高中数学必修四期末试题及答案

必修四期末测试题

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．sin 150°的值等于( )． A ．

2

1

B ．－

2

1 C ．

2

3 D ．－

2

3 2．已知＝(3，0)

等于( )． A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．在0到2π范围内，与角－3

4π

终边相同的角是( )． A ．

6

π B ．

3π

C ．

3

2π D ．

3

4π 4．若cos α＞0，sin α＜0，则角 α 的终边在( )． A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )． A ．

4

1

B ．

2

3 C ．

2

1 D ．

4

3 6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )． A ．AB ＝CD B ．AB －AD ＝BD C ．＋AB ＝ D ．＋＝ 7．下列函数中，最小正周期为 π 的是( )． A ．y ＝cos 4x

B ．y ＝sin 2x

C ．y ＝sin

2

x D ．y ＝cos

4

x 8．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )． A ．10

B ．5

C ．－

2

5 D ．－10

9．若tan α＝3，tan β＝3

4

，则tan (α－β)等于( )． A ．－3

B ．3

C ．－3

1

D ．3

1

10．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )．

A ．2，－2

B ．1，－3

C ．1，－1

D ．2，－1

11．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若⊥，那么c 的值是( )． A ．－1

B ．1

C ．－3

D ．3

C (第6题)

12．下列函数中，在区间[0，2

π

]上为减函数的是( )． A ．y ＝cos x

B ．y ＝sin x

C ．y ＝tan x

D ．y ＝sin (x －

3

π) 13．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53

，那么sin 2A 等于( )． A ．

25

4

B ．

25

7 C ．

25

12 D ．

25

24 14．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“?”为a ?b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ?q ＝(－3，－4)，则向量q 等于( )．

A ．(－3，－2)

B ．(3，－2)

C ．(－2，－3)

D ．(－3，2)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．已知角 α 的终边经过点P (3，4)，则cos α 的值为 ．

16．已知tan α＝－1，且 α∈[0，π)，那么 α 的值等于 ．

17．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．

18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似 满足函数T ＝A sin (ωt ＋?)＋b (其中

2

π

＜?＜π)，6 时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上 述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14 时温差的最大值是 °C ；图中曲线对应的 函数解析式是________________．

三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

19．(本小题满分8分) 已知0＜α＜2π，sin α＝54．(1)求tan α 的值； (2)求cos 2α＋sin ??? ?

?

2π ＋ α的值．

(第18题)

20．(本小题满分10分)

已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝2

1． (1)求|b |；(2)当a ·b ＝2

1

时，求向量a 与b 的夹角 θ 的值．

21．(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)．

(1)当 ω＝1时，写出由y ＝f (x )的图象向右平移6

π

个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式； (2)若y ＝f (x )图象过点(3

π2，0)，且在区间(0，3π

)上是增函数，求 ω 的值．

期末测试题参考答案

一、选择题： 1．A

解析：sin 150°＝sin 30°＝2

1． 2．B

＝0＋9＝3． 3．C

解析：在直角坐标系中作出－3

4π

由其终边即知． 4．D

解析：由cos α＞0知，α 为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin α＜0知，α 为第三、四象限或y 轴负方向上的角，所以 α 的终边在第四象限．

5．B

解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝2

3

． 6．C

解析：在平行四边形ABCD 中，根据向量加法的平行四边形法则知＋＝． 7．B 解析：由T ＝ω

π

2＝π，得 ω＝2．

8．D

解析：因为a ∥b ，所以－2x ＝4×5＝20，解得x ＝－10． 9．D

解析：tan (α－β)＝βαβαtan tan ＋1tan －tan ＝

4＋134

－

3＝3

1． 10．B

解析：因为cos x 的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是1和－3．

11．D

解析：易知AB ＝(2，2)，＝(－1，c －2)，由AB ⊥，得2×(－1)＋2(c －2)＝0，解得c ＝3． 12．A

解析：画出函数的图象即知A 正确．

13．D

解析：因为0＜A ＜2π

，所以sin A ＝5

4＝cos －12A ，sin 2A ＝2sin A cos A ＝2524．

14．A

解析：设q ＝(x ，y )，由运算“?”的定义，知p ?q ＝(x ，2y )＝(－3，－4)，所以 q ＝(－3，－2)．

二、填空题： 15．

5

3

． 解析：因为r ＝5，所以cos α＝5

3． 16．

4

3π． 解析：在[0，π)上，满足tan α＝－1的角 α 只有43π，故 α＝4

3π． 17．(－3，－5)．

解析：3b －a ＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)． 18．20；y ＝10sin (

8πx ＋4

3π

)＋20，x ∈[6，14]． 解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C ．

因为从6~14时的图象是函数y ＝A sin (ωx ＋?)＋b 的半个周期的图象，

所以A ＝

21(30－10)＝10，b ＝21

(30＋１0)＝20． 因为21·ωπ2＝14－6，所以 ω＝8π，y ＝10sin ???

??? ＋ 8πx ＋20．

将x ＝6，y ＝10代入上式，

得10sin ??? ???? ＋ 68π＋20＝10，即sin ??

?

??? ＋ 43π＝－1，

由于2π

＜?＜π，可得 ?＝4

3π．

综上，所求解析式为y ＝10sin ??? ??43π ＋ 8

π

x ＋20，x ∈[6，14]．

三、解答题：

19．解：(1)因为0＜α＜

2

π，sin α＝54

， 故cos α＝53，所以tan α＝34．

(2)cos 2α＋sin ??

?

??α ＋ 2π＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－2532＋53＝258．

20．解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝21，即a 2－b 2＝21

，

所以|b |2＝|a |2－

21＝1－21＝2

1

，故|b |＝22．

(2)因为cos θ＝

b

a b a ·＝22，故 θ＝45°．

21．解：(1)由已知，所求函数解析式为f (x )＝sin ??? ?

?

6π － x ．

(2)由y ＝f (x )的图象过??

?

??0 ， 32π点，得sin 32πω＝0，所以32π

ω＝k π，k ∈Z ．

即 ω＝

2

3

k ，k ∈Z ．又ω＞0，所以k ∈N*． 当k ＝1时，ω＝

23，f (x )＝sin 23x ，其周期为3

4π， 此时f (x )在??

? ?

?3π ，

0上是增函数； 当k ≥2时，ω≥3，f (x )＝sin ωx 的周期为

ω

π

2≤

32π＜3

4π， 此时f (x )在??

? ?

?3π ，

0上不是增函数． 所以，ω＝2

3

．