2015-2016年海淀期中数学高三试题参考答案3(理科)
2016-2017海淀高三期中练习数学理科试题及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学理试题(WORD版)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2015.11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1B．3C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A．B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a u u u r rP ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2015.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区高三下学期期中练习数学理试卷及答案【精编】
北京市海淀区2016届高三下学期期中练习数学（理）试题本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x=A．［0，＋∞）．［1，＋∞）．（－∞，0］．（－∞，1］【知识点】函数的定义域与值域【试题解析】要使函数有意义，需满足：即所以函数的定义域为：．故答案为：A【答案】A2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1B．1C．－iD．i【知识点】算法和程序框图【试题解析】由题知：n=9时，否，是，则输出的值为。
故答案为：D【答案】D3．若x，y 满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y=+的最大值为A．52B．3C．72D．4【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由图知：当目标函数线过点C （1，3）时，目标函数值最大，为故答案为：C 【答案】C4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A BC D【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该三棱锥的底面是以2为底，以为高的三角形，高为1， 所以故答案为：A 【答案】A5．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】若为常数列，则； 反过来，若，则，即为常数列。
所以“为常数列”是“，”的充分必要条件。
故答案为：C 【答案】C6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝A ．1BCD ． 2 【知识点】圆与圆的位置关系 【试题解析】化圆为标准方程，两圆方程作差，得相交弦AB 所在直线方程为：圆的圆心为（1，0），半径为1．所以圆心到直线AB 的距离为：所以弦长的一半为：即弦长为：。
北京市海淀区2016届高三数学下学期期中练习试题-理(扫描版)培训课件.doc
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学〔理科〕 2021.4DABC阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCACBCB二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分〕三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：〔Ⅰ〕在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ …………………2分在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠ …………………4分因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠ …………………6分 因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα= …………………7分〔Ⅱ〕因为π6α=，π2β=, 由〔Ⅰ〕得πsin32π23sin 6AC BC == …………………9分 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠ …………………11分代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅, 解得1k =,所以3BC =. …………………13分 9． 3± 10． 511.1212．2213y x -=13．4,614． 2,[62,2)[23,4]-16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.644x +++== …………………2分那么山下试验田100株青蒿的青蒿素产量S 估算为100400S x ==g …………………3分 〔Ⅱ〕比拟山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s 和22s ，结果为21s >22s .…………………6分〔Ⅲ〕依题意，随机变量ξ可以取7.27.488.28.69.4，，，，，， …………………7分 1(7.2)4P ξ==, 1(7.4)8P ξ== 1(8)4P ξ==, 1(8.2)8P ξ== 1(8.6)8P ξ==, 1(9.4)8P ξ== …………………9分 随机变量ξ的分布列为…………………11分 随机变量ξ的期望111111()7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888E ξ=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯. …………………13分 17解:〔Ⅰ〕证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥, …………………1分 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥. …………………2分 因为ABPA A =，且AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB …………………4分 〔Ⅱ〕证明：因为BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB , ξ 7.2 7.4 88.2 8.6 9.4p14 18 14 18 18 18所以BC PB ⊥ …………………5分 在PBC ∆中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以MNBC . …………………6分在正方形ABCD 中，AD BC , 所以MN AD ， …………………7分所以 MN AD ，可以确定一个平面，记为α所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内 …………………8分 〔Ⅲ〕因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥,PA AD ⊥. 又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, …………………9分所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P . 设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =, 设PN PC λ=, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-，所以(2,2,22)AN λλλ=-，又(0,2,0)AD =，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，…………………10分取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=, …………………11分因为(0,0,2)AP =，(2,2,0)AC =所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-, …………………12分因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==, z x NMDCB AP所以211|cos ,|2||||12()1m nm n m n λλλλ-⋅<>===-+ 解得12λ=, 所以3PN = …………………14分 18解: 〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分22111'()x f x x x x -=-=…………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,)+∞'()f x -+()f x极小值…………………4分 函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=， 所以()f x 的最小值为0 …………………5分 〔Ⅱ〕解：函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞， …………………6分22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x--+-=== …………………7分 由〔Ⅰ〕得，()0f x ≥，所以'()0g x ≥…………………8分所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞，无单调减区间. …………………9分 〔Ⅲ〕证明：假设直线y x =是曲线()g x 的切线. ………………10分设切点为00(,)x y ，那么0'()1g x =，即00201ln 11ln x x x +-= (11)分 又000001,ln x y y x x -==，那么0001ln x x x -=. …………………12分 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =，与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立，直线y x =不是曲线()g x 的切线 …………………13分19解：〔Ⅰ〕由题意可得，1b =， …………………1分c e a ==…………………2分 得22134a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分椭圆C 的标准方程为2214x y +=. …………………5分 〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， …………………8分 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分 令0y =，那么222002016(4)(1)4y x x x -+=-， (10)分因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-， …………………11分所以208(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x，那么12||x x -=0825x <≤〕 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法二：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 假设以MN 为直径的圆与x 轴相交， 那么004(1)[1]y x -+⨯004(1)[1]0y x +-<， …………………9分 即2000200016(1)4(1)4(1)10,y y y x x x --+-+-< 即2020016(1)810.y x x -+-< …………………10分因为 220014x y +=，所以 2020114y x -=-, …………………11分代入得到 0850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分 该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|y y x x x -+---， 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， 该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()25,(2)5y x x x x --=-<≤； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分方法三：〔Ⅱ〕设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， …………………7分 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 所以000004(1)4(1)8||=|+1(1)|=|2|y y MN x x x -+---， …………………8分 圆心到x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=||2y y y x x x -+-， …………………9分 假设该圆与x 轴相交，那么04|1|x ->004||y x ， …………………10分 即2200044(1)()0y x x -->， 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, …………………11分 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈ …………………12分 该圆在x 轴上截得的弦长为22000044882(1)()2525=22y x x x --=-≤-； 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法四： 记(20)D ，, (40)H ，，设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由可得(0,1) (0,1)A B -，所以AP 的直线方程为0011y y x x -=+， ……………………….6分 BP 的直线方程为0011y y x x +=-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+， 004(1)1y n x +=- ， ……………………….8分所以004(1)(4,1),y M x -+004(1)(41)y N x +-， 假设以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F ，因为EH MN ⊥， 所以2EH HN HM =⋅， ……………………….9分200004(1)4(1)(1)(1)y y EH HN HM x x -+=⋅=-+⋅-220002016168()y x x x -+-=- ……………………….10分 因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-, ……………………….11分 代入得到2EH =20020850x x x -=> 所以08(,2]5x ∈， ……………………….12分所以22EF EH ==≤=所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分方法五：设直线 OP 与4x =交于点T因为//MN y 轴，所以有,,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT ==== 所以AO BO TN TM =，所以TN TM =，所以T 是MN 的中点. ……………………….6分又设000(,)(02)P x y x <≤, 所以直线OP 方程为00y y x x =, ……………………….7分 令4x =,得004y y x =, 所以004(4)y T x ， ……………………….8分 而41r TN x ==- ………………………假设以MN 为直径的圆与x 轴相交于,E F那么00044||1y d r x x =<=- ……………………….10分所以220016(4)y x <-因为 220014x y +=，所以2020114y x -=-,代入得到 ……………………….11分所以200580x x ->，所以085x >或00x < 因为点002x <≤，所以0825x <≤ ……………………….12分 而22220004422(1)()y EF r d x x =-=-- 088252522x =-≤-= 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14分20解：〔I 〕依照题意，可以取{}5,7A =，{}4,8B =，{}1,2,3,6C = …………………3分 〔II 〕假设存在n 是3的倍数且n U 是可分集合.设3n k =，那么依照题意{3,6,,3}k C ⋅⋅⋅⊆，故C S ≥2333632k k k +++⋅⋅⋅+=， 而这n 个数的和为(1)2n n +，故21(1)3322C n n k k S ++=⋅=2332k k +<, 矛盾， 所以n 是3的倍数时，n U 一定不是可分集合 …………………7分(Ⅲ)n =35. …………………8分 因为所有元素和为(1)2n n +，又B S 中元素是偶数，所以(1)32B n n S +==6m (m 为正整数)所以(1)12n n m +=，因为,1n n +为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由〔Ⅱ〕知道，n 不是3的倍数，所以一定有1n +是3的倍数.当n 为奇数时，1n +为偶数，而(1)12n n m +=，所以一定有1n +既是3的倍数，又是4的倍数，所以112n k +=,所以*121,n k k =-∈N . …………………10分 定义集合{1,5,7,11,...}D =，即集合D 由集合n U 中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合{2,4,8,10,...}E =，即集合E 由集合n U 中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合,,A B C 的性质知道，集合,A D B E ⊆⊆，此时集合,D E 中的元素之和都是224k ，而21(1)24232A B C n n S S S k k +====-， 此时n U 中所有3的倍数的和为2(3123)(41)2462k k k k +--=-， 2224(242)2k k k k --=,22(242)(246)4k k k k k ---=显然必须从集合,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是2k ，所以从集合{1,5,7,11,...}D =中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以26k ≥, 所以3k ≥，此时35n ≥而令集合{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A =，集合{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B =，集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C =，检验可知，此时35U 是可分集合, 所以n 的最小值为35. …………………13分。
北京市海淀区高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( ) A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2xdx=__________．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=__________，S△ABC=__________．11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若a n=0，则n=__________．12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为__________．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为__________．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为__________；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，其n前项和为S n，若a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．19．（14分）已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用．【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论．【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用数量积公式则•=||•||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．4．