正弦函数、余弦函数的性质-课件ppt
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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(教学课件)正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性)
当 = −1时，sin − 2π = sin.
知识梳理
知识点一：
1.函数的周期性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T，使得
对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周
期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个
方法二（公式法）
1
= 中 = , 所以
2
2
2
=
= 4
1
2
学以致用
反思感悟
求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常
2π
数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝|ω|. （常用方法）
2 ；
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
π
x≠kπ＋ ，k∈Z
解 (1)定义域为 x
2
|
，关于原点对称．因为
f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
学以致用
3x 3π
＋
3x
(2)f(x)＝sin 4
针每经过1小时运行一周.分针、时针的转动是否具有周期性？
它们的周期分别是多少？
具有周期性
分针的周期是1小时，时针的周期是12小时。
新知引入
那么观察正弦函数的图像，是否也具有同样的周期性的规律呢？
= sin
《正弦、余弦函数图象》PPT课件
y
y=sinx (x∈R)
π
2π
1
− 2π − π-103π4π5π
6π
x
二、正弦函数的“五点画图法” 正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( 、
1
●
π
2
y
, 1)、( 、
●
π
3π ,0)、( 、 2
,-1)、 (2 π ,0) 、
0
π
2
π
●
3π 2
●
2π
●
x
-1
y 1
● ●
0 -1
π
2
π
●
3π 2
解：(1)按五个关键点列表 x sinx 1+sinx
y 2 1●
●
0 0 1
π
2
π
0 1
3π 2
2π
1 2
-1 0
0 1
y=1+sinx x ∈ [0, 2π ]
●
●
o
π
2
π
3π 2
●
2π
x
(2)按五个关键点列表 x cosx -cosx
y 1
0 1 -1
π
2
π
-1 1
3π 2
2π
0 0
0 0
y 2 1
y=1+sinx x∈[0, 2π ] o
π
2
π
-1 y 1
3π 2
y=sinx x∈[0, 2π ] y=cosx x∈ [0, 2π ]
2π
x
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
x
y=-cosx x∈ [0, 2π ]
正弦函数、余弦函数的性质17页PPT
Hale Waihona Puke xRy [1,1]
x2k 时， ymax 1
x2k时，ymin 1
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2 对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写 出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
16
17
单调性 奇偶性 周期性 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3
2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k
时， ymax
1
x
2
2k
时，ymin
1
x[-22k,22k] 增函数
x[22k,322k] 减函数
奇函数
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
y=cosx
y
1
0
2
3
2 5 x
2
2
-1
例2:比较下列各组数的大小：
(1)sin( )与sin( )
18
10
(2)cos(23 )与cos(17 )
5
4
例3：求函数 ysi1 nx()x , 2,2
23 的单调递增区间。
求函数 ysi n (1x)x , 2,2
32
的单调递增区间。
求函数 ycos2(x)
3
的单调递减区间。
谢谢！
具体做法：
(1)选择一个恰当的区间（这个区间的长为一个周期， 且仅有一个单增区间和一个单减区间）
x2k 时， ymax 1
x2k时，ymin 1
x [2k,2k] 增函数
x[2k,2k] 减函数
偶函数
2 对称轴： xk,kZ
对称中心：(2 k,0) k Z
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写 出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
16
17
单调性 奇偶性 周期性 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3
2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k
时， ymax
1
x
2
2k
时，ymin
1
x[-22k,22k] 增函数
x[22k,322k] 减函数
奇函数
2
对称轴：
x
2
k,
k
Z
对称中心： (k,0) kZ
y=cosx
y
1
0
2
3
2 5 x
2
2
-1
例2:比较下列各组数的大小：
(1)sin( )与sin( )
18
10
(2)cos(23 )与cos(17 )
5
4
例3：求函数 ysi1 nx()x , 2,2
23 的单调递增区间。
求函数 ysi n (1x)x , 2,2
32
的单调递增区间。
求函数 ycos2(x)
3
的单调递减区间。
谢谢！
具体做法：
(1)选择一个恰当的区间（这个区间的长为一个周期， 且仅有一个单增区间和一个单减区间）
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦函数、余弦函数的性质( 数学 优秀课件
解析：利用周期函数的定义，找到T，使得 思考：这些函数的周期跟解析式中哪些量有 f(x+T)=f(x) 关系？有什么关系？
课后思考
• 用几何画板y=Asin(wx+ψ)图像.gsp作 y=Asin(wx+ψ)的图像，探究该类函数的周 期。 • 试着发现：A、w、ψ分别决定了图像的什 么？
小结
正弦函数的性质：
sin(x 2k ) sin x
正弦函数的周期：2k (k z且k 0) 最小正周期： 2
性质3：单调性
在一个周期上（如[ ,
2
3
2
] ）考虑：
[
, ] 2 2
在
x
2
，sinx= 值。
x
2
或x
，sinx=-1，为最小
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
主讲人：黄凡
复习回顾
①正弦函数、余弦函数的图像是什么？
（物理中简谐运动的图像） （一波未平，一波又起—波涛汹涌）
②我们是如何得到正弦函数的图像的？ 几何画图法—单位圆中的正弦线 五点作图法—五个关键点确定形状
引入新课
• 一次函数与图像 • 指数函数与图像 • 对数函数与图像
利用周期性，不难得到：
正弦函数在每一个闭区间[ 2 2k , 2 2k ]( k z ) 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一 3 [ 2 k , 2k ]( k z ) 上都是减 个闭区间 2 2 函数，其值从1减小到-1.
