高考数学常见题型汇总(经典资料)

一、函数

1、求定义域(使函数有意义) 分母 ≠0 偶次根号≥0

对数log a x x>0,a>0且a ≠1

三角形中 060,最小角<60 2、求值域

判别式法 V ≥0 不等式法 222321111

33y x x x x x x x x =+

=++≥??=

导数法 特殊函数法 换元法 题型: 题型一:

1y x x =+

法一:

111

(,222同号)或y x x x x x x

y y =+

=+≥∴≥≤-

法二:图像法(对(0)

b

y ax ab x =+>有效

2

-2

-1

1

题型二:

()1

(1,9)

y x x x =-∈

()/

2(1)(9)110

1

80,,0,9导数法:函数单调递增

即y x y x x

y f f y =+>∴=-??

∴∈∈ ?

?? 题型三:

2sin 1

1sin 1sin ,1,

2112化简变形又sin 解不等式,求出,就是要求的答案y y

y y

y y θθ

θθ-=

++=≤-+∴

≤-

题型四:

22

2

2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11

4化简变形得即又由知解不等式,求出,就是要求的答案

y y y y

y y x y x y y x y

y θθ

θθθθθθθ-=

+-=+-=++++=++=

+++≤≤+

题型五

222233

3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y

+=

-+=-+-+==--?≥V

反函数

1、反函数的定义域是原函数的值域

2、反函数的值域是原函数的定义域

3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型

1

()(2)32,2322,2已知求解:直接令,解出就是答案

x x

f f x x

x x --=+-=+

周期性

()()()(2)()()(2)0

0(2,函数 -)式相减)

是一个周期是2t 的周期函数

x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+==

对称

()()()(2)()()()),(2,), 函数关于直线x=a 对称

对称的判断方法:写出2个对应点的坐标A(x,求出其中点的坐标C(a,)。因a 是常数,故整个函数关于直线对称

x a a x x a x x x x f f f f f B a x f f x a +--=?=-=

不等式 题型一:

332

(0)

111133332

22x =x x (应用公式a+b+c 时,注意使者的乘积变成常数)x x

x x x x

abc +>++≥??=≥

题型二:

3

3

()1

3

()32x (3-2x)(0

x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时,应注意使3者之和变成常数)

a b c +??≤=++≤

数列:(熟记等差数列,等比数列的基本公式,掌握其通项公式和求和公式的推导过程) 等差数列:

1125697

12

()

2...5...(),,...n 2n 2n n 3n 2n 当是奇数时,应写成n S (不能写上试卷) S S S S S 是等差数列,公差是n d n

n m m n m n

a a n a n a a a a a a a n m a ++++=??+++=+++=---

等比数列:

112

1

()(),,...1)

lim (1n n 2n n 3n 2n n (当

是奇数时,应写成S 是等比数列,公比是S S S S S 无穷递缩等比数列( s=也说是等比数列中所有项的和)

S n

n n n n n a n a a q q a q +→∞=--<=-

通项公式的求法 1、

n a = 11 n=1时

n>1时n n S S S -- 2、

1()11122111(1)12234...1234...1234 (2)

叠加(可参考等差数列通项公式的求法) 例:

+) (叠加) n n n n n n n n n a a f a a a n a a n a a n

a a n

n n n

a a -----==-=-=--=-=+++++=+++++=+++++=?L L 3、

1()11112

1

1

(1)

1

2234... 叠乘(可参考等比数列通项公式的求法) 例: =n =

=

) (叠乘)

n n n n

n n n n

n n

a a f a a a a n a a n a a a a n a ----=?=?=-?????=L L 1234...1234... =! n a a n n n ??????????==

4、

{}1111111

1()32

3(),32,111(1)323n n n n n n n n n n n n n n a k a b a x k a x a a a x a x a a x x a a a (待定系数法) 令 例: 令展开得即 是等比数列,-------=?++=+=?++=+=+=∴++=+?=?