数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( ) A．1 B．3 C．5 D．6【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接代入计算即得结论．【解答】解：依题意，S2﹣S1=3，∴a1=S1=S2﹣3=3﹣3=0，又∵a3=S3﹣S2=5，∴a1+a3=0+5=5，故选：C．【点评】本题考查数列的通项，涉及通项与数列和之间的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．5．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】问题转化为y=﹣x和y=sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．【解答】解：若x+sinx＞0，只需y=﹣x的图象在y=sinx的下方即可，画出函数y=﹣x和y=sinx的图象，如图示：，由图象得：x＞0是x+sinx＞0的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．8．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2xdx=3．【考点】定积分．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】由题意可得2xdx=x2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的计算可得：2xdx=x2=22﹣12=3故答案为：3【点评】本题考查定积分的计算，属基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=2，S△ABC=．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理化简可得：c=2a，利用已知即可解得a的值，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，∴c=4，解得：a=2，∴S△ABC=acsinB==．故答案为：2，．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若a n=0，则n=5．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a1=﹣4d，可得a n=（n﹣5）d，令（n﹣5）d=0解方程可得．【解答】解：∵a3+a9=a10﹣a8，∴a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣（a1+7d），解得a1=﹣4d∴a n=﹣4d+（n﹣1）d=（n﹣5）d，令（n﹣5）d=0可解得n=5（d≠0）故答案为：5【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差的关系是解决问题的关键，属基础题．12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为（﹣3，﹣6）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣3，2x）．∵∥，∴x﹣3﹣2x=0，解得x=﹣3，∴B（﹣3，﹣6），故答案为：（﹣3，﹣6）．【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为4．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为2；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得≥t恒成立，即有≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值为2，则t≤2．故t的最大值为2；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即为﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3时，取得最小值﹣36，则﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案为：2，[36，+∞）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，其n前项和为S n，若a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：＜2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（I）数列{a n}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．可得4q2=q4，解出即可得出．（II）a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，作差﹣2化简即可得出．【解答】（I）解：∵数列{a n}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a5=q4=16．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f（x）=2cos2x，将x=代入可得答案；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin[（2x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x．∴f（）=2cos（2×）=2cos=1；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，∵ω=2，∴周期T=π，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得当函数在[﹣2，a]递增（或递减），即有f′（x）≥0（或≤0）对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间[﹣2，a]和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣3）﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调，①当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递减时，f′（x）≤0对x∈[﹣2，a]成立，即f′（x）=x2+2x+a≤0对x∈[﹣2，a]成立，根据二次函数的性质，只需要，解得﹣3≤a≤0．又a＞﹣2，所以﹣2＜a≤0；②当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是﹣2＜a≤0或a≥1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2．（2）由2S n=a n a n+1，得2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，从而a n+1﹣a n﹣1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出{a n}的通项公式．（3）由（2）得S n=，从而S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，由此结合已知条件能求出a的值．【解答】解：（1）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（2）∵2S n=a n a n+1，∴2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，两式相减，得：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1，k∈N*时，a n=a1+（k﹣1）×2=a+n﹣1，当n=2k，k∈N*时，a n=2+（k﹣1）×2=2k=n．∴．（3）∵2S n=a n a n+1，，∴S n=，∵所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，∴当n为偶数时，a n＞0，∴此时S n＞S n﹣1，∴S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，∴a14+a15≤0，a16+a17≥0，∴14+15+a﹣1≤0，16+17+a﹣1≥0，解得﹣32≤a≤﹣28，∵数列{a n}是由整数组成的，∴a∈{﹣32，﹣31，﹣30，﹣29，﹣28}，∵a≠0，∴对所有的奇数n，a n=n+a﹣1≠0，∴a不能取偶数，∴a=﹣31，或a=﹣29．【点评】本题考查数列的第二项的值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列的前15项和取得最小值的实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】新定义；分类讨论；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）当函数f（x）=x+是Ω函数时，若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＜0，则f′（x）=1﹣＞0，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得 f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得 f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）=x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+[]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＜0时，[m]＜0，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）记k=[m]，综上，我们可以得到“a＞0且∀x∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。
北京市海淀区2015届高三上学期期中练习数学理试题 Wor
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,(),0.x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相学优等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1)（D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）-0.4-0.80.7O 87a n (S n )n（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值 （D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区高三下册期中练习数学(理)试题及答案(经典版)