3 正弦函数当且仅当 2 2k (k z)
• 1、周期性（最小正周期为 2 ） • 2、奇偶性（奇函数） • 3、单调性
余弦函数的性质：
课后思考
• 用几何画板y=Asin(wx+ψ)图像.gsp作 y=Asin(wx+ψ)的图像，探究该类函数的周 期。 • 试着发现：A、w、ψ分别决定了图像的什 么？
小结
正弦函数的性质：
sin(x 2k ) sin x
正弦函数的周期：2k (k z且k 0) 最小正周期： 2
性质3：单调性
在一个周期上（如[ ,
2
3
2
] ）考虑：
[
, ] 2 2
在
x
2
，sinx= 值。
x
2
或x
，sinx=-1，为最小
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
主讲人：黄凡
复习回顾
①正弦函数、余弦函数的图像是什么？
（物理中简谐运动的图像） （一波未平，一波又起—波涛汹涌）
②我们是如何得到正弦函数的图像的？ 几何画图法—单位圆中的正弦线 五点作图法—五个关键点确定形状
引入新课
• 一次函数与图像 • 指数函数与图像 • 对数函数与图像
利用周期性，不难得到：
正弦函数在每一个闭区间[ 2 2k , 2 2k ]( k z ) 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一 3 [ 2 k , 2k ]( k z ) 上都是减 个闭区间 2 2 函数，其值从1减小到-1.
3 正弦函数当且仅当 2 2k (k z)
• 1、周期性（最小正周期为 2 ） • 2、奇偶性（奇函数） • 3、单调性
余弦函数的性质：
正弦函数、余弦函数的图象和性质PPT课件.ppt
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2
5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
sin(2k +x)= sinx (k Z)
y y=sinx (xR)
1
2 0
-1
2 3 4 5
6 x
二、正弦函数的“五点画图法”
(2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2
1
0
1
y
2
●
y=1+sinx x [0, 2 ]
1●
●
●
●
o
3
2
x
2
2
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
cosx 1 0 -1 0 1
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、(
2
,0)、( ,-1)、( 3 2
,0)、(2, 1)
y
1●
●
o
●
●
3
2
正弦函数、余弦函数的性质 课件
类型二 三角函数奇偶性的判断
【典例】1.(沧州高一检测)函数f(x)= 的奇偶性为 ( )
sin2x2
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.判断函数f(x)=sin (3 x 3) 的奇偶性.
42
【审题路线图】1.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称 ⇒f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称⇒f(-x)与f(x)的 关系.
2
是偶函数,故选C.
2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=π,
所以 f( 5 π)＝f( 5 π－2π)＝f(－π )，
3
3
3
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以 f( 5 π)＝f(－π )＝f( π )＝sin π＝ 3 .
3
33
32
【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变,结果如何?
类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用
【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的
2
是( )
A.y=sin4x
C.y＝sin(4x＋π ) 2
B.y=cos 1 x
4
D.y＝cos( 1 x－π ) 42
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若
f(x)的最小正周期为π,且当x∈ [0，] 时,f(x)=sinx,
4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= ________. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6
5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是 ________函数.(填写奇或偶)
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2 cos x
作业
补充：求下列函数的最大值和最小值， 及相应的自变量x的集合；再求其对称轴 与对称中心.最后求出其单调区间.
1.y 3sin( 2x ), x R
4
2.y 3 cos( 1 x ), x R
2 26
定义域
正切函数y=tanx的定义域是:( k k 2
y
小结作业
2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是 确定图象形状、位置的关键要素,作图 时一般先找出这些点和线,再画正切曲 线.
3.研究正切函数问题时,一般先考察 ( , )的情形, 再拓展到整个定义域.
22
(2) y 2 sin( 2 3x)
3
例4 求函数 y sin(1 xx) ) ，
x∈[－2π，2π]的单调23递增23区间.
理论迁移
例例51 已求知下定列义函在数R的上周的期函：数f(x)满足 f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为 周期函数？
例6 已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2] 时，f(x)=x－2，求f(10)的值.
正弦函数、余弦函数的性质
作业讲解
补充：求下列函数的最大值和最小值， 及相应的自变量x的集合；再求其对称轴 与对称中心.最后求出其单调区间.
(1)y 1 1 cos x;(2)y 2sin(1 x )
23
23
理论迁移
例3 求下列函数的单调递增区间.