5、

{}11111111111

1()323(),33,222230.512

22212(2)322n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n a k a b a xb k a xb a a a x a x a a x x x x x x a a a (待定系数法2) 令 例: 令展开得即 是等比数列,----------=?++=+=?++=+=+--=?=?=∴++?=+?? 6、

1

11

11111

11

31

31113111

1

(倒数法)

例: 取倒数:

= 是等差数列, (n-1)3=1(n-1)3=3n-2

3n-2n n n n n n n n n n n n n a a k a b

a a a a a a a a a a a a -------=

?+==

?+?+=+

??∴=+?+?????

∴=

求和: 1、拆项

1111

()(2()剩余项(前后各k 项))

k n n k k n n k =-++

111

...1324(2)11111()21212111111...()

1223(1)1111111111111...()

1425(3)3123123例: =(k=2,前后各2项,前2项全正,后2项全负)

= =n n n n n n n n n n n n +++??++--+++++-??+++++++---??++++

2、叠减

n 1122n n

n n S ...(...S ... -)2S ...( -S ... S n n n n a b a b a b a b =++++鬃+?+ =鬃+?+ ?鬃++?×=+++- \=123n

123

n 23n

n+1

123n n+1是等差数列,是等比数列)例:求 12+2232n 2解:令12+2232n 2,则

12+22n-1)2n 2相减:2+222n 2(应该不用我求了吧,呵呵)

注意,这几个题型是近几年高考的常见题型,应牢牢掌握) 三角 1、

2

+k θπ

奇变偶不变 (对k 而言)

符号看象限 (看原函数) 2、1的应用 (1)

22221sin cos sin 1cos sin sin (1cos )(1cos )

sin 1cos ()

1cos sin cos 1sin 1sin cos 注意此式中的比例变形。同理,我们有k θθθθθθθθθθ

θπθθ

θθ

θθ=+?=-??=-+-?=≠+-=

+

例:

1sin cos sin cos 1

()1sin cos 1cos sin sin 1cos 1cos sin 1sin cos sin 1sin cos 1cos sin cos 1sin 1cos sin 1cos 1sin cos si 1sin cos b d b d b a c a c a

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθ+-+-=+++--=

++-+∴==?=+++++-=

+-++-∴=

++ 证明证 合比定理 Q n cos 11cos sin θθθθ

+-+- (2)

已知tanα=2,求sin 2α+sinαcosα-3cos 2α

解:

()()()2

2222

22

2

tan tan 3sin sin cos 3cos sin cos tan 1

1cos 2sin 21cos 2cos 2

2sin cos 21sin (2原式= 降幂公式 周期公式£o

周期为

周期为加""后周期减半)

注意:周期公式是我个人的推导,绝不能写上试卷,

自己知a

b

a

x

x x x x x a b x k k

αααααααααπ

ππ-+-=++-=

+=

?+?=道怎么做就行了.

[]sin ()(0)

:2::222

图像. y=A 值域-A,A 周期: T=

对称轴: k +

最大值 wx+= 2k +

最小值 2k - 对称点 k

注意:奇函数原点为对称点 (把x=0代入即可)

偶函数y wx A i ii w

iii k ?π

π

ππ

?ππ

ππ?π+>=2轴为对称轴

k π

?π=+

[]

3sin(2),333

2,322122326

2232125223212如:对函数它的值域是,对称轴是即对称点是,即当,时,有最大值

当,时,有最小值

y x k x k x k x k x x k x k x k x k π

ππππ

ππππ

ππππ

πππππ

ππ=+-+=+=+

+==-

+=+=++=-=-

解析几何 题型:

1、已知点P (x.y )在圆x 2+y 2=1上,

2

,(2),2

(,20, (1)的取值范围

(2)y-2的取值范围

解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.

d 为圆心到直线的距离,R 为半径) (2)令y-2即也是直线d d 2.求中点轨迹

:y=kx+b 化为Ax2+bx+c=0形式 y x x y

k y k x x R d x b y x b R λ+==+-≤=--=≤?11212122

21+2

000c.

A,B 为交点横生标分别为x ,x .

x x (公式用不完,但后面有用,

x x 这里就直接写出来)

x x x x 中点轨迹P(x .y),则 x y=kx 消元,得P 的轨迹.

B

A C

A A b +=-?=-?