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．3 B．2 C．3 D．35．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x－1，1()ln x g x x -=（Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
2016海淀区高三数学理下学期期中试卷(有答案)
2016海淀区高三数学理下学期期中试卷（有答案）海淀区高三年级201-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）20164本试卷共4 页，10 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数的定义域为A．［0，＋） ᠐ B．［1，＋）  ．（－，0］ D．（－，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1B．1．－iD．i3．若x，满足，则的最大值为A．B．3．D．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．B．．D．．已知数列的前n 项和为Sn，则“ 为常数列”是“ ”的A．充分不必要条B．必要不充分条．充分必要条D．既不充分也不必要条6．在极坐标系中，圆1 : 与圆2: 相交于A，B两点，则｜AB｜＝A．1 B．．D．27．已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是A．B．．D．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作．丙可以不承担第三项工作D．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题分，共30 分．9．已知向量，若，则t ＝_______．10．在等比数列中，a2＝2，且，则的值为_______．11．在三个数中，最小的数是_______．12．已知双曲线：的一条渐近线l 的倾斜角为，且的一个焦点到l 的距离为，则的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数，对于实数t ，若存在a＞0，b ＞0 ，满足：，使得2，则记a＋b的最大值为H（t ）．（ⅰ）当＝2x时，H（0）＝_______．（ⅱ）当且t 时，函数H（t）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出字说明、演算步骤或证明过程．1．（本小题满分13 分）如图，在△AB 中，点D在边AB上，且．记∠AD＝，∠BD＝．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求B 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．201 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在上和下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从上和下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记上与下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的上与下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为，求随机变量的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P－ABD中，PA⊥平面ABD，四边形ABD为正方形，点，N分别为线段PB，P 上的点，N⊥PB．（Ⅰ）求证：B⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点不与点P ，B 重合时，，N ，D ，A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角－AN －D的大小为时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x) ＝ln x＋－1，（Ⅰ）求函数f (x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线＝x不是曲线＝g(x)的切线。
北京市海淀区高三下册期中练习数学(理)试题及答案【精品推荐】
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A．3 B．2CD5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
2016届海淀区期中考试数学试题-理科
2016届海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2015.11本试卷共4页，150分。
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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{}2|20P x x x =--≤，{}1,0,3,4M =-，则集合P M 中元素的个数为 A.1 B.2 C. 3 D.4 2. 下列函数中为偶函数的是A.1y x=B. lg y x = Ｃ. ()21y x =- D.2x y = 3. 在ABC ∆中,60A ∠=︒, 2,1AB AC == , 则AB AC ⋅的值为A. 1B. 1-C.12 D.12- 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S n --=-(2)n ≥，且23S =，则13a a +的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6 5. 已知函数44()cos sin f x x x =-，下列结论中错误．．的是 A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称C. ()f x 的最小正周期为πD. ()f x 的值域为[ 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数xy a =（0a >，且1a ≠log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，函数2()1g x ax x =-+. 若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(0,)+∞B.(,0)(2+)-∞∞ ，C.1(,)(1,+)2-∞-∞ D. (,0)(0,1)-∞ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2015.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B2.B3. A4. C5.D6. C7. A8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 310. 11. 5 12. (3,6)-- 13.4 14. 2；[36,)+∞说明；第10，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，所以2334a a =，所以34a =， 因为233141a a q a ===，所以2q =±. 因为0n a >，所以0q >，即2q =---------------------------3分所以45116a a q ==. --------------------------6分 法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，所以24q =，所以2q =±,因为0n a >，所以0q >，即2q =---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分（Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--, --------------------------10分所以11211222n n n n n S a ---==-,因为112n ->，所以11222n n n S a -=-<. --------------------------13分 法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--, --------------------------10分 所以11202n n n S a --=-<，所以2n nSa <. --------------------------13分 法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--. --------------------------10分 要证2nnS a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式显然成立，得证. --------------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为ππ())cos(2)33f x x x +++,所以πππππ())cos(2)66363f =⋅++⋅+, 2π2π313sin()cos()13322+=-=. --------------------------4分（Ⅱ）因为ππ())cos(2)33f x x x +++,所以π1π()s i n (2)c o s (2)]323f x x x =+++ππππ2[cos sin(2)sin cos(2)]6363x x =+++ππ2sin[(2)]36x =++π2sin(2)2x =+--------------------------7分2cos 2x = , --------------------------9分所以周期2ππ2T == . --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤， --------------------------12分 解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z . --------------------------13分法二：因为ππ())cos(2)33f x x x =+++,所以ππππ()cos cos2sin )(cos2cos sin2sin )3333f x x x x x =++--------------------7分113(sin 2)(cos22)22x x x x =+2cos 2x =--------------------------9分所以周期2ππ2T == . --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤， --------------------------12分解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z , 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z . --------------------------13分17．