潍坊市昌邑市2015届中考学业水平考试数学试卷含答案解析

2015年山东省潍坊市昌邑市九年级学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分．）1．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．2．（）2的算术平方根是（）A．4 B．±4 C．﹣4 D．163．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．4．据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元．若将3875.5亿用科学记数法表示为3.8755×10n，则n等于（）A．10 B．11 C．12 D．135．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．6．小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是（）A．22℃ B．23℃ C．24℃ D．25℃7．下列各式计算正确的是（）A．+= B．2+=2C．3﹣=2D．=﹣8．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A ．x ≥B ．x ≤3C ．x ≤D ．x ≥39．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．若方程组的解是，则方程组的解为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知直线y=kx （k ＞0）与双曲线y=交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣9C ．0D ．912．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．B ．5cmC ．D ．7cm二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）13．分解因式：8（a2+1）+16a=．14．一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们众数为1，则这组数据的平均数为．15．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为．16．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），那么代数式a2﹣a+2014的值为．17．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C 落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm．18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=．三、解答题（本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）19．我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．20．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=；sin2A2+sin2B2=；sin2A3+sin2B3=．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？23．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．2015年山东省潍坊市昌邑市九年级学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分．）1．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】常规题型．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2．（）2的算术平方根是（）A．4 B．±4 C．﹣4 D．16【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根定义求出即可．【解答】解：（）2的算术平方根是4，故选A【点评】本题考查了算术平方根的应用，关键是根据算术平方根定义解答．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元．若将3875.5亿用科学记数法表示为3.8755×10n，则n等于（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3875.5亿=3875 5000 0000=3.8755×1011，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围．【专题】计算题．【分析】函数y=有意义，则分母必须满足，解得出x的取值范围，在数轴上表示出即可；【解答】解：∵函数y=有意义，∴分母必须满足，解得，，∴x＞1；故选B．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是（）A．22℃ B．23℃ C．24℃ D．25℃【考点】中位数．【专题】图表型．【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可．【解答】解：将数据从小到大排列为：21，22，22，23，24，24，25，中位数是23．故选：B．【点评】本题考查了中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．7．下列各式计算正确的是（）A．+= B．2+=2C．3﹣=2D．=﹣【考点】二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A 、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；C 、3﹣=（3﹣1）=2，故本选项正确；D 、与不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选C ．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．8．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ≥ax+4的解集为（ ）A ．x ≥B ．x ≤3C ．x ≤D ．x ≥3 【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】将点A （m ，3）代入y=2x 得到A 的坐标，再根据图形得到不等式的解集． 【解答】解：将点A （m ，3）代入y=2x 得，2m=3，解得，m=，∴点A 的坐标为（，3），∴由图可知，不等式2x ≥ax+4的解集为x ≥． 故选：A ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论．9．如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】几何图形问题．【分析】过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A ，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出∠A 的正切值．【解答】解：过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ， ∵OB=5，OD=3， ∴BD=4，∵∠A=∠BOC ， ∴∠A=∠BOD ，∴tanA=tan ∠BOD==，故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点．10．若方程组的解是，则方程组的解为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二元一次方程组的解．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】根据已知方程组的解，确定出所求方程组的解即可．【解答】解：由题意得：所求方程组的解为，解得：，故选C【点评】此题考查了二元一次方程组的解，弄清已知方程组与所求方程组的共同特征是解本题的关键．11．已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）A．﹣6 B．﹣9 C．0 D．9【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】探究型．【分析】先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=上的点可得出x1•y1=x2•y2=3，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=上的点∴x1•y1=x2•y2=3①，∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2②，∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此题的关键．12．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．B．5cm C．D．7cm【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P 中，根据勾股定理求出AP的长．