浙江省2016届高三数学专题复习 专题三 数列模拟演练 理
专题三 数 列
经典模拟·演练卷
一、选择题
1.(2015·济南模拟)设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则
a 11+a 12+a 13=( )
A .75
B .90
C .105
D .120
2.(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *
),且满足a 4a 6=14,a 7
=1
8
,则S 4的值为( ) A .15 B .14 C .12 D .8
3.(2015·河北衡水中学调研)已知等比数列{a n }中,a 3=2,a 4a 6=16,则a 10-a 12
a 6-a 8
的值为( ) A .2 B .4 C .8 D .16
4.(2015·效实中学二模)已知数列{a n }是等差数列,a 3=5,a 9=17,数列{b n }的前n 项和
S n =3n .若a m =b 1+b 4,则正整数m 的值为( )
A .26
B .27
C .28
D .29
5.(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ∈N *
),则S 6=( ) A .44
B .45
C.13
·(46
-1) D.13
·(45
-1) 6.(2015·西安质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且3S n =a n a n +1,则∑n
k =1a 2k =( ) A.n (n +5)
2 B.3n (n +1)
2 C.
n (5n +1)
2
D.
(n +3)(n +5)
2
二、填空题
7.(2015·郑州质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 2=3
4,a 4+a 5=6,则S 6=
________.
8.(2015·潍坊调研)在等差数列{a n }中,a 1=-2 015,其前n 项和为S n ,若
S 1212-S 10
10
=2,
则S2 015的值为________.
9.(2015·台州联考)各项均为正数的等比数列{a n}中,a2-a1=1.当a3取最小值时,数列{a n}的通项公式a n=________.
三、解答题
10.(2015·长沙调研)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n
2
,n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.
11.(2015·桐乡高级中学模拟)已知数列{a n}与{b n}满足:a1+a2+a3+…+a n=log2b n(n∈N*),且数列{a n}为等差数列,a1=2,b3=64b2.
(1)求a n与b n;
(2)设c n=(a n+n+1)·2a n-2,求数列{c n}的前n项和T n.
12.(2015·杭州七校大联考)若{a n}是各项均不为零的等差数列,公差为d,S n为其前n项
和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{b n}满足b n=
1
a n·a n+1
,T n为数列{b n}的前n项和.
(1)求a n和T n;
(2)是否存在正整数m、n(1 经典模拟·演练卷 1.C [设数列{a n }的公差为d ,依题设知d >0,则a 3>a 1, ∵a 1+a 2+a 3=15,则3a 2=15,a 2=5, 从而? ????a 1+a 3=10,a 1a 3=16.解之得a 1=2,a 3=8. 所以公差d = a 3-a 1 2 =3. 故a 11+a 12+a 13=(a 1+a 2+a 3)+30d =15+90=105.] 2.A [设等比数列{a n }的公比为q ,且q >0,a n >0. 由于a 4a 6=14,a 7=18, 则a 3= a 4a 6a 7=2,q 4 =a 7a 3=116,所以q =12. 于是a 1=a 3q 2=8. 故S 4=a 1(1-q 4)1-q =8? ??? ?1-1161-1 2 =15.] 3.B [设等比数列{a n }的公比为q .由于a 3=a 1q 2 =2. ∴a 4a 6=a 21q 8 =(a 1q 2)2 ·q 4 =4q 4 =16.则q 4 =4, 故a 10-a 12a 6-a 8=q 4(a 6-a 8)a 6-a 8 =q 4=4.] 4.D [由等差数列的性质,a 9=a 3+6d .∴17=5+6d ,得d =2, 因此a m =a 3+2(m -3)=2m -1. 又数列{b n }的前n 项和S n =3n , ∴b 1=S 1=3,b 4=S 4-S 3=34 -33 =54. 由a m =b 1+b 4,得2m -1=3+54,则m =29.] 