解： （Ⅰ）法一：在ABD ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈,所以sin ADB ∠=,--------------------------3分 根据正弦定理，有sin sin BD ABA ADB =∠∠, --------------------------6分 代入8,,3AB A π=∠=解得7BD =. --------------------------7分 法二：作BE AD ⊥于E .因为π8,3AB A =∠=，所以在ABD ∆中，πsin 3BE AB =⋅= --------------------------3分在BDE ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈，所以sin ADB ∠=,--------------------------6分 所以7sin BEBD BDE==∠. --------------------------7分（Ⅱ）法一：在BCD ∆中，根据余弦定理222cos 2BC CD BD C BC CD+-∠=⋅, --------------------------10分代入3,5BC CD ==，得1cos 2C ∠=-， (0,π)C ∠∈,所以2π3C ∠=. --------------------------12分 所以πA C ∠+∠=，而在四边形ABCD 中+2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠=所以πABC ADC ∠+∠=. --------------------------13分法二：在ABD ∆中，11cos ,14ABD ∠=所以sin ABD ∠=，1cos 7ADB ∠=， 所以sin ADB ∠=. --------------------------8分在BCD ∆中，11cos ,14DBC ∠=所以sin ABD ∠=13cos 14BDC ∠=， 所以sin ADB ∠=. --------------------------9分所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=--------------------------11分 cos cos()ADC ADB BDC ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=---------------------------12分 即cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πABC ADC ∠+∠=. --------------------------13分 18．解（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1),又2'()2f x x x a =++, --------------------------2分所以'(0)3f a ==-, --------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:--------------------------5分所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞,单调递减区间为(3,1)-. --------------------------7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，根据二次函数的性质，只需要'(2)0'()0f f a -≤⎧⎨≤⎩， 解得30a -≤≤.又2a -<，所以20a -<≤. --------------------------9分 当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 只要2'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可，因为函数2'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-，当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，解2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立. --------------------------11分当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -， 解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围是20a -<≤或1a ≥. --------------------------13分19．解：（Ⅰ）因为 12n n n S a a +=，所以1122S a a =，即1122a a a =,因为10a a =≠，所以22a =, --------------------------2分 （Ⅱ）因为 12n n n S a a += ， 所以112(2)n n n S a a n --=≥，两式相减，得到112()n n n n a a a a +-=-， --------------------------4分 因为0n a ≠，所以112n n a a +--=，所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列，当21n k =-时，12(1)1n a a k n a =+-=+-, --------------------------6分 当2n k =时， 22(1)2n a k k n =+-==,所以1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数.--------------------------8分（Ⅲ）法一：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,所以1(1)(1), 21() , 2n n a n n S n n a n ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数,--------------------------10分注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的， 当n 为偶数时，0n a >，所以此时1n n S S ->，所以15S 为最小值等价于13151517,S S S S ≥≤， --------------------------12分 所以141516170, 0a a a a +≤+≥，所以141510, 161710a a ++-≤++-≥，解得3228a -≤≤-. --------------------------13分 因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------14分 法二：因为12n n n S a a +=， 由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,所以1(1)(1), 21() , 2n n a n n S n n a n ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数,--------------------------10分因为15S 为最小值，此时n 为奇数，当n 为奇数时，1(1)(1)2n S n a n =+-+， 根据二次函数的性质知道，有14162a≤-≤，解得3228a -≤≤-， --------------------------12分因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------13分 经检验，此时n S 为最小值，所以31, 29a a =-=-. --------------------------14分 20.解：（Ⅰ）21()3f x x x =-是Ω函数， --------------------------2分()sin πg x x =不是Ω函数. --------------------------4分（Ⅱ）T 的最小值为1. --------------------------6分 因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =.假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾. --------------------------8分 所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是是Ω函数，综上，T 的最小值为1. --------------------------9分 （Ⅲ） 当函数()af x x x =+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. --------------------------10分 若0a <，则2'()10af x x =->， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()af x x x=+不是Ω函数. --------------------------11分当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+. --------------------------12分 当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+. --------------------------13分 记[]k m =, 综上，我们可以得到“0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+”. --------------------------14分。