【解答】解：侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC′=3cm，∵PC′=BC′，∴PC′=×6=4cm，在Rt△ACP中，AP2=AC′2+CP2，∴AP==5．故选B．【点评】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）13．分解因式：8（a2+1）+16a=8（a+1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】直接提取公因式8，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：8（a2+1）+16a=8（a2+1+2a）=8（a+1）2．故答案为：8（a+1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．14．一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们众数为1，则这组数据的平均数为．【考点】众数；算术平均数．【分析】根据众数为1，求出a的值，然后根据平均数的概念求解．【解答】解：∵众数为1，∴a=1，∴平均数为：=．故答案为：．【点评】本题考查了众数和平均数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．15．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为4π．【考点】扇形面积的计算．【专题】推理填空题．【分析】由题意和图形可得，阴影部分的面积等于△ABD的面积与扇形ABE和扇形DMF的差，而两个扇形的半径相等，所对的圆心角的和等于90°，从而可以把两个扇形合在一起正好是四分之一个圆，然后计算出它们的面积作差，本题得以解决．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5π，∴∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，BC=AD=5π，∴，∵以B ，D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧分别交对角线BD 于点E ，F ，以B ，D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧分别交对角线BD 于点E ，F ，∴S 扇形ABE +S 扇形DMF =，∴S 阴影AEMF =S △ABD ﹣S 扇形ABE ﹣S 扇形DMF =20π﹣16π=4π， 故答案为：4π．【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是明确题意，利用数形结合和转化的数学思想，来解答本题．16．已知抛物线y=x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（a ，0），那么代数式a 2﹣a+2014的值为 2015 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到a 2﹣a ﹣1=0，则a 2﹣a=1，然后利用整体代入的方法求代数式a 2﹣a+2014的值．【解答】解：∵抛物线y=x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（a ，0）， ∴a 2﹣a ﹣1=0， ∴a 2﹣a=1，∴a 2﹣a+2014=1+2014=2015． 故答案为2015．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．会利用整体代入的方法计算．17．如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 12 cm ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AF=x，则DF=6﹣x，由折叠的性质可知：EF=DF=6﹣x，在Rt△AFE，由勾股定理可求得：x=，然后再证明△FAE∽△EBG，从而可求得BG=4，接下来在Rt△EBG中，由勾股定理可知：EG=5，从而可求得△EBG的周长为12cm．【解答】解：设AF=x，则DF=6﹣x，由折叠的性质可知：EF=DF=6﹣x．在Rt△AFE，由勾股定理可知：EF2=AF2+AE2，即（6﹣x）2=x2+32，解得：x=．∵∠FEG=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°．又∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠AEF=∠BGE．又∵∠EAF=∠EBG，∴△FAE∽△EBG．∴，即．∴BG=4．在Rt△EBG中，由勾股定理可知：EG===5．所以△EBG的周长=3+4+5=12cm．【点评】本题主要考查的是折叠的性质、勾股定理、相似三角形的综合应用，利用勾股定理求得AF 的长是解题的关键．18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=2．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．三、解答题（本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）19．我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法．【专题】图表型．【分析】（1）根据C类有12人，占24%，据此即可求得总人数，然后利用总人数乘以对应的比例即可求得E类的人数；（2）利用列举法即可求解．【解答】解：（1）该班总人数是：12÷24%=50（人），则E类人数是：50×10%=5（人），A类人数为：50﹣（7+12+9+5）=17（人）．补全频数分布直方图如下：；（2）画树状图如下：，或列表如下：共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，则概率是：=．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=1；sin2A2+sin2B2=1；sin2A3+sin2B3=1．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．【考点】勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．【专题】几何综合题；规律型．【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=，进行求解．【解答】解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．∵sinA=，sinB=，∴sin2A+sin2B=，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1．（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴sinB==．【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理的应用．【分析】（1）连接CD交AE于F，根据平行四边形的性质得到CF=DP，OF=PF，根据题意得到AF=EF，又CF=DP，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）根据题意计算出OC、OP的长，根据勾股定理求出AC、CE，根据平行四边形的周长公式计算即可．【解答】（1）证明：连接CD交AE于F，∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF=DP，OF=PF，∵PE=AO，∴AF=EF，又CF=DP，∴四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP=，OC=3，则OE=，由勾股定理得，AC==3，CE==，∵四边形ADEC为平行四边形，∴周长为（3+）×2=6+．【点评】本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用．22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【专题】行程问题．【分析】（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，（20﹣3a）（8﹣2a）=56解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．23．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．【考点】圆的综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可．【解答】解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：连接AC，过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，∵=cosB，AB=5，∴BQ=4，AN=QC=BC﹣BQ=4．∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，又∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．即∠AEG≠∠GAE∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE 的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．。