(1) y sin( 1 x ) 23
3
2
2
－π
0
2
π
3
2
x
探求新知
y
y1
5
2
3
2
2
－2π
－π x1
0
y2
x
22
π
3
2
x
奇偶性
正切函数是奇函数
单调性
正切函数在开区间 ( k k
2
都是增函数
正切函数在整个定义域内是增函数吗？
对称轴 与对称中心
正切曲线关于点 (k , 0)对称. 2
正切曲线不是轴对称图形
理论迁移
例1 求函数 y tan( x ) 的定义域、 周期和单调区间. 2
例2 试比较tan（-1）和tan( 28 )
的大小.
例3 若 1 tan x 3，求x 的取值范 围.
小结作业
1.正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 关于点 ( k , 0对) 称, 正切函数的性质应 结合图象去2 理解和记忆.
2
2
0
x
探求新知
y
2
2
O1 A
3 0 3
x
8 4 8 84 8
周期性
1.根据相关诱导公式，你能判断正切函 数是周期函数吗？其最小正周期为多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
2.函数 y tan( x )( 0) 的周期是
什么？
探求新知
y
3
2
2
－π
0
2
π
3
2
x
探求新知
y
2
f(x)=sinx,求f(
5
3
)的值.
典例讲评
例8 设点P是函数f (x)=sinx的图象的
一个对称中心,若点P到图象的对称轴的
距离的最小值是
4
,
则f
(
x)的最小正周期是
(A)2
(B)
(C
)
2
(
D)
4
拓展延伸
例9 求下列函数的值域.
(1) y cos2 x 2 sin x 2; (2) y 2 cos x .
几个周期函数定义的等价式：
f (x a) f (x), f (x a) f (x a)，a 0
f (x a) 1 , f (x a) 1
f (x)
f (x)
T 2a
拓展延伸
例7定义在R上的函数f(x)既是
偶函数,又是周期函数,若f(x)
的最小正周期为 ,当x [0, ]时,
作业
补充：求下列函数的最大值和最小值， 及相应的自变量x的集合；再求其对称轴 与对称中心.最后求出其单调区间.
1.y 3sin( 2x ), x R
4
2.y 3 cos( 1 x ), x R
2 26
定义域
正切函数y=tanx的定义域是:( k k 2
y
小结作业
2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是 确定图象形状、位置的关键要素,作图 时一般先找出这些点和线,再画正切曲 线.
3.研究正切函数问题时,一般先考察 ( , )的情形, 再拓展到整个定义域.
22
(2) y 2 sin( 2 3x)
3
例4 求函数 y sin(1 xx) ) ，
x∈[－2π，2π]的单调23递增23区间.
理论迁移
例例51 已求知下定列义函在数R的上周的期函：数f(x)满足 f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为 周期函数？
例6 已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2] 时，f(x)=x－2，求f(10)的值.
正弦函数、余弦函数的性质
作业讲解
补充：求下列函数的最大值和最小值， 及相应的自变量x的集合；再求其对称轴 与对称中心.最后求出其单调区间.
(1)y 1 1 cos x;(2)y 2sin(1 x )
23
23
理论迁移
例3 求下列函数的单调递增区间.
(1) y sin( 1 x ) 23
3
2
2
－π
0
2
π
3
2
x
探求新知
y
y1
5
2
3
2
2
－2π
－π x1
0
y2
x
22
π
3
2
x
奇偶性
正切函数是奇函数
单调性
正切函数在开区间 ( k k
2
都是增函数
正切函数在整个定义域内是增函数吗？
对称轴 与对称中心
正切曲线关于点 (k , 0)对称. 2
正切曲线不是轴对称图形
理论迁移
例1 求函数 y tan( x ) 的定义域、 周期和单调区间. 2
例2 试比较tan（-1）和tan( 28 )
的大小.
例3 若 1 tan x 3，求x 的取值范 围.
小结作业
1.正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 关于点 ( k , 0对) 称, 正切函数的性质应 结合图象去2 理解和记忆.
2
2
0
x
探求新知
y
2
2
O1 A
3 0 3
x
8 4 8 84 8
周期性
1.根据相关诱导公式，你能判断正切函 数是周期函数吗？其最小正周期为多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
2.函数 y tan( x )( 0) 的周期是
什么？
探求新知
y
3
2
2
－π
0
2
π
3
2
x
探求新知
y
2
f(x)=sinx,求f(
5
3
)的值.
典例讲评
例8 设点P是函数f (x)=sinx的图象的
一个对称中心,若点P到图象的对称轴的
距离的最小值是
4
,
则f
(
x)的最小正周期是
(A)2
(B)
(C
)
2
(
D)
4
拓展延伸
例9 求下列函数的值域.
(1) y cos2 x 2 sin x 2; (2) y 2 cos x .
几个周期函数定义的等价式：
f (x a) f (x), f (x a) f (x a)，a 0
f (x a) 1 , f (x a) 1
f (x)
f (x)
T 2a
拓展延伸
例7定义在R上的函数f(x)既是
偶函数,又是周期函数,若f(x)
的最小正周期为 ,当x [0, ]时,