝典第1部分 第6章 课题21 与圆有关的位置关系

最新中考数学高分一轮复习教材同步复习第六章圆课时24与圆有关的计算权威预测(考试必备)

初中-数学-中考-一轮复习-第1篇 第6章 6.1 课件