浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 理

浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 理
浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 理

专题三 数 列

经典模拟·演练卷

一、选择题

1.(2015·济南模拟)设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则

a 11+a 12+a 13=( )

A .75

B .90

C .105

D .120

2.(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *

),且满足a 4a 6=14,a 7

=1

8

,则S 4的值为( ) A .15 B .14 C .12 D .8

3.(2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{a n }中,a 3=2,a 4a 6=16,则a 10-a 12

a 6-a 8

的值为( ) A .2 B .4 C .8 D .16

4.(2015·效实中学二模)已知数列{a n }是等差数列,a 3=5,a 9=17,数列{b n }的前n 项和

S n =3n .若a m =b 1+b 4,则正整数m 的值为( )

A .26

B .27

C .28

D .29

5.(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ∈N *

),则S 6=( ) A .44

B .45

C.13

·(46

-1) D.13

·(45

-1) 6.(2015·西安质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且3S n =a n a n +1,则∑n

k =1a 2k =( ) A.n (n +5)

2 B.3n (n +1)

2 C.

n (5n +1)

2

D.

(n +3)(n +5)

2

二、填空题

7.(2015·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 2=3

4,a 4+a 5=6,则S 6=

________.

8.(2015·潍坊调研)在等差数列{a n }中,a 1=-2 015,其前n 项和为S n ,若

S 1212-S 10

10

=2,

则S2 015的值为________.

9.(2015·台州联考)各项均为正数的等比数列{a n}中,a2-a1=1.当a3取最小值时,数列{a n}的通项公式a n=________.

三、解答题

10.(2015·长沙调研)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n

2

,n∈N*.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.

11.(2015·桐乡高级中学模拟)已知数列{a n}与{b n}满足:a1+a2+a3+…+a n=log2b n(n∈N*),且数列{a n}为等差数列,a1=2,b3=64b2.

(1)求a n与b n;

(2)设c n=(a n+n+1)·2a n-2,求数列{c n}的前n项和T n.

12.(2015·杭州七校大联考)若{a n}是各项均不为零的等差数列,公差为d,S n为其前n项

和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{b n}满足b n=

1

a n·a n+1

,T n为数列{b n}的前n项和.

(1)求a n和T n;

(2)是否存在正整数m、n(1

经典模拟·演练卷

1.C [设数列{a n }的公差为d ,依题设知d >0,则a 3>a 1, ∵a 1+a 2+a 3=15,则3a 2=15,a 2=5,

从而?

????a 1+a 3=10,a 1a 3=16.解之得a 1=2,a 3=8.

所以公差d =

a 3-a 1

2

=3.

故a 11+a 12+a 13=(a 1+a 2+a 3)+30d =15+90=105.] 2.A [设等比数列{a n }的公比为q ,且q >0,a n >0. 由于a 4a 6=14,a 7=18,

则a 3=

a 4a 6a 7=2,q 4

=a 7a 3=116,所以q =12. 于是a 1=a 3q

2=8.

故S 4=a 1(1-q 4)1-q =8? ???

?1-1161-1

2

=15.]

3.B [设等比数列{a n }的公比为q .由于a 3=a 1q 2

=2. ∴a 4a 6=a 21q 8

=(a 1q 2)2

·q 4

=4q 4

=16.则q 4

=4,

故a 10-a 12a 6-a 8=q 4(a 6-a 8)a 6-a 8

=q 4=4.] 4.D [由等差数列的性质,a 9=a 3+6d .∴17=5+6d ,得d =2, 因此a m =a 3+2(m -3)=2m -1. 又数列{b n }的前n 项和S n =3n

, ∴b 1=S 1=3,b 4=S 4-S 3=34

-33

=54. 由a m =b 1+b 4,得2m -1=3+54,则m =29.] 5.B [由a 1=1,a 2=3a 1,得a 2=3, 又a n +1=3S n ,知a n =3S n -1(n ≥2),

∴a n +1-a n =3S n -3S n -1=3a n ,即a n +1=4a n (n ≥2).

