2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案
【中考押题】2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题
y =-y =-2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；(3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△P AE是直角三角形时，求点P的坐标．4.如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M 可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设04x≤≤（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．WQPNMFDBA板块三、相似三角形存在性 5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．FP WQN A B（备用图）三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。
初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)
特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
2020中考数学专题17—存在性问题之特殊三角形
2020中考专题17——存在性问题之特殊三角形姓名____________ . 【方法解读】特殊二和形存化件问题L婪足指寻找符介条件的点使之构成等腰二角形、江用三角形、全第一;角形等特殊二用形.解决此类问题的美犍在于恰当地分类4M避免M籽.【例题分析】例L如图，直线产3x-3交x轴例点A,交y轴J点B,过A, B两点的他物线交x例J另一点C(3, 0).(1)求点A,B的坐标.(2)求旭物线对应的函数表认式.(3)在附物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ皓笔腰三角形?若存在，求出符合条件的点Q的坐标: 若不存在.请说明毋山.例2.如凰tl知直线.kx 6与抛物线y』x'b乂，c相交十A, 3两点，口点A(l,⑷为抛物段的顶点, 点B 在x轴上.⑴求旭利线对应的函数及辽揖⑵任⑴中：次函数的第.拿限的图象上是否存在•点P,便△FOB与APOC全等?若存在，求出点P 的％标:若不存在,请说明理由.(3)若点Q是y轴上…点,HAABQ为直角三角形,求点Q的坐标.D.【巩固训练】1.（2019•止宾〉已刈抛物纹y = x'-l，j轴文于点A.。
宜纹/=代内为任总实数）出文于S , C两点.则下列结论不正确的是（）A.存在实数使得448C为等腰三角形民存在实数A ,使得&46C的内角中仃两角分别为3伊和60）C.任意实数A,伐得部为血角三角形D.存在实数4,使得M8c为等边三处形2. M图.在平行四边形ABCD中,AB 7 cm, BC 4 c0 NA-30' .点P从点A出发沿着AB边向燃B运劭, 速度为I cm/.连结印，若以运动时间为则当〔二 w时,AADP为等小」角形.3.（2019 •泰安）已知次函数】七公十）的图象。
反比例函数y =巴的图象大丁点T,与x他交丁x 点用 5.U）.若 08 二4 8, H.S^=y .（1）求反比例函数与一次函数的表达式，<2）苦点P为x粕上一点,是等股三角形.求点「的坐乐.1. （2D18・ F州）如图，池物线y = a/+bx-4经过,4（-3.0）.£（5.-4）两点, I j•地文于点C ,性接力&•4C. RC.（1）求抛物线的表达式，（2）求证，.48平分NO6（3）抛物线的对称轴卜.是否存在点M,使得M8W是以48为宜用边的汽角H角形，若存在，求山点M的坐标：苍不存在，请说刚理由.5.(2019•的卅)如图I.在平面直用坐标系中•点。
2020中考数学冲刺练习-第21讲 函数中三角形存在问题--含解析
2020数学中考冲刺专项练习专题21函数中三角形存在问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．主要思路为：①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．解题策略可以从以下几方面进行分析：①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别相交于点A、B、C，其坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（-1，0），直线y=kx+d经过A、B两点，点D为抛物线的顶点.（1）求此抛物线的解析式;（2）在x 轴上是否存在点N 使△ADN 为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）是否存在点P,使以A,B,C,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点为（0，3），故c=3， 又因为A （3，0），C （-1，0）， 代入抛物线y=ax 2+bx+c 有，309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ∴12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式y=-x 2+2x+3．（2）由抛物线解析式为y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， 得D （1，4），ΘA （3，0）,点N 在x 轴上，显然∠DAN=90°不成立. ①∠DNA=90°，易得N 1（1，0）. ②∠ADN=90°设N （x ，0）.过D 作DE ⊥x 轴于E ，易证△ADE ∽△DNE ， 得DE 2=NE •EA,∴42=（1-x ）⨯2∴x=-7，∴N 2（-7 ，0）.（3）答：P 1（2 ，-3）,P 2（-4 ，3），P 3（4 ，3）.①当PC//AB 时，有两个点存在，可看作线段AB 向下平移三个单位，向左平移一个单位，或者看作线段AB 向左平移四个单位，即有P 1（2 ，-3）或P 2（-4 ，3）；②当CP 为对角线时，则BP//CA ，可以看作点B 向右平移四个单位，即（4 ，3）； 综上所述，点P 的坐标为（2 ，-3）、（-4 ，3）或（4 ，3）.【原创2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y＝﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y＝﹣x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB＝MB′，∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BD M的周长最小，易得直线DB′的解析式为y＝x+3，当x＝0时，y＝x+3＝3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y＝3x+3，∴直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，把C（0，3）代入得b＝3，∴直线PC的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y＝﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b＝0，解得b＝﹣，∴直线PC的解析式为y＝﹣x﹣，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题1】等腰三角形存在性问题如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)． (1)求点A ，B 的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x ＝1 (1，a )②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 【解析】：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q(1，a)．①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F.由勾股定理，得BQ＝BF2＋QF2＝（1－0）2＋（3－a）2，AQ＝AD2＋QD2＝22＋a2，得（1－0）2＋（3－a）2＝22＋a2，解得a＝1，∴点Q的坐标为(1，1)．②当AB＝BQ时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a－3）2＝10，解得a＝0或6，当点Q的坐标为(1，6)时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是(1，0)．③当AQ＝AB时，如图③，由勾股定理，得22＋a2＝10，解得a＝±6，此时点Q的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)．【归纳】对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．【例题2】直角三角形、全等三角形存在性问题如图，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．【解析】(1)顶点点B待定系数(2)点A，B，Q解：(1)把(1，－4)代入y＝kx－6，得k＝2，∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6.