5.B [由a 1=1,a 2=3a 1,得a 2=3, 又a n +1=3S n ,知a n =3S n -1(n ≥2), ∴a n +1-a n =3S n -3S n -1=3a n ,即a n +1=4a n (n ≥2). 因此a n =? ????1 (n =1), 3·4n -2 (n ≥2), 故S 6=1+3(1-45 )1-4 =45 .] 6.B [当n =1时,3S 1=a 1a 2,即3a 1=a 1a 2,∴a 2=3, 当n ≥2时,由3S n =a n a n +1,可得3S n -1=a n -1a n ,两式相减得: 3a n =a n (a n +1-a n -1).∵a n ≠0,∴a n +1-a n -1=3,∴{a 2n }为一个以3为首项,3为公差的等差 数列,∴∑n k =1a 2k =a 2+a 4+a 6+…+a 2n =3n +n (n -1) 2×3=3n (n +1) 2 ,选B.] 7.634 [∵a 1+a 2=3 4 ,a 4+a 5=6, q 3=a 4+a 5a 1+a 2=8,从而q =2,可求a 1=14 . 故S 6=14(1-26 )1-2=63 4 .] 8.-2 015 [设数列{a n }的公差为d ,则S n n =a 1+n -1 2 d . 由 S 1212- S 10 10=2,得? ????a 1+11d 2-? ????a 1+9d 2=2. 所以d =2, 因此S 2 015=2 015a 1+2 015×2 014 2d =-2 015.] 9.2 n -1 [根据题意,由于各项均为正数的等比数列{a n }中, 由a 2-a 1=1,得a 1(q -1)=1, 所以q >1且a 1= 1 q -1 , ∴a 3=a 1q 2 =q 2 q -1=(q -1)2 +2(q -1)+1 q -1 =q -1+ 1 q -1 +2≥2(q -1)· 1 q -1 +2=4, 当且仅当q =2时取得等号, 因此a n =a 1q n -1 =q n -1q -1 =2n -1 .] 10.解 (1)当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1= n 2+n 2- (n -1)2+(n -1) 2 =n . 由于n =1时,a 1=1适合上式, 故数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n , 则T 2n =(21 +22 + (22) )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21 +22 + (22) ,B =-1+2-3+4-…+2n ,则 A =2+22 +23 + (22) =2(1-22n )1-2 =22n +1 -2. B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n , 故数列{b n }的前2n 项和T n =2 2n +1 +n -2. 11.解 (1)由题设,得a 1+a 2+a 3=log 2b 3,① a 1+a 2=log 2 b 2,② ①-②得,a 3=log 2b 3b 2 =log 264=6. 又a 1=2,所以公差d =2,因此a n =2+2(n -1)=2n . 又a 1+a 2+a 3+…+a n =log 2b n . 所以 n (2+2n ) 2 =log 2b n ,故b n =2 n (n +1). (2)由题意,得c n =(3n +1)4 n -1 , 则T n =4+7·4+10·42 +…+(3n +1)·4n -1 ,③ 4T n =4·4+7·42 +…+(3n -2)·4 n -1 +(3n +1)·4n ,④ 由③-④,得-3T n =4+3(4+42 +…+4 n -1 )-(3n +1)4n =4+3·4(1-4n -1 )1-4-(3n +1)4n =-3n ·4n , 所以T n =n ·4n (n ∈N * ). 12.解 (1)∵a 2 n =S 2n -1(n ∈N * ),a n ≠0. 令n =1,得a 1=1;令n =2,得a 2=3, ∴等差数列{a n }的公差d =2. 从而a n =2n -1,b n =12? ????12n -1-12n +1, 于是T n =12??????? ????1-13+? ????13-15+…+? ????12n -1-12n +1 = n 2n +1 . (2)假设存在正整数m ,n (1 则? ????m 2m +12 =13·n 2n +1 ,可得3n =-2m 2 +4m +1m 2>0, ∴-2m2+4m+1>0,解得1- 6 2 6 2 , 由于m∈N*,m>1,得m=2,此时n=12. 故存在正整数m,n,当且仅当m=2,n=12时,满足T1,T m,T n成等比数列.