图论及其应用(22)
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
图论及其应用
图论及其应用班级：图论1班学院：软件学院学号：2014110993姓名：张娇图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。
虽然最早的图论问题追溯1736年(哥尼斯堡七桥间题)，而且在19世纪关于图论的许多重要结论已得出。
但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。
图论即形象地用一些点以及点与点之间的连线构成的图或网络来表示具体问题。
利用图与网络的特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要简单、有效得多。
图论就是研究图和网络模型特点、性质和方法的理论。
图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中。
下面对最大流问题进行探究。
最大流问题主要探究最大流问题的Ford-Fulkerson解法。
可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。
该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。
在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。
首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。
开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。
在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。
增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。
反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。
举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。
当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。
图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
图论及其应用习题答案
图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。
下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。
1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。
解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。
连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。
2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。
如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。
3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。
如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。
4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。
解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。
我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。
5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。
解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。
6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。
解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。
这些算法会根据边的权重来计算最短路径。
数学中的图论及其应用
数学中的图论及其应用图论是一门数学基础理论，用来描述事物之间的关联。
图论主要研究节点之间的连接关系和路径问题。
它的研究对象是图，图是由节点和边组成的，边表示节点之间的连接关系，节点表示事物。
图论是一种十分实用的数学工具，它是计算机科学、物理学、化学、生物学、管理学等领域的重要工具，也是人工智能和网络科学等领域的基础。
一、图论的基本概念1.1 图图是由节点和边组成的，表示事物之间的关系。
节点是图中的基本元素，用点或圆圈表示；边是连接节点的元素，用线或箭头表示。
1.2 有向图和无向图有向图是指边有方向的图，每一条边用有向箭头表示；无向图是指边没有方向的图，每一条边用线表示。
1.3 节点的度和邻居节点节点的度是指与节点相连的边的数量，具有相同度的节点称为同阶节点；邻居节点是指与节点相连的节点。
1.4 遍历和路径遍历是指从起点出发访问图中所有节点的过程；路径是指跨越边连接的节点序列，路径长是指路径中边的数量。
二、图论的应用2.1 网络科学网络科学是研究节点和边之间的关系，以及节点和边之间的动态演化的学科。
网络科学中的图模型是节点和边的结合体，其应用包括社会网络、生物网络和物理网络等。
社会网络是指人们之间的社交网络，它描述了人与人之间的关系。
社交网络可以用图模型表示，节点表示人，边表示人与人之间的互动关系，例如朋友关系、家庭关系等。
生物网络是指由生物分子构成的网络，例如蛋白质相互作用网络、代谢网络等。
在生物网络中，节点可以表示蛋白质或基因，边可以表示蛋白质或基因之间相互作用的联系，这些联系可以进一步探究生物进化和疾病发生的机理。
物理网络是指由物理粒子构成的网络，例如网络电子、量子态等。
在物理网络中，节点可以表示量子比特或电子，边可以表示色散力或超导电性等物理现象。
2.2 计算机科学图论在计算机科学中的应用非常广泛，例如数据结构、算法设计和网络安全等方面。
图论在计算机科学中的经典应用包括最短路径算法、最小生成树算法等。
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
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这就证明了(2)。
26
于是得：2.5n m 3n 6
即： 0 m 2.5n 0.5n 6
所以：n≥12。
21
例2 求证，没有6连通简单可平面图。
k (G ) 6 证明：若不然，设G是6连通图，则：
由惠特尼定理得： (G) k (G) 6
所以： 2m
v V (G )
d(v) 6n
16
(3) 取B1和f1.
v1
v8
(4) 取P3=v1v4
v1 v7 v2 f2 f4 v4
v5 v6
v2
v3 v4 v5
f1
v7
f3
v6
v3
f5 v8
图G
B1 G[v2v6 ] F ( B1 , H4 ) f3 B2 G[v3v7 ] F ( B2 , H4 ) f5 B3 G[v4v5] F (B3 , H4 ) f1, f5 B4 G[v5v8] F ( B4 , H4 ) f1 B5 G[v6v8 ] F ( B5 , H4 ) f1
(4) 取P1=v1v3
v1 v8 v2 v3 v6 v4 f2 f1
v5 v6
v7
f3 v7 v8
H1
14
B1 G[v1v4 ] F ( B1 , H2 ) f1 , f3 B2 G[v2v7 ] F ( B2 , H2 ) f3
v1
v2 v3 v4 图G
v8
v7
~ F (B, H i )
本章部分习题解答
