2016全国三卷理科数学高考真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =

(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则

41

i

zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i

（3）已知向量1(,22BA =uu v ,1

),2

BC =uu u v 则∠ABC=

(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大

(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个

（5）若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

（6）已知4

3

2a =，34

4b =，13

25c =，则

（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

（8）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A =

（A （B

（C ）-

（D ）- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A ）18+

（B ）54+

（C ）90 （D ）81

(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92

π

（C ）6π

（D ）

323

π

（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为

C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则

C 的离心率为 （A ）

13

（B ）

12

（C ）

23

（D ）

34

（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若x ，y 满足约束条件错误！未找到引用源。 则z=x+y 的最大值为_____________.

（14）函数错误！未找到引用源。的图像可由函数错误！未找到引用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

（15）已知f(x)为偶函数，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

（16）已知直线错误！未找到引用源。与圆错误！未找到引用源。交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线

与x轴交于C，D两点，若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。__________________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知数列错误！未找到引用源。的前n项和错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中λ错误！未找到引用源。0

（I）证明错误！未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式

（II）若

531 32

S=错误！未找到引用源。，求λ

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，P A=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面P AB;

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：22

y x

=的焦点为F，平行于x轴的两条直线

12

,l l分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分）设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记错误！未找到引用源。的最大值为A.

（Ⅰ）求f＇（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明错误！未找到引用源。≤2A.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O 中

AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点. （I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；

（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()

sin x y θ

θθ

?=??=??为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极

轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4

ρθπ+= .

（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+

（I ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；

（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围.

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试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学正式答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B

（8）C （9）B （10）B （11）A （12）C

【11】

【12】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：

0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；

0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；

0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．

故选：C ．

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）

32 （14）

3

2π （15）21y x =-- （16）4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ

-=

11

1a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以

1

1-=

+λλ

n n a a . 因此}{n a 是首项为

λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1

)1

(11---=

n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1

(1--=λλ，由32315=

S 得3231

)1(15=--λλ，即=-5)1

(λλ321，

解得1λ=-．

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得

4=t ，28)(7

1

2

=-∑=i i t t ，

55.0)

(7

1

2

=-∑=i i

y y ，

89.232.9417.40))((71

7

1

7

1

=?-=-=

--∑∑∑===i i i

i i i i i

y

t y t y y t t

，

99.0646

.2255.089

.2≈??≈

r .

因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.

（Ⅱ）由331.17

32.9≈=

y 及（Ⅰ）得103.028

89

.2)()

)((?7

1

2

7

1

≈=

---=∑∑==i i

i i i

t t

y t

b ， 92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a

. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y

10.092.0?+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y

. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得23

2

==

AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22

1

==

BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .

（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且

5)2

(

2

222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，

)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2

5

(

N ， )4,2,0(-=PM ，)2,1,25(

-=PN ，)2,1,2

5

(=AN . 设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PN n PM n ，即???

??=-+=-022

5042z y x z x ，可取)1,2,0(=n ，

于是255

8|

||||,cos |==

>

（20）解：由题设)0,2

1

(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且

)2

,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

222111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2

,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=

--=-=

??. 由题设可得2

21211b

a x a

b -=--，所以01=x （舍去），11=x .

设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12

-=x y . ....12分 （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，

'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =

因此，32A a =-． ………4分

当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．

令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a

t a

-=

时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61

()1488a a a a g a a a

--++=--=-． 令1114a a --<

<，解得13a <-（舍去），1

5

a >． （ⅰ）当1

05

a <≤

时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．

（ⅱ）当

115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a

-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a

-++==． 综上，2

123,05611

,18532,1a a a a A a a a a ?

-<≤??++?=<

?

-≥???

． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'

|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105

a <≤

时，'

|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当

115a <<时，13

1884

a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'

|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'

|()|2f x A ≤.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.

因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180 ，所以

1803=∠PCD ， 因此 60=∠PCD .

（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2

213

x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值， 即为P 到2C 的距离()d α的最小值，

()sin()2|3d π

αα=

=+-. ………………8分

当且仅当2()6

k k Z π

απ=+

∈时，()d α取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为

31

(,)22

. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.

因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-

|212|x a x a ≥-+-+ |1|a a =-+，

当1

2

x =

时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.

当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分