-=-

=

+

212

212

1(13.求交线长度 AB 若开始时设直线方程为x=ky+b,则 AB k x x k y y =--=+-

12120

11224. OA OB

+ (x ,y ),(x ,y )为A.B 的坐标

x x y y ⊥?= A

B

12

1

25. 求的面积

S = CF ABF ABF y y ???-

解析几何一般就这些题型,做的时候注意体会(有时会考上一些基础性的问题,如第一、第二定义,焦半径公式等等,要求把公式记牢)若实在不会做,也应先代入,化简为Ax 2+Bx+c=0的形式,并写出

12121B

x x A C

x x A

x x A

+=-

?=

?

-=

二项式定理 主要是公式

2(((01n n n n 024n n n 135n-1n n n

1. C C C 二项式等数和) C C C 奇数项) = C C C 偶数项)=2n

+++=++++L L L

(1)((1)(1)2

(1)(1)

2

(1)

01n 01n 023********.若()=a a a 则:a a a 各项系数和) a a a a a a a -a +a a n

f x x x f f f f f f ++++=+-+++=

--+++=

-+=-L L L L L

10

64

3

211 1

12(x x

x x x x

x x

骣÷?+÷?÷?桫 33

610

3.求常数项(特巧)比例法:

求的常数项要3个,要2个,共5个

3 2 5

6 4 10(总共有10次方)对应成比例.常数项为C 系数为1,的系数为2.

12

66211111,1123

612求中的系数

应由得到,需要2次方,3 2 5

6 4+2 12-2( 先除掉2个放到上使其变成

的系数为C x x x x x

x x

x

??+ ??

?

()

lim

()极限 1.x x f x g x →=

0000''

00()()

()()0lim lim ()()

()()

()0()0,lim ()()()

()0()0,lim 0

()()0()0,.

时, 时 时 时无意义x x x x x x x x f x f x f x g x g x g x f x f x f x g x g x g x f x f x g x g x f x g x →→→→===≠≠=

=≠=≠=

lim 342.n n

n n

x x y x y →∞+=+

1

,31,4

x >y 时只看 x

x y

立体几何(难点) 1、证垂直 (1)几何法

线线垂直

线面垂直 面面垂直 2、向量法 线线垂直⊥a

b

?? a b=0r r

线面垂直n r

为α的法向量

αλ⊥??=a a n a n r r r r

P

法向量求法

求平面ABC 的法向量n r

???n AB=0n= ( )

n AC=0 可能是(y,2y ,-y )之类,注意化简

r uu r

r uu r

面面垂直

n, n 2为α,β的法向量

αβ⊥???⊥1212n n =0n n

求角 1、线面夹角

几何法:做射影,找出二面角,直接计算 向量法:

找出直线a 及平面α的法向量n

a a θ??n cos =

n

2、线线成角

几何法:平移(中点平移,顶点平移) 向量法:

a ,

b 夹角,a b

a b θ??cos =

(几何法时常用到余弦定理222

2a b c ab

θ+-cos =)

3、面面成角(二面角)

方法一:直接作二面角(需要证明) 方法二:面积法(一定有垂直才能用) PC ┴ 面ABC ,记二面角P —AB —C 为θ,则

ABP

ABC S S θ??cos =

(先写公共边/点,再按垂线依次往后写,垂足放在分子) 附:使用时,可能会正弦定理与余弦定理搭配使用。

正弦定理:1

2V S =absinC

余弦定理:222

2a b c ab

+-cosC= 方法三:向量法

求,β所成二面角x ,先求α ,法向量12n ,

n u r u u r

所成的角θ 则0

000 0<<90x= 180- 90<180θθθθ???≤??

, 求距离

点到平面的距离

方法一:等体积法(注意点的平移,以及体积的等量代换) 例:求点B 到PAC 的距离h (已知PB┴面ABC)

ABC PAC

PAC U =U 11

PB=h

33h=PB

ABC ABC

PAC

S S S S ????????

(注意余弦定理,正弦定理的综合应用) 方法二:向量法

同上,设面PAC 的法向量为n (可以自行求出),在面PAC 上任取一点,不妨碍取P ,则

PB n n ?=h uu r r

r

P

A B C

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