20
例1 求证，每个5连通简单可平面图至少有12个顶点。
k (G ) 5 证明：设G是5连通图，则：
由惠特尼定理得： (G) k (G) 5
所以： 2m
v V (G )
deg(v) 5n
另一方面：G是5连通简单可平面图，所以有：
m 3n 6
10
设G是至少三个顶点的简单块。 (1) 取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入 H1 。置i=1;
(2) 若E(G)-E(Hi)=Φ ,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥， 并对每座桥B，求出 ； F ( B, H i)
F ( B, Hi ) ，则停止 (G不可平面 (3) 若存在桥B,使得： F ( B, H ) ) ；否则，在Hi的所有桥中确定一个使得 最小的 B，并取 f F ( B, Hi。 )
19
（i）找出块G中的一个圈Hi； （ii）确定G中Hi的桥以及它们对于Hi的附着点；
（iii）对于 H i 的每个面 f 确定其周界；
（iv）对于 H i 的每座桥B，确定 （v）在Hi 的某座桥B中求一条起点与终点均为附着点 的一条路Pi。 可证上述每一个算法均存在好算法，因此平面性算法 也是好算法。
于是，H的桥B所对应的 某个面内。所以：
G
的子图，必然限制在
H
的
F ( B, H )
注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条 件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,
8
使得对于某桥B，有 F ( B, H )= ，那么，G是非 可平面的。 根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G 的平面性问题： 先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是 H1 对于H1的每座桥B,如果：F ( B, H1 )= ，则G非可 平面。 否则，取H1的桥B1,作：H2=B1∪H1,再取一个面
12
v1
v2 v3 v4 图G
v8
v7 v2 v3
v1
v8
v7 v2 v3
v1
v5
v6 f1 f2
v6
v6 v4 H1
v7
v4 v8
v5
v5
H1
(2) B1 G[v1v3] F ( B1 , H1 ) f1 , f 2
B2 G[v1v4 ] F (B2 , H1 ) f1, f 2 B3 G[v2v7 ] B4 G[v2v6 ] B5 G[v3v7 ] F ( B3 , H1 ) f1 , f 2 F (B4 , H1 ) f1, f 2 F ( B5 , H1 ) f1 , f 2
于是得： m 3n 6 这与G是简单平面图矛盾。
例3 求证：若G是连通平面图，且所有顶点度数不小于 3，则G至少有一个面 f，使得：deg(f)≦5。
22
证明：若不然，则： 2m
deg( f ) 6
f
由欧拉公式得： 2 n m m
3
于是得： 2m 3n 6 另一方面：由δ (G)≥3得：2m≥3n >3n-6 这样导出矛盾。 例4设G是一个(n, m)图。 求证：若G是外可平面图， 且没有三角形，则：m≦(3n-4)/2
f3 B1 B2 f1 f2 G B3
解：
F (B1, H ) f2 , f3
F ( B2 , H )
F (B3 , H ) f3
7
定理1 设 H 是G容许的，则对于H的每座桥B:
F (B, H )
证明：因 H 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌 入 G ，使得：H G
f F ( B1 , H1 )
将B1画入 H1 的面 f 中。
9
如果B1可平面，则只要把B1平面嵌入后，得到H2的 平面嵌入 H 2
然后再进行上面相同的操作，可以得到G的边数 递增的子图平面嵌入序列：
H1 , H2
最终，得到可平面图G的一种平面嵌入形式。
(二)、平面性算法
1964年，Demoucron, Mlgrance和Pertuiset提出了下面 的平面性算法，简称DMP算法。
H4
17
(3) 取B1和f5.
v1 v2 v3 v8
(4) 取P4=v2v6
v1 f5 v5 v6 v2 v3 f2 f1 v7 f3
v7
v6
f4
v4
v4
图G
v5
f6
v8
H4
18
继续下去，得到：
v1 v2 v3 v4 图G v5 v8 v7 v1 v2 v3 v4 v8 v7 v5 v6
v6
G
算法分析：主要运算包括：
23
证明：由条件易知：
n 2
由欧拉公式得： 2 n m
n 2
3n 4 于是得： m 2
例5 设G是一个(n, m)单图，图G分解为可平面的最少 个数称为G的厚度θ (G).求证：
m (1) (G ) 3n 6
24
n(n 1) (2) ( Kn ) 3 n 8时等式成立。 , n 3; 并证明： 6(n 2)
本次课主要内容
平面性算法
(一)、涉及算法的相关概念
(二)、平面性算法
1
(一)、涉及算法的相关概念
关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判 定方法： (1) 对于简单图G=(n, m)，如果m>3n-6，则G是非可 平面的；
(2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l≥3, 且m>(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的；
e1, e2 E(G) E( H ), e1 e2当且仅当存在一条途径W,使得：
(1) e1与e2分别是W的始边和终边，且
(2) W与H的内点不能相交。
容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。
3
定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ~” 的等价类 在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。 桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。 例1 在下图中，红色边在G中导出子图为H。求出G 关于H的所有桥。
H3
B3 G[v3v7 ] F (B3 , H3 ) f1, f4 B4 G[v4v5] F (B4 , H3 ) f1, f 4 B5 G[v5v8 ] F ( B5 , H3 ) f1 B6 G[v6v8] F ( B6 , H3 ) f1
B3 G[v2v6 ] F ( B3 , H2 ) f3 B4 G[v3v7 ] F (B4 , H2 ) f1, f3 B5 G[v4v5] F (B5 , H2 ) f1, f3 B6 G[v5v8 ] F ( B7 , H1 ) f1 , f3 B7 G[v6v8] F (B7 , H2 ) f1, f3
证明: (1) 当n=1时，结论成立。 设当n≥3时，G分解为θ (G)个可平面子图Gi(1≦i≦ θ(G))
因为每个Gi是平面单图，于是：m(Gi ) 3ni 6
m(Gi ) 所以： 1 3ni 6
m(G) m(G1 ) m(G2 )
m 所以： (G ) 3n 6
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B6 G[v4v5] B7 G[v5v8] B8 G[v6v8 ]
F (B6 , H1 ) f1, f2 F (B7 , H1 ) f1, f2 F ( B8 , H1 ) f1 , f 2
(3) 取B1和f1.
v1 v2 v3 v4 图G v5
G
容易知道：H 不 是G容许的。 定义4 设B是G中子图H的任意一座桥，若B对H的所有附 着顶点都位于 H 的某个面f的边界上，则称B在面 f 内可画 入，否则，称B在面 f 内不可画入。
6
对于G的桥B,令：
F ( B, H ) f f 是H的面，且B在f 内可画入
例4 红色边的导出子图是H,如果取 H =H 确定H的桥在 H 中可以画入的面集合。