令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是(3，0)．∵点A为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)2－4，把(3，0)代入，得4a－4＝0，解得a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.(2)存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时OP平分第二象限，即直线PO对应的函数表达式为y＝－x.设P (m ，－m )，则－m ＝m 2－2m －3， 解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－132，13－12. (3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32； ③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3， 即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－72或⎝⎛⎭⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)． 【归纳】本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。
2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题16 函数动点问题中三角形存在性含答案
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B、O、C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2所示，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
图1图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y=x过点B（2，t），
∴t=2，即B（2,2），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得：
，
解得：a=2，b=－3，
∴抛物线的解析式为：y=2x2－3x；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于F，如图所示，
设C（t，2t2－3t），则E(t，0)，D（t，t），点C在第四象限，
（2）由y= x2－ x－2得：C(0,－2),由勾股定理得：BC=2 ,
由C(0,－2),B(4,0)得直线BC的解析式为：y= x－2，
设P（m， m2－ m－2），则Q(m， m－2)，
过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，
∴ ,即 ，
∴CQ= ,
PQ=－ m2+2m,PC= =m ，
①当CQ=PQ时，
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，－1），
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。
中考数学二次函数存在性问题及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。
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(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③， 由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛 物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
【分层分析】
(1) 如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？
(2) 如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意， 设抛物线对应的函数表达式时， 应该用哪种形式？
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图2 (1) 求抛物线对应的函数表达式． (2) 在(1) 中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点 P，使△ POB与△ POC全等？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 若点 Q是 y 轴上一点，且△ ABQ为直角三角形，求点 Q的坐标． 【分层分析】 (1) 已知点 A 的坐标可确定直线 AB对应的函数表达式， 进一步能求出点 B 的坐标．点 A 是抛物线的 顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为 ________式，再代入 ________的坐标，依据 ________ 法可解． (2) △ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以 ________为直角顶点，进行分类讨论，找出 相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解． 【解题方法】 本题为综合题，考查了平面直角坐标系中， 利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式， 利用方程、 分类讨论和数形结合等思想解题． 【解答】【分层分析】 (1) 顶点 点 B 待定系数 (2) 点 A， B， Q 解： (1) 把(1 ，－ 4) 代入 y＝kx－ 6，得 k＝2， ∴直线 AB对应的函数表达式为 y＝2x－ 6. 令 y＝ 0，解得 x＝ 3，∴点 B的坐标是 (3 ，0) ． ∵点 A 为抛物线的顶点，
(3) ①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线 ________，所以可设点 Q的坐标为 ________；
②△ ABQ是等腰三角形可分为 ________种情况，分别是 ____________________；
③根据勾股定理分别列出方程即可求出点 Q的坐标．
【解题方法】
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对于等腰三角形的分类应分三种情况． 可以设一个未知数， 然后用这个未知数分别表示出三角
形的三边， 再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角
形．
【解答】【分层分析】
(1) 令一次函数表达式中的 x 或 y 为 0，即可求出图象与 y 轴或 x 轴的交点坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般
式法或交点式法都比较简单．
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∴设抛物线对应的函数表达式为 y＝ a(x －1)2 －4， 把(3 ，0) 代入，得 4a－ 4＝ 0， 解得 a＝1， ∴抛物线对应的函数表达式为 y＝(x －1)2 －4＝x2－2x－ 3. (2) 存在．∵ OB＝OC＝ 3， OP＝OP， ∴当∠ POB＝∠ POC时，△ POB≌△ POC， 此时 OP平分第二象限， 即直线 PO对应的函数表达式为 y＝－ x. 设 P(m，－ m)，则－ m＝ m2－2m－ 3，
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由勾股定理，得 BQ＝ BF2＋QF2＝ （ 1－ 0） 2＋（ 3－a）2， AQ＝ AD2＋QD2＝ 22＋a2， 得 （ 1－ 0） 2＋（ 3－a）2＝ 22＋ a2，解得 a＝1， ∴点 Q的坐标为 (1 ，1) ． ②当 AB＝ BQ时，如图②， 由勾股定理，得 （ 1－ 0） 2＋（ a－3） 2＝ 10， 解得 a＝0 或 6， 当点 Q的坐标为 (1 ，6) 时，其在直线 AB上， A， B， Q三点共线，舍去，∴点 Q的坐标是 (1 ，0) ．
0＝ a－ b＋ c，
a＝－ 1，
3＝ c，
解得 b＝ 2，
0＝ 9a＋3b＋c，
c＝ 3.
∴抛物线对应的函数表达式为 y＝－ x2＋2x＋3.
(3) ∵抛物线对应的函数表达式为 y＝－ x2＋2x＋3，配方，得 y＝－ (x －1)2 ＋ 4，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，设 Q(1， a) ． ①当 AQ＝ BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，过点 B作 BF⊥ DQ于点 F.
中考数学难题突破——函数中特殊三角形存在性问题
特殊三
角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、
特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．
类型 1 等腰三角形存在性问题
直角三角形、 全等三角形等
例 1 如图 1，直线 y＝3x＋ 3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A， B 两点的抛物线交 x 轴于另一点