因此a n =?

????1 (n =1),

3·4n -2

(n ≥2), 故S 6=1+3(1-45

)1-4

=45

.]

6.B [当n =1时,3S 1=a 1a 2,即3a 1=a 1a 2,∴a 2=3, 当n ≥2时,由3S n =a n a n +1,可得3S n -1=a n -1a n ,两式相减得:

3a n =a n (a n +1-a n -1).∵a n ≠0,∴a n +1-a n -1=3,∴{a 2n }为一个以3为首项,3为公差的等差

数列,∴∑n

k =1a 2k =a 2+a 4+a 6+…+a 2n =3n +n (n -1)

2×3=3n (n +1)

2

,选B.]

7.634 [∵a 1+a 2=3

4

,a 4+a 5=6, q 3=a 4+a 5a 1+a 2=8,从而q =2,可求a 1=14

.

故S 6=14(1-26

)1-2=63

4

.]

8.-2 015 [设数列{a n }的公差为d ,则S n

n

=a 1+n -1

2

d .

S 1212-

S 10

10=2,得?

????a 1+11d 2-? ????a 1+9d 2=2. 所以d =2,

因此S 2 015=2 015a 1+2 015×2 014

2d =-2 015.]

9.2

n -1

[根据题意,由于各项均为正数的等比数列{a n }中,

由a 2-a 1=1,得a 1(q -1)=1, 所以q >1且a 1=

1

q -1

, ∴a 3=a 1q 2

=q 2

q -1=(q -1)2

+2(q -1)+1

q -1

=q -1+

1

q -1

+2≥2(q -1)·

1

q -1

+2=4, 当且仅当q =2时取得等号,

因此a n =a 1q n -1

=q n -1q -1

=2n -1

.]

10.解 (1)当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=

n 2+n 2-

(n -1)2+(n -1)

2

=n .

由于n =1时,a 1=1适合上式, 故数列{a n }的通项公式为a n =n .

(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n

n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n , 则T 2n =(21

+22

+ (22)

)+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21

+22

+ (22)

,B =-1+2-3+4-…+2n ,则 A =2+22

+23

+ (22)

=2(1-22n

)1-2

=22n +1

-2.

B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n ,

故数列{b n }的前2n 项和T n =2

2n +1

+n -2.

11.解 (1)由题设,得a 1+a 2+a 3=log 2b 3,①

a 1+a 2=log 2

b 2,②

①-②得,a 3=log 2b 3b 2

=log 264=6.

又a 1=2,所以公差d =2,因此a n =2+2(n -1)=2n . 又a 1+a 2+a 3+…+a n =log 2b n . 所以

n (2+2n )

2

=log 2b n ,故b n =2

n (n +1).

(2)由题意,得c n =(3n +1)4

n -1

则T n =4+7·4+10·42

+…+(3n +1)·4n -1

,③

4T n =4·4+7·42

+…+(3n -2)·4

n -1

+(3n +1)·4n

,④

由③-④,得-3T n =4+3(4+42

+…+4

n -1

)-(3n +1)4n

=4+3·4(1-4n -1

)1-4-(3n +1)4n =-3n ·4n

所以T n =n ·4n (n ∈N *

).

12.解 (1)∵a 2

n =S 2n -1(n ∈N *

),a n ≠0. 令n =1,得a 1=1;令n =2,得a 2=3, ∴等差数列{a n }的公差d =2.

从而a n =2n -1,b n =12? ????12n -1-12n +1,

于是T n =12??????? ????1-13+? ????13-15+…+? ????12n -1-12n +1

n

2n +1

. (2)假设存在正整数m ,n (1

则? ????m 2m +12

=13·n 2n +1

,可得3n =-2m 2

+4m +1m 2>0,

∴-2m2+4m+1>0,解得1-

6

2

6

2

由于m∈N*,m>1,得m=2,此时n=12.

故存在正整数m,n,当且仅当m=2,n=12时,满足T1,T m,T n成等比数列.

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